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Aide à la décision Bloc1 : Théorie des graphes et problèmes dordonnancement Séance 2 Mohamed Ali Aloulou Une partie de ces.

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1 Aide à la décision Bloc1 : Théorie des graphes et problèmes dordonnancement Séance 2 Mohamed Ali Aloulou Une partie de ces transparents a été élaborée en se basant sur le document de Pierre Lopez, LAAS, Toulouse

2 Plan du cours 1.Quest ce quon peut faire avec la théorie des graphes ? 2.Concepts généraux en théorie des graphes 3.Le problème du plus court chemin 4.Problème central de lordonnancement

3 2. Le problème du plus court chemin Définition du problème Exemples de formulation avec pcch Principe doptimalité et conditions dexistence Graphes sans circuit Graphes à valuations positives –Algorithme de Moore-Dijkstra (1959) Graphes à valuations quelconques –Contre-exemple –Algorithme de Bellman-Ford

4 Le problème du plus court chemin Définition du problème Soit G=(X,U) un graphe sans boucle Pour tout arc u=(x i,x j ) U on associe une valuation a(u) = a ij : durée, distance... La valeur dun chemin : v( ) = a(u), u S A B C E D

5 Le problème du plus court chemin Définition du problème On peut sintéresser aux problème –de plus court chemin (valeur min) –de plus long chemin (valeur max) S A B C E D

6 Le problème du plus court chemin Exemples Exemple 1 : Construire une autoroute entre deux villes A et K –Arcs = tronçons possibles de lautoroute –Valuation des arcs peut être coût de réalisation correspondant longueur du trajet … A B C D E F H I J K G

7 Le problème du plus court chemin Exemples Exemple 2 : Chemin le plus fiable dans un réseau de télécommunication –Arêtes = liens physiques –Valuation des arêtes (i,j) est p ij : fiabilité du lien (la probabilité pour que le lien fonctionne) –La fiabilité dun chemin est le produit des probabilités des liens qui le constituent –Le problème devient un problème de pcch en remplaçant chaque probabilité par a ij = - log p ij

8 Le problème du plus court chemin Les 3 types de problèmes 1.Recheche des chemins extrêmaux dun sommet xk vers un sommet xj 2.Recherche des chemins extrêmaux dun sommet xk vers tous les autres sommets 3.Recherche des chemins extrêmaux entre tout couple de sommets

9 Le problème du plus court chemin Principe doptimalité a ij = longueur de larc (i,j) si larc existe sinon + u j : longueur du pcch de lorigine 1 vers le sommet j Equations de Bellman –u 1 =0 –u j = min {k j, u k + a kj }

10 Le problème du plus court chemin C ondition dexistence Condition dexistence Le graphe nadmet pas de circuit de longueur négative i j k w l(w)<0

11 Le problème du plus court chemin Graphes acycliques Un graphe est acyclique ssi il existe une numérotation des sommets telle quun arc existe entre i et j seulement si i < j Les équations de Bellman deviennent –u 1 =0 –u j = min {k < j, u k + a kj }

12 Le problème du plus court chemin Graphes à valuations positives Algorithme de Dijkstra : plus court chemin de lorigine à tous les autres sommets –Utilise des labels pour les sommets Les labels permanents représentent la valeur du pcch de lorigine jusquau sommet correspondant Les labels temporaires représentent une borne supérieure de ce pcch –A chaque itération un label temporaire est transformé en label permanent

13 Le problème du plus court chemin Graphes à valuations positives Algorithme de Dijkstra Etape 0 –u 1 =0; –uj =a 1j, pour j=2,…, n –P={1}, T={2, …, n} Etape 2 (Désignation du label permanent) –Déterminer k T, tq u k =min{j T, u j } –T=T\{k} et P=P {k} –Si T=vide, stop Etape 3 (Révision des labels temporaires) –u j =min{u j, u k +a kj } pour tout j T –Aller à létape 1

14 Le problème du plus court chemin Graphes à valuations positives Exemple A B D C E FH G

15 Le problème du plus court chemin Algorithme de Dijkstra et graphes à valuations quelconques S A B C E D

16 Le problème du plus court chemin Graphes à valuations quelconques Algorithme de Bellman-Ford –u j (m) = longueur du pcch de 1 vers j tel que le chemin ne contient pas plus que m arcs u 1 (1) = 0 u j (1) = a 1j u j (m+1) = min{u j (m), min{k j, u k (m) + a kj }} Si le graphe ne contient pas de circuit de valeur négative alors u j = u j (n-1)

17 Le problème du plus court chemin Graphes à valuations quelconques Algorithme de Bellman-Ford Etape 0 –u 1 (0) = 0, u j (0) = + pour tout j 1, m:=0 Etape 1 ( On modifie les marques à partir des marques de létaqe pécédente ) Pour tout j 1 u j (m+1) = min{u j (m), min{k j, u k (m) + a kj }} Etape 2 –Si pour tout j, u j (m+1) = u j (m) alors FIN Sinon Si m

18 Le problème du plus court chemin Graphes à valuations quelconques Plus court chemin entre tous les couples de sommets –Algorithme matriciel de Floyd-Warshall


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