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Aide à la décision Bloc1 : Théorie des graphes et problèmes dordonnancement Mohamed Ali Aloulou Une partie de ces transparents.

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1 Aide à la décision Bloc1 : Théorie des graphes et problèmes dordonnancement Mohamed Ali Aloulou Une partie de ces transparents a été élaborée en se basant sur le document de Pierre Lopez, LAAS, Toulouse

2 Plan du bloc 1 1.Quest ce quon peut faire avec la théorie des graphes ? 2.Concepts généraux en théorie des graphes 3.Le problème du plus court chemin 4.Problème central de lordonnancement

3 Pourquoi la théorie des graphes ? Modélisation –Plusieurs problèmes dans différentes disciplines (chimie, biologie, sciences sociales, applications industrielles, …) –Un graphe peut représenter simplement la structure, les connexions, les cheminements possibles dun ensemble complexe comprenant un grand nombre de situations Un graphe est une structure de données puissante pour linformatique Exemples

4 1.Concepts généraux en théorie des graphes Définitions Représentations dun graphe Notions de base Graphes particuliers Algorithme de détection de circuits Algorithme vérifiant quun sommet est racine (ou pas) dun graphe

5 Concepts généraux en théorie des graphes Définitions Concepts orientés –Un graphe G(X,U) est déterminé par Un ensemble X={x 1,…,x n } de sommets Un ensemble U={u 1, …, u m } du produit cartésien X×X darcs. –Un p-graphe : pas plus que p arcs (x i,x j ) 3-graphe 1-graphe = graphe boucleArc u=(xi,xj)

6 Concepts généraux en théorie des graphes Définitions Graphes et applications multivoques –x j est successeur de x i si (x i,x j ) U –Lensemble des successeurs de x i est noté (x i ) –Lensemble des prédécesseurs de x i est noté -1 (x i ) est appelée une application multivoque Pour un 1-graphe, G peut être parfaitement déterminé (ou caractérisé) par (X, )

7 Concepts généraux en théorie des graphes Définitions Concepts non orientés –On sintéresse à lexistence darcs entre deux sommets sans en préciser lordre –Arc = arête –U est constitué de paires non pas de couples –Multigraphe : plusieurs arêtes entre deux sommets –Graphe simple = non multigraphe + pas de boucles

8 Concepts généraux en théorie des graphes Représentations dun graphe 1.Matrice dadjacence Pour un graphe numérisé : remplacer 1 par la valeur de larc Place mémoire : n²

9 Concepts généraux en théorie des graphes Représentations dun graphe 2.Matrice dincidence sommets-arcs Place mémoire : n x m

10 Concepts généraux en théorie des graphes Représentations dun graphe 3.Listes dadjacence Place mémoire : n+1+m

11 Concepts généraux en théorie des graphes Représentations dun graphe 4.Dictionnaire des suivants / préédents

12 Concepts généraux en théorie des graphes Notions de base

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14 Concepts généraux en théorie des graphes Notions des base Chaîne – Cycle Chemin – Circuit Ascendant – descendant – racine – anti-racine

15 Concepts généraux en théorie des graphes Connexité dans les graphes Le terme parcours regroupe les chemins, les chaînes, les circuits et les cycles Un parcours peut être –élémentaire : tous les sommets sont distincts –simple : tous les arcs sont distincts –hamiltonien : passe une fois et une seule par chaque sommet –eulérien : passe une fois et une seule par chaque arc –préhamiltonien : ou moins une fois par chaque sommet –préeulérien : au moins une fois par chaque arc

16 Concepts généraux en théorie des graphes Connexité dans les graphes Exemple –Le problème du voyageur de commerce : un voyageur de commerce doit visiter n villes données en passant par chaque ville exactement une fois et doit revenir à la ville de départ. Trouver un circuit hamiltonien de coût minimal dans un graphe valué

17 Concepts généraux en théorie des graphes Connexité dans les graphes Connexité

18 Concepts généraux en théorie des graphes Connexité dans les graphes Forte connexité

19 Concepts généraux en théorie des graphes G raphes particuliers Graphes sans circuit –Décomposition en niveaux Graphe biparti Graphe planaire Hypergraphe Arbre Forêt Arborescence

20 Concepts généraux en théorie des graphes Algorithme de détection de circuits

21 Concepts généraux en théorie des graphes Algorithme de vérifiant quun sommet est racine dun graphe

22 Exemples En 1736, Euler a montré que cest impossible !! retour

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24 Références bibliographiques P. Lopez, Cours de graphes, LAAS-CNRS Ph. Vallin and D. Vanderpooten. Aide à la décision : une approche par les cas. Ellipses, Paris, M. Gondron, M. Minoux, Graphes et algorithmes, Eyrolles, Paris, 1984 C. Prins, Algorithmes de graphes, Eyrolles, Paris, 1994 Ph. Lacomme, C. Prins, M. Sevaux, Algorithmes de graphes, Eyrolles, 2003 B. Baynat, Ph. Chrétienne, …, Exercices et problèmes dalgorithmique, Dunod, 2003 E. Lawler, Combinatorial Optimization – Networks and matroids, Dover Publications, INC, Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, Introduction à lalgorithmique, DUNOD, 2ième édition, série Sciences Sup,2002. Berstel, Beauquier, Chrétienne, Eléments dalgorithmique, MASSON, collection MIM, Téléchargeable gratuitement! R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, and J. B. Orlin, Network flows: Theory, Algorithms and Applications


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