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Journées Franciliennes de Recherche Opérationnelle (24 Juin 2005) Un algorithme de coupes pour le problème de laffectation quadratique Alain Faye, Frédéric.

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1 Journées Franciliennes de Recherche Opérationnelle (24 Juin 2005) Un algorithme de coupes pour le problème de laffectation quadratique Alain Faye, Frédéric Roupin CEDRIC - IIE - CNAM

2 Plan Problèmes quadratiques en 0-1 –Méthode polyédrique (PL) –Programmation semi-définie (SDP) Affectation quadratique –Inégalités valides –Résultats numériques en PL et SDP

3 Programme quadratique en 0-1 Localisation, placement de tâches sur des processeurs, affectation quadratique, partition de graphe, recherche de sous-graphes denses de cardinal fixé,... 3

4 Méthode polyédrique

5 Principe Linéariser f en posant x i x j = y i,j 5 Min f (x) s.c.x X {0,1} n L X = {(x,y): x X, y i,j = x i x j 1 i { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.fr/502726/2/slides/slide_4.jpg", "name": "Principe Linéariser f en posant x i x j = y i,j 5 Min f (x) s.c.x X {0,1} n L X = {(x,y): x X, y i,j = x i x j 1 i

6 Programmation semi-définie

7 Problème en 0-1 x i 2 - x i = 0 i {1,…,n} 7 = min Q Y + c t x s.c.A i Y + d i t x = b i i I a i t x = b i i {1,…,p} Y = x x t Relaxation semi-définie Y x x t (SDP) Problème en 0-1 y ii - x i = 0 i {1,…,n}

8 Affectation quadratique Blanchard, Elloumi, Faye, Wicker. Un algorithme de coupes pour laffectation quadratique. INFOR 41 n°1 (2003). Roupin. From linear to semidefinite programming: an algorithm to obtain semidefinite relaxations for bivalent quadratic problems. Journal of Combinatorial Optimization. Vol.8(4) (2004). Faye, Roupin. A cutting planes algorithm based upon a semidefinite relaxation for the Quadratic Assignment Problem. Conférence ESA 2005. A paraître dans Lectures notes in computer science.

9 Affectation quadratique Polytope affectation quadratique P n (Padberg, Rijal 96) 9 x =x = n = 4

10 Enveloppe affine O(n 3 ) contraintes On peut « économiser » O(n 2 ) contraintes (description minimale) Blanchard, Elloumi, Faye, Wicker. Une famille de facettes pour le polytope de laffectation quadratique. Rapport de recherche 330 CNAM (2002) 10

11 Famille dinégalités valides Soit i, h, l 3 indices de lignes distincts et {j}, A, B une partition des indices de colonnes et C B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, A={2}, C={3,4} 11

12 Propriétés Inégalité induit une facette de P n si C est un sous- ensemble propre de B Pb de séparation NP-difficile (Max-Cut se réduit à ce pb en temps polynomial) Résolution du pb de séparation par une heuristique 12

13 Recherche d inégalités violées Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes, trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3} 13 On a A={2}, on va compléter C ={3} C={3,4}

14 PL initial PL de Resende, Ramakrishnan, Drezner 95 14

15 SDP initial 15

16 Propriété de SDP initial SB atteint solution quasi-optimale en assez peu d itérations Spectral Bundle method (Helmberg) Ex: Nug20. valeur optimale de SDP initial = 2503 (~15h) en 1h30 valeur atteinte = 2492 > borne de Rendl-Sotirov 16

17 17 Quelques résultats numériques PL SDP

18 Comparaison des approches au niveau temps de calcul 18

19 19 Synthèse des résultats numériques CPLEX9.0 pour PL sur Pentium IV PL initial (Resende, Ramakrishnan, Drezner 95) SDP initial SB methodpour SDP

20 L ajout des coupes accélère la résolution du SDP meilleure convergence de SB 20

21 Conclusion Ajout des coupes –améliore les relaxations classiques PL et SDP au niveau de la borne –améliore la relaxation classique SDP au niveau du temps de calcul Travaux futurs –attaquer problèmes plus gros n>30 –améliorer le démarrage à « chaud » en SDP 21

22 FIN

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24 Linéarisation produit (Adams, Sherali 86) remplacer produit x i x j par une variable w i,j (1) w i,j 0(1 i { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.fr/502726/2/slides/slide_23.jpg", "name": "Linéarisation produit (Adams, Sherali 86) remplacer produit x i x j par une variable w i,j (1) w i,j 0(1 i

25 Problème en 0-1 x i 2 - x i = 0 i {1,…,n} 25 Relaxation lagrangienne de (Pb) = dual de (SDP) (Lemaréchal, Oustry 99) Relaxation semi-définie (SDP) min Q X + c t x s.c.A i X + d i t x = b i i I a i t x = b i i {1,…,p} X x x t

26 Recherche d inégalités valides violées Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes, trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3} 26 On a A={2} maintenant on va compléter C ={3} Finalement C={3,4}

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31 L ajout des coupes accélère la résolution du SDP meilleure convergence de SB had14 31


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