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Recherche & développement Une méthode de génération de colonnes basée sur un algorithme central de plans coupants Mathieu Trampont – Orange Labs / CEDRIC.

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Présentation au sujet: "Recherche & développement Une méthode de génération de colonnes basée sur un algorithme central de plans coupants Mathieu Trampont – Orange Labs / CEDRIC."— Transcription de la présentation:

1 recherche & développement Une méthode de génération de colonnes basée sur un algorithme central de plans coupants Mathieu Trampont – Orange Labs / CEDRIC Christian Destré – Orange Labs Alain Faye – CEDRIC 22/02/2014

2 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p2 Parallèle entre générations de colonnes et méthode de plans coupants Problèmes de convergence et de stabilisation L'algorithme ACCP de [Betrò] Comparaison sur un problème de localisation 1 2 Plan 3 4

3 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p3 Vision du dual Le dual du problème maître est un programme linéaire avec un très grand nombre de contraintes : La génération de colonnes correspond dans le dual à une méthode de plans coupants

4 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p4 Vision du dual (2) Dans le dual, c'est l'ensemble des coupes qui est restreint Déroulement de la génération de colonnes : La résolution du problème restreint donne une première solution La résolution du sous-problème fait apparaître de nouvelles variables, donc de nouveaux plans On continue jusqu'à ce qu'on ne puisse plus rajouter de variable qui améliore la solution La valeur obtenue est aussi la valeur optimale du dual u1u1 u*u* u2u2

5 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p5 Parallèle entre générations de colonnes et méthode de plans coupants Problèmes de convergence et de stabilisation L'algorithme ACCP de [Betrò] Comparaison sur un problème de localisation 1 2 Plan 3 4

6 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p6 Problèmes de stabilisation La convergence de la génération de colonnes vers l'optimum de la relaxation continue peut parfois prendre du temps La vision du dual permet d'illustrer les situations où la convergence ralentit u1u1 u*u* u4u4 u2u2 u3u3 u1u1 u 2... u*u*

7 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p7 Stabilisation Objectifs Stabiliser la convergence de l'algorithme Diminuer les appels au sous-problème Idée : trouver un meilleur point de séparation à fournir au sous- problème Méthodes proximales pénaliser les déplacements dans le dual méthode boxstep Méthode de stabilisation par point intérieur de [Rousseau et al.] s'attaque spécifiquement à la dégénérescence

8 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p8 Parallèle entre générations de colonnes et méthode de plans coupants Problèmes de convergence et de stabilisation L'algorithme ACCP de [Betrò] Principe Interprétation géométrique et déroulement Stabilisation et paramétrage Comparaison sur un problème de localisation 1 2 Plan 3 4

9 recherche & développement L'Accelerated Central Cutting Plane Idée [Elzinga&Moore] : Chercher le centre de la plus grande sphère contenue dans un polyèdre basé sur les contraintes du dual auquel on ajoute une borne inférieure Le polyèdre doit être borné Ce problème se modélise par un programme linéaire dont l'objectif est de maximiser le rayon σ de la sphère Les contraintes sont issues de celles du dual On rajoute une contrainte issue d'une borne inférieure : Génération de colonnes 22/02/2014 – p9

10 recherche & développement L'Accelerated Central Cutting Plane Autre possibilité pour la borne inférieure : Troisième possibilité : Les coordonnées du centre de la sphère serviront de point de séparation Lorsqu'il ne viole aucune contrainte : Mise à jour de la borne inférieure La taille du polyèdre diminue Génération de colonnes 22/02/2014 – p10

11 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p11 L'Accelerated Central Cutting Plane Autre possibilité pour la contrainte de borne : Les coordonnées du centre de la sphère serviront de point de séparation Lorsqu'il ne viole aucune contrainte : Mise à jour de la borne inférieure La taille du polyèdre diminue

12 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p12 Accélération proposée par Betrò On utilise comme borne inférieure une combinaison convexe entre une borne inférieure valide et une borne supérieure τ = α.UB + (1- α ).LB La borne inférieure utilisée n'est peut-être pas valide Lorsque que le centre de la sphère ne viole aucune contrainte τ est bien une borne inférieure Si le problème de recherche de la sphère est infaisable τ est en fait une borne supérieure

13 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p13 Parallèle entre générations de colonnes et méthode de plans coupants Problèmes de convergence et de stabilisation L'algorithme ACCP de [Betrò] Principe Interprétation géométrique et déroulement Améliorations et Stabilisation Comparaison sur un problème de localisation 1 2 Plan 3 4

14 recherche & développement Interprétation géométrique Pour Elzinga-Moore Ici la borne inférieure vaut zéro et constitue donc le "plancher" Le centre de la sphère se trouve sur le plan de la fonction objectif La sphère est arrêtée par les contraintes du dual et par la borne inférieure r u1u1 λ2λ2 Contrainte 1 Contrainte 2 Plan de la fonction objectif du dual Plan de la borne inférieure LB = 0

15 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p15 Interprétation géométrique (2) Pour le polyèdre de [Betrò] La borne est ici fixée à une valeur LB On se place dans l'espace des variables duales (sans le plan de la fonction objectif) La sphère est arrêtée par les contraintes du dual et par celle de la borne inférieure u1u1 u2u2 Contrainte 1 Contrainte 2 Contrainte de la borne inférieure a 2.u 2 + a 1.u 1 LB

16 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p16 Interprétation géométrique (3) Autre polyèdre Ici aussi la borne inférieure est nulle et constitue le "plancher" La sphère touche obligatoirement le plan de l'objectif et est arrêtée par les contraintes du dual et la contrainte de la borne inférieure r u1u1 u2u2 Contrainte 1 Contrainte 2 Plan de la fonction objectif du dual Plan de la borne inférieure f 0

17 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p17 Accélérations proposées par Betrò Déroulement de l'algorithme avec les accélérations de [Betrò] : Départ : LB = 0 UB = c 1 + c 2 On utilise la borne inférieure τ 0 = (LB + UB) / 2 Le centre ne viole aucune contrainte LB = u u 1 0 τ 1 = (LB + UB) / 2 Le centre viole une contrainte On rajoute la contrainte Le problème est infaisable UB = τ 1 τ 2 = (LB + UB) / 2 … Contrainte rajoutée u1u1 u2u2 u20u20 u21u21 u10u10 u11u11 u13u13 u23u23 c1c1 c2c2 τ LB UB

18 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p18 Parallèle entre générations de colonnes et méthode de plans coupants Problèmes de convergence et de stabilisation L'algorithme ACCP de [Betrò] Principe Interprétation géométrique et déroulement Améliorations et Stabilisation Comparaison sur un problème de localisation 1 2 Plan 3 4

19 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p19 Paramétrage et améliorations Les poids de LB et de UB dans la combinaison convexe peuvent être ajustés L'idée est de privilégier la borne la plus proche de la valeur optimale Faire évoluer les poids pendant le déroulement de l'algorithme Favoriser UB lorsque le centre de la sphère est admissible Favoriser LB lorsque le problème est infaisable Il est possible de mettre à jour UB plus souvent avec des solutions primales admissibles À partir du problème de la sphère En résolvant le primal LBUB τ

20 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p20 Stabiliser l'ACCP Les méthodes de boxstep ou de stabilisation par point intérieur peuvent s'appliquer à l'ACCP Pour le point intérieur : adaptation très simple Attention pour le boxstep : les contraintes de boîte peuvent rendre le problème infaisable Nécessité de discerner qui de la boîte ou de τ cause l'infaisabilité Suppression temporaire des contraintes de boîte Si la boîte est responsable, on agrandit la boîte

21 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p21 ACCP avec boxstep Reprenons l'exemple : Départ : LB = 0 UB = c 1 + c 2 Le problème est infaisable suppression de la boîte le problème est faisable augmentation de la boîte Aucune contrainte n'est violée mise à jour de LB et de τ augmentation de la boîte Le centre viole une contrainte On rajoute la contrainte Le problème est infaisable suppression de la boîte le problème est infaisable mise à jour de UB et de τ … u1u1 u2u2 u20u20 u21u21 u10u10 u11u11 u13u13 u23u23 c1c1 c2c2 τ LB UB

22 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p22 Parallèle entre générations de colonnes et méthode de plans coupants Problèmes de convergence et de stabilisation L'algorithme ACCP de [Betrò] Comparaison sur un problème de localisation 1 2 Plan 3 4

23 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p23 Problème de localisation de concentrateurs But du problème On connaît les coordonnées d'un élément central et de clients Déterminer le nombre de concentrateurs et leurs emplacements de façon à minimiser les coûts de raccordement des clients au central Modèle E est l'ensemble des clients et P (E) l'ensemble des parties de E z i vaut 1 si la partie i se voit attribuer un SR, 0 sinon b ij vaut 1 si le client j est dans la partie i, 0 sinon c i correspond au coût total d'attribution d'un SR à la partie i Élément central Clients concentrateur

24 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p24 Comparaison génération de colonnes classique et ACCP Nous avons résolu la relaxation continue de notre problème avec deux méthodes de génération de colonnes Utilisation dun boxstep et dune stabilisation par point intérieur Le paramétrage des méthodes de stabilisation est identique Les colonnes sont initialisées à partir de solutions heuristiques Les instances sont générées aléatoirement 2 séries de dix instances de tailles similaires

25 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p25 Temps de calcul Bonne initialisation 10 instances de taille ~ instances de taille ~ 725 Initialisation plus légère 10 instances de taille ~ 500 Centrale : 606,7 s Centrale : 1099,5 s Centrale : s Classique : 2050,9 s Classique : 6020,1 s Classique : s

26 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p26 Évolution des bornes

27 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p27 Références B. Betrò, An accelerated central cutting plane algorithm for linear semi-infinite programming, Mathematical Programming, Vol.101, , L-M. Rousseau, M. Gendreau, D. Feillet, Interior point stabilization for column generation, Operations Research Letters, Vol. 35, , 2007 J. Elzinga et T. G. Moore, A central cutting plane algorithm for the convex programming problem, Mathematical Programming, Vol.8, , 1975.

28 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p28 Questions ?

29 recherche & développement Attention : si tau devient proche de la valeur optimale trop rapidement, on perd la stabilité. Betrò propose de perturber τ lorsque plusieurs coupes sont rajoutées successivement τ = τ τ = (1-β).τ + β.UB La politique de mise à jour de τ doit être choisie judicieusement Génération de colonnes 22/02/2014 – p29 L'Accelerated Central Cutting Plane u1u1 c1c1 c2c2 τ LB UB u2u2

30 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p30 Résultats Instance Mean Size ,1 CPU Time classical ,9 CPU Time central ,7 Integrityyesnoyesno yes No Instance Mean Size ,8 CPU Time classical ,1 CPU Time central ,5 Integritynoyes no yes

31 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p31 Nombreux optimums locaux aléatoires + heuristique Peu d'optimums locaux aléatoires Résultats avec une moins bonne initialisation Instance Mean Size ,1 CPU Time classical ,9 CPU Time central ,7 Instance Mean CPU Time classical CPU Time central

32 recherche & développement Génération de colonnes 22/02/2014 – p32 Comparaison avec notre heuristique Une heuristique multi-phase a été développée pour notre problème La résolution de la relaxation continue nous donne une borne inférieure Instance Mean Size ,8 CPU Time central ,5 Integritynoyes no yes Gap (%)0,050,040,130,050,090,030,110,070,150,100,08 CPU Time heuristic ,1


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