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Performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches individualistes F. Pascual - Laboratoire dInformatique de Grenoble En collaboration.

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1 Performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches individualistes F. Pascual - Laboratoire dInformatique de Grenoble En collaboration avec : G. Christodoulou, L. Gourvès, E. Koutsoupias E. Angel, E. Bampis, A. Tchetgnia

2 2 SOGEA - 16/02/2007 Ordonnancement P||C max m machines identiques n tâches toute tâche i a - une longueur li - un numéro didentification Objectif : minimiser le makespan (la plus grande date de fin) M2M2 M2M2 M1M1 M1M1

3 3 SOGEA - 16/02/2007 Algorithmes dapproximation SPT (Shortest Processing Time first) 2-1/m approché LPT (Largest Processing Time first) 4/3-1/(3m) approché Schéma dapproximation

4 4 SOGEA - 16/02/2007 Ordonnancement de tâches individualistes Chaque tâche i est contrôlée par un agent qui seul connaît li (tâche agent) Les tâches communiquent leur longueur à un protocole qui doit les ordonnancer de sorte à minimiser le makespan

5 5 SOGEA - 16/02/2007 Stratégies des agents Lalgorithme dordonnancement est connu. Le but de chaque tâche est de minimiser sa date de fin dexécution. Chaque tâche i déclare une valeur bi représentant sa longueur. Hyp : bi li (exécution incomplète si bi

6 6 SOGEA - 16/02/2007 Un exemple Le protocole utilise lalgorithme LPT 3 tâches de longueurs {2,1,1}, 2 machines La tâche rouge a intérêt à mentir sur sa longueur afin de minimiser sa date de fin dexécution.

7 7 SOGEA - 16/02/2007 Algorithmes à véracité garantie Algorithme à véracité garantie : algorithme avec lequel les tâches ne peuvent pas diminuer leur date de fin en mentant sur leur longueur.

8 8 SOGEA - 16/02/2007 Retour sur lexemple Le protocole utilise lalgorithme SPT Cest un algorithme déterministe, à véracité garantie et 2-1/m approché. [Christodoulou et al. ICALP04]

9 9 SOGEA - 16/02/2007 Objectif Borner la performance dun protocole (algorithme) à véracité garantie Pas de paiements

10 10 SOGEA - 16/02/2007 Autres travaux en ordonnancement Algorithmes à véracité garantie : économie Paiement des agents Ordonnancement : Les agents sont les tâches : veulent minimiser la charge de leurs machines [Auletta et al, SPAA04] Les agents sont les machines Mécanisme de coordination [Christodoulou et al, ICALP04]

11 11 SOGEA - 16/02/2007 Objectif Borner la performance dun protocole (algorithme) à véracité garantie dans divers contextes Déterministe ou randomisé Modèle dexécution fort ou souple

12 12 SOGEA - 16/02/2007 Modèles dexécution Modèle fort Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son résultat li unités de temps après le début de son exécution. Modèle souple Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son résultat bi unités de temps après le début de son exécution. li = 2 bi = 3

13 13 SOGEA - 16/02/2007 Bornes pour un système centralisé DéterministeRandomisé inf.sup.inf.sup. Fort 2-1/m * Souple * [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]

14 14 SOGEA - 16/02/2007 Bornes pour un système centralisé DéterministeRandomisé inf.sup.inf.sup. Fort ? 2-1/m * Souple * [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]

15 15 SOGEA - 16/02/2007 Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (1/2) m machines m(m-1)+1 tâches de longueur 1 Au moins une tâche t se termine à la date m. Hyp : Algorithme déterministe et de rapport dapproximation < 2-1/m. 1 M1M1 M2M2 M3M

16 16 SOGEA - 16/02/2007 Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (2/2) la tâche t déclare 1 : fin(t) 3 début(t) < 2, fin(t) < 3 OPT = 3 3 Makespan < (2-1/m) OPT = 5 Ordonnancement optimalOrdonnancement (2-1/m-ε)-approché La tâche t a intérêt à déclarer m plutôt que 1 :

17 17 SOGEA - 16/02/2007 Bornes pour un système centralisé DéterministeRandomisé inf.sup.inf.sup. Fort 2–1/m2-1/m3/2-1/(2m) Souple

18 18 SOGEA - 16/02/2007 Bornes pour un système centralisé DéterministeRandomisé inf.sup.inf.sup. Fort 2–1/m2-1/m3/2-1/(2m) ? Souple

19 19 SOGEA - 16/02/2007 Modèle fort, algorithme randomisé Idée : combiner : - un algorithme avec véracité garantie - un algorithme pas à véracité garantie mais avec un meilleur rapport dapproximation. Exemple : algorithme SPT-LPT - avec une probabilité p : retourner un ordonnancement SPT - avec une probabilité (1-p) : retourner un ordonnancement. LPT

20 20 SOGEA - 16/02/2007 SPT-LPT nest pas à véracité garantie. On a trois tâches :,, - La tâche 1 déclare sa vraie longueur : 1 - La tâche 1 déclare une fausse valeur : SPT :LPT : E[C 1 ] = p + 3(1-p) = 3 - 2p SPT : LPT : E[C 1 ] = 1 Modèle fort, algorithme randomisé Jai intérêt à déclarer 2.5 plutôt que 1

21 21 SOGEA - 16/02/2007 Algorithme DSPT Ordonnancer les tâches t.q. b 1 < b 2 < … < b n. La tâche i+1 commence quand 1/m de la tâche i a été exécuté. Exemple : (m=3)

22 22 SOGEA - 16/02/2007 Algorithme DSPT Propriété : DSPT est (2-1/m)-approché Idée de la preuve : Temps dinactivité : inactivite_avant(i) = (1/3 l j ) inactivite_milieu(i) = 1/3 ( l i-3 + l i-2 + l i-1 ) – l i-3 inactivite_fin(i) = l i+1 – 2/3 l i + inactivite_fin(i+1)

23 23 SOGEA - 16/02/2007 Algorithme DSPT Propriété : DSPT est (2-1/m)-approché Idée de la preuve : Cmax Cmax = ((idle times) + (l i )) / m (idle times) (m-1) l n and l n OPT Cmax ( 2 – 1/m ) OPT

24 24 SOGEA - 16/02/2007 Un algorithme à véracité garantie Algorithme DSPT-LPT : - Avec une probabilité m/(m+1), retourner DSPT - Avec une probabilité 1/(m+1), retourner LPT. Le rapport dapproximation de DSPT-LPT est inférieur à celui de SPT. si m=2, rapport(SPT -LPT) < 1.39, rapport(SPT)=1.5 Propriété : DSPT-LPT is à véracité garantie.

25 25 SOGEA - 16/02/2007 DSPT-LPT est à véracité garantie. On a trois tâches :,, - La tâche 1 déclare sa vraie longueur : 1 - La tâche 1 déclare une fausse valeur : DSPT :LPT : E[C 1 ] = 5/3 3 DSPT : LPT : E[C 1 ] = 5/3 Un algorithme à véracité garantie Je nai pas intérêt à mentir

26 26 SOGEA - 16/02/2007 Un algorithme à véracité garantie Propriété : DSPT-LPT est à véracité garantie. Idée de la preuve : Supposons que i déclare b>l i. Elle est maintenant plus grande que les tâches 1,…, x, plus petite que la tâche x+1. l 1 < … < l i < l i+1 < … < l x < b < l x+1 < … < l n LPT : diminution de C i (lpt) (l i+1 + … + l x ) DSPT : augmentation de C i (dspt) = 1/m (l i+1 + … + l x ) DSPT-LPT: changement = - m/(m+1) C i (lpt) + 1/(m+1) C i (dspt) 0 b <

27 27 SOGEA - 16/02/2007 Bornes pour un système centralisé DéterministeRandomisé inf.sup.inf.sup. Fort 2–1/m2-1/m3/2-1/(2m)2-(5/3+1/(3m))/(m+1) Souple ?

28 28 SOGEA - 16/02/2007 Un algorithme déterministe pour le modèle souple Idée : bénéficier de lavantage de LPT (son rapport dapprox) mais pas de son inconvénient (les tâches mentent pour être exécutées en premier) Construire un ordonnancement LPT puis lexécuter en sens opposé, i.e. du makespan (C max ) à la date 0

29 29 SOGEA - 16/02/2007 LPT mirror Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se termine à la date C max - d(t) dans LPT mirror. Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur réelle alors C max ne peut quaugmenter tandis que d(t) ne peut que diminuer. LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m) approché.

30 30 SOGEA - 16/02/2007 Bornes pour un système centralisé DéterministeRandomisé inf.sup.inf.sup. Fort 2–1/m2-1/m3/2-1/(2m)2-(5/3+1/(3m))/(m+1) Souple m=2: ρ1.1 m3: 7/6 4/3-1/(3m)

31 31 SOGEA - 16/02/2007 Block : un algorithme randomisé pour le modèle souple Ordonnancer les tâches de façon optimale. Makespan = OPT; Sommes des longueurs sur Mi = Li. Ajouter une tâche fictive de longueur OPT-Li sur Mi. Sur chaque machine, ordonnancer les tâches dans un ordre aléatoire M1M1 M2M2 M3M3

32 32 SOGEA - 16/02/2007 Block : un algorithme randomisé pour le modèle souple Lemme : Soit un ensemble de tâches à ordonnancer selon un ordre aléatoire. E[ fin de i ] = li + ½ ( lj)= ½ (( lj) + li) Block est à véracité garantie. - i déclare li : Makespan= OPT li. E[ fin de i ] = ½ (OPT li + li) - i déclare bi>li : Makespan= OPT bi OPT li. E[ fin de i ] = ½ (OPT bi + bi) i j

33 33 SOGEA - 16/02/2007 Bornes pour un système centralisé DéterministeRandomisé inf.sup.inf.sup. Fort 2–1/m2-1/m3/2-1/(2m)2-(5/3+1/(3m))/(m+1) Souple m=2: ρ1.1 m3: 7/6 4/3-1/(3m)11

34 34 SOGEA - 16/02/2007 Système distribué Les tâches décident sur quelle machine elles vont être exécutées. La stratégie de la tâche i est (bi,mi) Chaque machine j a un algorithme local dordonnancement. Cet algorithme ne dépend que des tâches ayant choisi j : mécanisme de coordination [Christodoulou et al. ICALP04]

35 35 SOGEA - 16/02/2007 Prix de lanarchie Équilibre de Nash : Situation dans laquelle aucune tâche ne peut se terminer plus tôt en changeant unilatéralement de stratégie. Prix de lAnarchie = max {Mak Éq. Nash / Mak OPT } Objectif : borner le prix de lanarchie pour les mécanismes de coordination à véracité garantie.

36 36 SOGEA - 16/02/2007 Bornes pour un système distribué DéterministeRandomisé inf.sup.inf.sup. Fort 2–1/m2-1/m3/2-1/(2m)2-1/m Souple ? 2-1/m

37 37 SOGEA - 16/02/2007 Modèle souple, mécanisme de coordination déterministe, borne inf ρ < (2+ε)/2 et ρ 2/(1+ε) ρ (1+17)/4 > 1.28 M1M1 M1M1 M1M1 M1M1 M2M2 M2M2 M2M2 M2M2

38 38 SOGEA - 16/02/2007 Bornes pour un système distribué DéterministeRandomisé inf.sup.inf.sup. Fort 2–1/m2-1/m3/2-1/(2m)2-1/m Souple (1+17)/4 > /m1+(13-3)/4> /m

39 39 SOGEA - 16/02/2007 Perspectives Réduire les écarts entre bornes sup et inf Mécanismes de coordination avec véracité garantie Agents contrôlant plusieurs tâches Machines avec vitesses


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