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Le nombre au cycle 2 Juvigny le 23 février 2011 et St Denis Sur Sarthon le 23 mars.

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1 Le nombre au cycle 2 Juvigny le 23 février 2011 et St Denis Sur Sarthon le 23 mars

2 Sommaire I La construction du concept de nombre en maternelle II Les groupements à la base de notre système de numération III Numération chiffrée et numération orale IV Le calcul mental, « un champ dexpérience particulièrement riche pour la construction de connaissances relatives aux nombres » V Exemples de « problèmes pour chercher » dans le domaine numérique

3 La construction du concept de nombre en maternelle I Quelques remarques concernant le dénombrement II Quelques points concernant la construction du concept de nombre qui semblent importants

4 I Quelques remarques concernant le dénombrement Remarque préalable : dénombrer cest trouver le nombre déléments dune collection quel que soit le moyen utilisé pour trouver ce nombre. 1°) Les différentes manières de dénombrer a) Dénombrement par reconnaissance immédiate des petites quantités b) Dénombrement par comptage un par un : on utilise la comptine numérique Ce qui est difficile cest de faire comprendre que le dernier mot-nombre prononcé n'est pas un simple numéro mais représente à lui seul la quantité de tous les objets. Première remarque concernant le dénombrement par comptage : Pour réussir à dénombrer les éléments dune collection par comptage lenfant doit comprendre, comme on vient de le dire, que le dernier mot-nombre prononcé représente à lui seul la quantité de tous les objets. Il doit aussi, en amont : - comprendre que la nature des objets à compter na pas dimportance - comprendre quon peut compter les objets dans nimporte quel ordre. - savoir énumérer les éléments dune collection cest-à-dire savoir passer tous les éléments en revue sans en oublier et sans en désigner un deux fois. - connaître la comptine numérique - savoir associer à chaque élément de lensemble un mot-nombre et un seul de la comptine récitée dans lordre.

5 Deuxième remarque concernant le dénombrement par comptage : Etant donné les difficultés posées par le dénombrement par comptage, Brissiaud préconise dans son ouvrage « Premiers pas vers les maths – Les chemins de la réussite à lécole maternelle » dautres activités à pratiquer en PS et début de MS.

6 Exemple en PS : « un » « et un » « quatre » Les propositions de Brissiaud consistent en un travail sur les liens entre les nombres, les décompositions :

7 Si les objets sont déplaçables : Si les objets ne sont pas déplaçables : « un » « deux » « trois » « quatre » « un » « deux » « trois » « quatre » Troisième remarque concernant le dénombrement par comptage : On peut procéder ainsi :

8 c) Dénombrement en utilisant des "collections-témoins organisées" (configurations spatiales diverses, configurations digitales, etc.) qui servent de repères « deux » « et encore un » « ça fait trois » Remarque : On ne peut pas bien concevoir la notion de nombre si on nest pas conscient des liens qui unissent les nombres : Exemples : « 3 est plus petit que 4 » ; « 3 et 1 ça fait quatre ».

9 Remarques concernant les représentations : - Il semble souhaitable de ne pas toujours utiliser la même configuration de doigts - La présence de bandes numériques collectives ou individuelles est importante (remarque : si la file numérique commence par 1 et non par 0, on fera plus facilement le lien entre aspect ordinal et aspect cardinal du nombre) 3°) Ne pas oublier que le nombre a aussi « un aspect ordinal » : lundi est le premier jour de la semaine, mardi le deuxième, etc. Boîte contenant un objet Exemple dactivité : « Comment faire comprendre dans quelle boîte se trouve lobjet, sans montrer cette boîte »

10 b) Lutilisation du calendrier On est le 17. 1°) Combien de jours se sont passés depuis le 14 ? 2°) La maîtresse Aline revient dans combien de jours ? 3°) Combien de jours jusquà lanniversaire de Pierre ? 17

11 Autre exemple : Boîte opaque Combien y a-t-il de jetons dans la boîte ? On peut ensuite vérifier en vidant la boîte. (la réflexion précède ici la manipulation qui sert à vérifier si le résultat quon a trouvé est exact) On ajoute trois jetons. On ajoute quatre jetons.

12 Les trois fonctions du nombre: Mémoire dune quantité Mémoire du rang Anticipation: donner le résultat dune action sans avoir à la réaliser.

13 Les trois concepts: Le concept de collection: (objets unis par une propriété commune) Le concept de désignation: (remplacer un objet par un symbole) Le concept dénumération: (pointer une et une seule fois tous les éléments dune collection)

14 II Les groupements à la base de notre système de numération

15 Notre système de numération est basé sur les groupements (on fait des paquets de dix puis de cent puis…) mais ce qui est important cest que lélève comprenne lintérêt de faire des paquets de dix (quand on a beaucoup dobjets à dénombrer, on fait des paquets et ensuite on compte ces paquets). Exemples dexercices permettant de voir si un élève a compris ou pas lintérêt de faire des paquets : Premier exemple : Dans la case blanche écris en chiffres combien il y a de croix. X X X X X X X

16 Deuxième exemple : Dans la case blanche écris en chiffres combien il y a de doigts.

17 Troisième exemple : Dessine dans le grand cadre blanc le nombre de croix correspondant au nombre écrit sur létiquette. Attention, on doit tout de suite voir que cest juste.

18 Pour les CP, il sagira de construire des stratégies pour dénombrer rapidement et de manière fiable des collections de 60 à 100 objets et au CE de plusieurs centaines voire milliers dobjets. Lévolution du CP au CM2 se fait au niveau du passage de collections réelles à des collections représentées sous différentes formes : Par exemple dans ERMEL les situations « les fourmillions » (CP), « les cahiers » (CE1), « les craies » (CE2),« les trombones » (CM1) et « les tickets de cantine » (CM2) entrent dans cette catégorie. Les « fourmillions »

19 III. Numération chiffrée et numération orale

20 III Numération chiffrée et numération orale 1°) Généralités sur les changements de registre De façon générale, les concepts mathématiques sont des concepts compliqués. Pour bien les appréhender, il est nécessaire de disposer de plusieurs registres et de savoir passer de lun à lautre. Exemple concernant la notion de nombre : Au cycle 1 :

21 Au cycle 2 :

22 Au cycle 3 :

23 Remarque : Passer du registre des désignations orales au registre des écritures chiffrées nécessite de comprendre que certains mots sont traduits par des chiffres et dautre pas et en plus quil faut écrire des chiffres « quon nentend pas » : est traduit par le chiffre 3 nest pas traduit par un chiffre mais indique que le chiffre 3 doit être mis à une certaine place : 3 _ _ _ troismilledeux est traduit par le chiffre 2 cent nest pas traduit par un chiffre mais indique que le chiffre 2 doit être mis à une certaine place : 3 2 _ _ trois est traduit par le chiffre 3 mais on doit écrire aussi un 0 « quon na pas entendu » : Remarque : notre système de numération orale est un système hybride dans lequel les noms des nombres sont composés suivant un principe additif (dix-sept) ou multiplicatif (deux-cents).

24 Parmi les différentes manières de représenter les nombres on peut citer la représentation « en carte à points » qui permet, en particulier de travailler les doubles et les compléments à dix.

25 Ensuite, on se compte et on trouve quon est 23. On peut faire en sorte que les élèves établissent le lien entre le 2 et le nombre de cartons pleins et entre le 3 et les trois points du dernier carton...

26 Problème : Voici le tableau des présents dans une autre classe ? Combien y a-t-il délèves dans cette classe ?

27 2°) Le passage des écritures chiffrées aux désignations orales et réciproquement Une grande partie des difficultés rencontrées par les élèves sont dues aux irrégularités de notre numération orale car en français, les règles de lecture des nombres sont complexes et souffrent de nombreuses anomalies (on dit "treize" et pas "dix-trois" ; on dit "soixante-douze" et pas "septante-deux" ; on dit "cent" et "mille" mais "un million", etc.). b) Des nombres ayant des noms bizarres a) Les noms des dizaines 40 se dit quarante alors que dans les langues asiatiques ont dit « quatre-dix », ce qui est beaucoup plus porteur de sens. Stella Baruk les appellent « les cachotiers »

28 Remarques - on peut travailler sur les écritures chiffrées de ces nombres avant de savoir les nommer 7 8 soixante - dix - huit Autrefois, certains aimaient bien faire des paquets de soixante

29 8 3 quatre-vingt-trois 9 4 quatre-vingt-quatorze - On peut utiliser ce quon entend : Pour soixante treize : = 73 Pour quatre-vingt-deux : = 82 Pour 93 : = 93 Autrefois, certains comptaient avec les doigts des mains et des pieds.

30 c) Des idées tirées du tome 1 de louvrage de Stella Baruk « Comptes pour petits et grands » publié aux éditions Magnard) Le fil conducteur est de sappuyer sur ce quon entend. Exemples :

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32 Par ailleurs:

33 d) Evaluer les élèves en distinguant différentes compétences mises en jeu dans lapprentissage de la numération - Comprendre comment on exprime des quantités à laide décritures chiffrées (sans intervention de la numération orale)

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36 Vidéo 2 : les abaques

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38 - Comprendre le fonctionnement de notre système décritures chiffrées (sans intervention de la numération orale) (aspect algorithmique: les compteurs) ) Exemples dexercice (à adapter au niveau) : - Ecris en chiffres le nombre qui vient juste après le nombre donné : Ecris en chiffres le nombre qui vient juste avant le nombre donné : Ecris en chiffres le nombre compris entre les deux nombres donnés : Complète la phrase suivante par un nombre écrit en chiffres : ………………………. se trouve entre 129 et 131

39 - Ecris à leur bonne place les nombres 324, 354 et Entoure le plus grand des deux nombres : 524 et Range du plus petit au plus grand les nombres 38, 402, 24 et 342

40 - Comprendre comment on exprime des quantités à laide de désignations orales des nombres Exemples dexercices (à adapter au niveau) : - Lis ces écritures chiffrées : Ecris en chiffres les nombres que je vais te dicter…. - Comprendre le fonctionnement de notre système de désignations orales (aspect algorithmique) Exemples dexercices (à adapter au niveau) : - Demander le nombre qui vient juste après cent-quatre-vingt-dix-neuf, le nombre qui vient juste avant cent-vingt-trois (Lenseignant et lélève utilisent des désignations orales des nombres) - Demander à lélève décrire avec des chiffres le nombre qui vient juste après cent-vingt- trois, le nombre qui vient juste avant cent-vingt-deux (Lenseignant utilise des désignations orales ; lélève produit des écritures chiffrées)

41 - Demander le nombre compris entre quatre-vingt-neuf et quatre-vingt-onze (Lenseignant et lélève utilisent des désignations orales) - Demander à lélève décrire en chiffres le nombre compris entre quatre-vingt-neuf et quatre-vingt-onze (Lenseignant utilise des désignations orales et lélève produit des écritures chiffrées) - Demander un nombre compris entre cent-vingt-deux et cent-cinquante (Lenseignant et lélève utilisent des désignations orales) - Demander à lélève décrire en chiffres un nombre compris entre cent-vingt-deux et cent- cinquante (Lenseignant utilise des désignations orales et lélève produit des écritures chiffrées)

42 3°) Des situations à reprendre aux différents niveaux de la scolarité en adaptant le domaine numérique (daprès des propositions de Denis Butlen et Pascale Masselot tirées du document « le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscol) a) Situations déchange pour travailler les écritures chiffrées des nombres Remarque : Pour des vidéos concernant le jeu du banquier au cycle 2, voir : - Situations amenant à repenser les groupements par rapport aux échanges Il sagit damener les élèves à lire dans lécriture dun nombre des informations liées aux échanges ou aux groupements qui ont été effectués. La situation de référence est par exemple le problème des timbres : les timbres sont vendus par carnets de dix timbres. Paul a besoin de 260 timbres. Combien doit-il acheter de carnets ? Corinne a besoin de 500 timbres. Combien doit-elle acheter de carnets ?

43 Remarques : - Comprendre que, dans 623, le chiffre des dizaines vaut 2 mais que le nombre de dizaines vaut 62 est un objectif important mais il me semble quil faut faire attention à ne pas aller trop vite avec des élèves en difficulté et quil est souhaitable de sappuyer sappuyer sur le matériel de numération utilisé Le chiffre 2 indique le nombre de dizaines « visibles » Mais il y a aussi 60 dizaines « cachées dans les centaines »

44 - Au cycle 3, il sagira de comprendre que , 7 8 cest : 1 millier 2 centaines 4 dizaines 1 unité 7 dixièmes 8 centièmes mais cest aussi, par exemple : 12 centaines 41 unités 78 centièmes b) Situations abordant le point de vue algorithmique (dans les deux systèmes de numération) Activités autour des familles de nombres comme dans la situation du « jeu du château » en CP/ CE1 (cf. les ouvrages de léquipe ERMEL publiés par Hatier)les ouvrages de léquipe ERMEL (ouvrages)ouvrages

45 « Tableau Brissiaud »« Tableau ERMEL» Remarque : Permet de travailler le sens des écritures chiffrées Permet de travailler sur les désignations orales des nombres 23 cest 2 paquets de dix et 3 unités 23 appartient à «la famille des vingt» « chef de famille »

46 Vidéo 1 : le boulier

47 Activités autour des compteurs (avec des chiffres ou avec des mots) et des calculatrices Exemple dactivité : Un premier nombre est affiché sur lécran de la calculatrice (par exemple 1234). Sans éteindre la calculatrice, ni effacer le nombre affiché, il sagit dobtenir laffichage de 1334 en tapant le minimum de touches.

48 c) Situations dexploration des règles de la numération orale et de mise en relation avec la numération de position (chiffrée) Construire un dictionnaire de nombres (CP) Au CP on peut construire un livret dédié à lécriture des nombres. Chaque page est consacrée à un nombre. Lélève y inscrit différentes écritures ou représentations de ce nombre. Les pages vont senrichir progressivement. Lélève dispose de deux jeux de cartes. Le premier comporte des cartes sur lesquelles il y a les écritures chiffrées de nombres entiers (par exemple les n premiers nombres). Le second est un jeu de cartes avec les mots-nombres correspondant. La consigne est la suivante : Il faut remettre dans lordre les différents nombres. Dans la colonne de gauche tu écris les nombres du plus petit au plus grand avec des chiffres. Dans la colonne de droite tu écris avec des mots. Mettre en correspondance les deux types décritures

49 Simuler un « compteur manuel » permettant décrire les nombres avec des mots Combien de chiffres ? Combien de mots ? Un nombre étant énoncé par lenseignant, lélève écrit sur son ardoise le nombre de chiffres nécessaires pour lécrire. Inversement, un nombre étant écrit au tableau avec des chiffres, lélève doit écrire sur son ardoise le nombre de mots nécessaires. Linstitutionnalisation porte sur la longueur de lécriture dun nombre qui ne dépend pas systématiquement de sa grandeur : le nombre « deux-cent-vingt-trois » comporte plus de mots que le nombre « trois-cents».

50 Remarque : pour dautres idées dactivités, voir, par exemple les ouvrages de léquipe ERMEL (ouvrages)les ouvrages de léquipe ERMELouvrages On y trouve, par exemple des activités de ce type :

51 51 quatre cent(s ) six vingt(s ) mille deux En complément, voici un exemple faisant intervenir des nombres plus grands que ceux fréquentés au cycle 2. Quel est le plus grand nombre que lon peut écrire avec toutes ces étiquettes ? six-cent-quatre-vingt-deux-mille

52 4°) Les mesures de grandeurs, un point dappui pour construire le nombre (daprès des propositions de Joannie Carole et Alain Solano–Séréna tirées du document « le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscol) - Les billets et les pièces sont marqués de leur valeur en euros exprimée en unités, dizaines ou centaines. Ainsi, 56 sexprime aisément comme : (5 × 10 ) + 6 et 326 comme (3 × 100 ) + (2 x 10 ) + 6, en référence aux billets de 100, de 10 et aux pièces de 1. - On dit les nombres comme on dit les longueurs en mètres et en centimètres : trois mètres vingt-cinq centimètres trois-cent-vingt-cinq billes.

53 Propositions de Joannie Carole et Alain Solano–Séréna tirées du document « le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscoldocument « le nombre au cycle 2 »

54 5°) Exemples dactivités utilisant loutil informatique - Exercices du site (animations flash à exécuter en ligne ou à télécharger) : - Exercices concernant la numération au cycle 2 sur le site « Le Matou matheux » (à exécuter en ligne) :« Le Matou matheux » - Exercice « Trop petit ! Trop grand ! Gagné ! » de M. Menei :

55 IV. Le calcul mental, « un champ dexpérience particulièrement riche pour la construction de connaissances relatives aux nombres »

56 IV Le calcul mental, « un champ dexpérience particulièrement riche pour la construction de connaissances relatives aux nombres » (daprès des propositions de Denis Butlen et Pascale Masselot tirées du document « Le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscol) 1°) Activité préalable : Pour commencer, faisons nous-mêmes un peu de calcul mental

57 25 × × 4 × 31 = 100 × 31 = × 124 == × 5 × 124 = 5 × 620 = 3100

58 Je pense à un nombre. Je multiplie ce nombre par 6. Jajoute 2 au résultat. Je multiplie le résultat précédent par 3. Je trouve 132. A quel nombre ai-je pensé ? × 6+ 2 × 3 : : 6

59 Cascade additive : a b a+b ? Remarque : on peut trouver un générateur de pyramides additives et multiplicatives avec corrigés à cette adresse : exemple:http://manu.ledaine.free.fr/Pyramides/exemple:

60 Compléter à 10 : Complète 3 pour faire 10. Combien manque-t-il à 3 pour faire 10 ? Que faut-il ajouter à 3 pour faire 10 ? 3 + ? = 10 2°) Propositions de Denis Butlen et Pascale Masselot tirées du document « Le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscol Trouver le complément quand il sagit de 10, de 100, etc. ou dun multiple de 10, de 100, etc. : Compléter à la dizaine supérieure : Compléter à 100 ou à la centaine supérieure : Recherche de compléments

61 Remarque : on peut aussi utiliser « les cartons Montessori » Exemple : Lenseignant dicte un nombre et lélève doit écrire ce nombre en superposant les cartons adéquats.

62 V. Exemples de « problèmes pour chercher » dans le domaine numérique

63 V Exemples de « problèmes pour chercher » dans le domaine numérique Problème 1 Problème « La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans lactivité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et sexerce à tous les stades des apprentissages. » (IO 2008) On veut fabriquer 66 en utilisant des billets de 10, des billets de 5 et des pièces de 1. Quelle est la solution qui utilise le moins de pièces et billets ? 5 Certains des problèmes proposés sont issus du document dans lequel des sources sont citées.

64 Problème 3

65 Problème 4 Problème 5 Il y a plusieurs solutions

66 Problème 6 (assez difficile)

67 Problème 7 Problème On a utilisé 15 fois le chiffre 4.

68 Problème 9 Il y a plusieurs solutions Problème

69 Problème 11 Combien de mots différents suffisent à un écolier français pour écrire les cent premiers nombres ? Un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix onze douze treize quatorze quinze seize vingt et trente quarante cinquante soixante cent 23 mots

70 - Essayer datteindre 17 en utilisant la calculatrice. - Essayer datteindre 18 en utilisant la calculatrice. Exemple de solution : – 6 = 17 Le problème na pas de solution. Activité « atteindre un nombre » On dispose dune calculatrice qui na que que deux touches : une touche « ajouter 9 » et une touche «enlever 6 ». On part du nombre 5. Un problème « pour chercher» et un jeu plus difficiles

71 On peut atteindre les nombres : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, etc. Complément : Recherche des nombres quon peut atteindre

72 Le but du jeu est de fabriquer le premier le nombre 15 en ajoutant TROIS nombres compris entre 1 et 9. On dispose de neuf jetons sur lesquels sont inscrits les nombres entiers de 1 à 9. On tire au sort le joueur qui commence le premier. Chaque joueur choisit un jeton à tour de rôle parmi les jetons qui nont pas encore été choisis. Première version du jeu : chaque joueur ne tire pas plus de trois jetons (si un des joueurs voit quil obtient 15 en tirant son troisième jeton, il a gagné. Sinon, cest match nul). Joueur 1 Joueur Le joueur 1 a gagné. 4 Jeu à deux « atteindre 15 »

73 Joueur 1 Joueur Le joueur 1 a gagné. Deuxième version du jeu : On joue comme dans la première version mais si aucun joueur nobtient 15 en tirant son troisième jeton, les joueurs continuent de choisir un jeton l'un après l'autre. Mais la règle ne change pas : il faut toujours obtenir 15 avec TROIS jetons. Dès qu'un joueur voit quil peut réaliser la somme 15 avec TROIS jetons PARMI les jetons qu'il a en sa possession, il a gagné. Remarques : -si un joueur ne voit pas quil a obtenu 15, le jeu continue. -si aucun joueur narrive à obtenir 15, il y a match nul.

74 Complément concernant le jeu « Atteindre 15 » : Quel nombre a intérêt à choisir le joueur qui commence ? - Recherche de toutes les décompositions additives de 15 utilisant trois nombres inférieurs à = = = = = = = = Recherche du nombre de fois où apparaît chacun des nombres de 1 à 9 dans les décompositions précédentes : Nombre Nombre d'apparitions - Remarque : réalisation d'un carré magique avec les entiers de 1 à 9 (les sommes des nombres de chaque ligne de chaque colonne et de chaque diagonale doit valoir 15) Le 5 qui apparaît 4 fois dans les décompositions de 15 doit être au centre. Dans chaque coin, il doit y avoir un nombre qui apparaît 3 fois dans les décompositions de 15. Exemple :

75 Vous pouvez aussi utiliser le lien ci-dessous : 60 énoncés de "problèmes pour chercher" pour le cycle 2 (document word) 60 énoncés de "problèmes pour chercher" pour le cycle 2 (document word) (Remarque : A partir de ce fichier, David Buffo a réalisé un document illustré pour CE1 qui est disponible)


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