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Enseigner les mathématiques au cycle 3 Joinville le 11 mars 2009 Daniel Bensimhon.

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1 Enseigner les mathématiques au cycle 3 Joinville le 11 mars 2009 Daniel Bensimhon

2 1 - Les enjeux de lenseignement des mathématiques à lécole

3 Les principaux enjeux de lenseignement des mathématiques à lécole 1 – une continuité éducative avec le collège 2 – la formation du futur citoyen 3 – la dimension culturelle des mathématiques 4 – la formation générale des élèves 5 – la pluridisciplinarité des mathématiques

4 Enjeu de lécole primaire : la séparation progressive des disciplines Cycle 1 : découvrir le monde 1. Découverte sensorielle 2. Exploration du monde de la matière 3. Découvrir le monde animal 4. Découvrir le monde des objets 5. Repérages dans lespace 6. Le temps qui passe 7. Découverte des formes et des grandeurs 8. Approche des quantités et des nombres

5 Enjeu de lécole primaire : la séparation progressive des disciplines – programmes 2008 Cycle 2 : mathématiques 1. Nombres et calcul 2. Géométrie 3. Grandeurs et mesures 4. Organisation et gestion de données Cycle 3 : mathématiques 1. Nombres et calcul 2. Géométrie 3. Grandeurs et mesures 4. Organisation et gestion de données

6 2 - Enseigner les mathématiques : une démarche, des contenus

7 La démarche dapprentissage Le degré zéro (environnement non exploité) Limprégnation La découverte Linstitutionnalisation Lapplication Lextension

8 Un concept visé : la symétrie axiale Étape zéro : utilisation du miroir Imprégnation : tampon encreur, papier calque, découpage de ribambelles, frises géométriques Découverte : classer un ensemble de figures (certaines ont un axe de symétrie) Institutionnalisation : notion de symétrie axiale Application : construire le symétrique dune figure. Extension : symétrie et agrandissement.

9 Les frises

10 Un concept visé : la symétrie axiale Étape zéro : utilisation du miroir Imprégnation : tampon encreur, papier calque, découpage de ribambelles, frises géométriques Découverte : classer un ensemble de figures (certaines ont un axe de symétrie) Institutionnalisation : notion de symétrie axiale Application : construire le symétrique dune figure. Extension : symétrie et agrandissement.

11 Un concept visé : la division euclidienne Étape zéro : répartitions diverses de collections dobjets pris dans la vie quotidienne Imprégnation : situations de partage quelconque, plus ou moins complexes, à résoudre pour elles-mêmes Découverte : situations de partage sous contraintes (parts égales, reste minimal) Institutionnalisation : la division euclidienne Application : situations de division euclidienne Extension : division avec de grandes quantités – division avec des décimaux

12 Lerreur, parlons-en !

13 Deux citations de Bachelard « La formation à lesprit scientifique » Se tromper est nécessaire pour réussir (….) Lexpérience nest ni plus ni moins que le souvenir des erreurs rectifiées Point de vue de Françoise Cerquetti-Aberkane (Hachette Education – Enseigner les mathématiques à lécole Paris 1992) Lerreur nest pas une faute. Un exercice de mathématiques nest ni bien, ni mal ; il est juste ou faux. Lerreur est un indicateur, cest une prise dindices sur la connaissance des enfants. Cest un retour critique sur son propre enseignement. Accorder un autre statut à lerreur (Roland Charnay) Se tromper est normal dans la phase dapprentissage. Dans cette phase, lerreur ne doit pas être sanctionnée On apprend aussi en travaillant sur les erreurs

14 Les enseignants et lerreur -Dans lensemble, les maîtres sont largement conscients du parti quils peuvent tirer des erreurs commises. -Cependant, trop souvent lanalyse des erreurs est collective -La prise en compte des erreurs individuelles est une activité qui nécessite de lécoute et du dialogue

15 Le statut de lerreur Typologie sur lorigine des erreurs (Source : JP ASTOLFI : Lerreur, un outil pour enseigner, ESF 1997) 1. Erreurs relevant de la compréhension des consignes 2. Erreurs résultant dhabitudes scolaires ou dun mauvais décodage des attentes du maître 3. Erreurs témoignant des conceptions alternatives de lélève 4. Erreurs liées aux opérations intellectuelles impliquées 5. Erreurs portant sur les démarches adoptées 6. Erreurs dues à une surcharge cognitive 7. Erreurs ayant leur origine dans une autre discipline 8. Erreurs causées par la complexité propre du contenu

16 1. Erreurs relevant de la compréhension des énoncés

17 -Ne pas confondre lecture dénoncé et résolution de problème ! -Être attentif à la pertinence de lénoncé -Amener les élèves à sengager dans un travail lorsque la consigne est suffisamment précisée

18 Difficultés dans la lecture des énoncés de problèmes -Des textes particuliers : une représentation mentale de la situation mathématique. -Des représentations sémantiques erronées. Exemple : le sommet dun triangle -Des difficultés à opérer les inférences indispensables ; linterprétation des données est difficile. -Les énoncés des problèmes arithmétiques sont nécessairement lacunaires

19 Lecture des énoncés : une démarche -Tout au long du cycle 3, il faut que les élèves soient confrontés aux énoncés sans la médiation dune première lecture par le maître (des énoncés adaptés, différenciés) -Les élèves doivent apprendre à naviguer entre données et questions, à passer du texte à dautres formes de (re)présentations des données (schéma, tableau, graphique, etc.) -Ils doivent aussi apprendre à mobiliser leurs connaissances pour se représenter les situations et valider la plausibilité de leurs réponses -La médiation par le maître est plus ou moins présente ; elle sélimine peu à peu à des moment différents selon les élèves. Viser la stabilité des apprentissages.

20 Facteurs de difficulté des énoncés de problèmes 1) La place de la question : fin ou début ? Inciter à une double lecture quand la question est en position terminale 2) Ordre des données : ordre correspondant à celui du traitement ou non ; ordre syntaxique cohérent ou non… Proposer des énoncés avec des présentations variées 3) Complexité du texte : phrases complexes, avec des relatives (surtout avec dont) Faire effectuer des reformulations du texte ; produire un autre texte plus explicite (réécriture) ; reprise des données sous dautres formes 4) Caractère plus ou moins complet des données : données indispensables et données parasites Les élèves ont tendance à « tout » utiliser dans un énoncé. Repérer les données inutiles (les isoler, les supprimer). 5) Caractère plus ou moins familier de la situation : utiliser les connaissances préalables et les valider Des connaissances très variables selon les élèves. Chercher la pertinence des réponses et les dépasser

21 Facteurs de difficulté des énoncés de problèmes 6) Vocabulaire univoque ou non : un lexique spécifique aux mathématiques ou non. Des formules peuvent poser des problèmes (« des livres à 12 euros pièce ») Élaborer un répertoire (comme dans les autres domaines). Des séances spécifiques (décrochées) détude de la langue. 7) Informations données sous plusieurs formes : textes, graphiques, photos, schémas. Parvenir à relier ces informations diverses Éclaircir le caractère complémentaire des informations 8) Problèmes à une ou plusieurs étapes de résolution : les étapes sont suggérées ou non par la question Veiller à passer dénoncés où les étapes sont suggérées par les questions à des énoncés présentant uniquement la question. Un aspect possible de différenciation pédagogique (texte plus ou moins « guidant », certaines étapes suffisantes…) 9) Problème fermé ou problème ouvert : pas de réponse canonique ; plusieurs solutions possibles Diversifier les textes pour éviter les représentations figées (une question/une réponse) 10) Référence notionnelle : certains mots induisent la mobilisation dune notion, dune procédure…pas toujours à bon escient ; parfois la proximité temporelle « fonctionne » Chercher à éviter tout conditionnement mais viser cependant la stabilité. Proposer aussi des problèmes « décrochés ».

22 -Proposer des supports variés de diverses présentations (le vécu, dessin, schéma, oral, écrit…) -Favoriser lappropriation des notions sans confondre les objectifs

23 2. Erreurs résultant dhabitudes scolaires ou dun mauvais décodage des attentes du maître

24 -Lélève peut être « victime » dhabitudes scolaires -Idée de proximité « temporelle » -Lentretien oral avec lélève est essentiel pour mieux comprendre les erreurs -« Lors dun exercice qui consiste à écrire soixante- trois en chiffres, des élèves écrivent 57. -Explication dun élève : « En mathématiques, on fait faire des opérations. Soixante moins trois, je fais la soustraction et je trouve 57 » -Lerreur était juste un problème dinterprétation du tiret…

25 Chercher à parler avec lélève -Des entretiens individuels pour faire comprendre doù vient lerreur -Proposer des phases de travail individuel -Observer de façon active comment procède lélève : -Par exemple, en regardant lélève en train deffectuer une opération, interroger : Pourquoi as-tu mis 5 ici ? Es-tu certain du résultat ? Peux-tu recalculer devant moi… Il faut faire « penser tout haut » autant quon le peut. -La correction immédiate est essentielle car elle évite linstallation derreurs.

26 Apport de lentretien portant sur lanalyse des erreurs Lentretien permet de prendre en compte lerreur de façon plus fine, de connaître les difficultés rencontrées par lélève. On peut poser ce type de questions : - Quest-ce que tu as fait ? - Quest-ce quil fallait faire ? - Quest-ce quil fallait faire pour réussir ? La prise en compte des points forts est primordiale pour développer chez lélève une attitude scolaire positive. Cela permet à lélève de reconnaître ses réussites, de « se faire confiance » et aussi de jeter la base dun travail sur lestime de soi sans lequel aucun engagement dans les apprentissages nest possible. Un climat de confiance doit présider à cet entretien qui doit être court et serein.

27 3. Erreurs témoignant des conceptions alternatives de lélève

28 Certaines erreurs témoignent des conceptions alternatives des élèves (appelées plus communément représentations). Afin de modifier le statut que lon donne à ce type derreurs, il sagit en premier lieu danalyser les représentations et les obstacles sous-jacents à la notion étudiée. La prise en compte didactique nécessite un travail découte, de compréhension, didentification, de comparaison et de discussion avec les élèves.

29 4. Erreurs liées aux opérations intellectuelles impliquées

30 Dautres erreurs sont directement liées aux opérations intellectuelles impliquées, cest-à-dire à la diversité des opérations intellectuelles pour résoudre des problèmes en apparence proches. Des exercices apparemment proches mettent en jeu des compétences diverses et cela mérite dêtre analysé. En guise de traitement didactique, il sagit dopérer une sélection plus stricte des exercices et des activités.

31 5. Erreurs portant sur les démarches adoptées

32 Face à une réponse attendue, les démarches étonnantes sont parfois trop rapidement étiquetées comme fausses. Lanalyse de la diversité des procédures possibles peut donc se révéler très utile. De plus, les stratégies variées sont susceptibles dêtre source dévolutions chez les élèves.

33 6. Erreurs dues à une surcharge cognitive

34 Les erreurs sont quelquefois dues à une surcharge cognitive. La charge mentale de lactivité devrait être mieux évaluée et lactivité décomposée en sous-tâches, plus faciles à gérer au niveau de la mémoire. Pour certains problèmes mathématiques, le recours à la calculatrice évite cette surcharge et donne à cette machine son statut doutil.

35 7. Erreurs ayant leur origine dans une autre discipline

36 Autres erreurs fréquentes que celles qui trouvent leur origine dans une autre discipline. Le transfert des connaissances est une opération à construire. Le transfert, cest aussi un travail permanent à faire et non le simple transport dune compétence acquise. Toute activité intellectuelle authentique consiste à rapprocher deux contextes, afin den apprécier les différences et les similitudes.

37 8. Erreurs causées par la complexité propre du contenu

38 Certaines erreurs peuvent être causées par la complexité propre au contenu denseignement. Insuffisamment perçue, la complexité interne peut être source de difficulté systématique. Terrain de la mise en place dune différenciation pédagogique

39 3 – La résolution de problèmes

40 La résolution de problèmes Une place centrale dans les Instructions officielles accordée aux problèmes –Différentes natures de problèmes (de recherche, dapplication…) –Porter une attention particulière sur les démarches, les erreurs, les méthodes –Présentation sous forme variée –Lutter contre la « tradition scolaire » et les problèmes dits dapplication

41 La résolution de problèmes Objectifs poursuivis Viser la maîtrise des connaissances et en assurer lappropriation Les mathématiques sont perçues et donc vécues comme des moyens, des outils pour anticiper, prévoir et même décider. Faire des mathématiques, cest élaborer de tels outils Constituer une base, un socle sur lequel construire les connaissances ultérieures. Les élèves prennent conscience des limites ou de linsuffisance des connaissances dont ils disposent Passer progressivement dune solution personnelle à une solution experte Créer des interactions entre élèves Développer la confiance en soi ainsi que limagination et le désir de recherche

42 4 – Des problèmes pour chercher

43 Des problèmes pour chercher Confronter les élèves à de véritables problèmes de recherche pour lesquels ils ne disposent pas de solution déjà éprouvée : -Des problèmes offrant une certaine résistance et plusieurs démarches possibles -Cest lactivité même de résolution de problème qui est privilégiée développer un comportement de recherche et de la méthode émettre des hypothèses, les tester faire et gérer les essais successifs (mais non infinis) proposer une solution originale, argumenter et en éprouver la validité - Prise de conscience par lélève de la puissance des connaissances, même si celles-ci sont modestes. - Tous les contenus mathématiques sont touchés - Valorisation de comportements et de méthodes - Favoriser léducation civique (entraide, écoute, respect dautrui, etc.)

44 Problème : les cartes à jouer CM1/CM2

45 Problème : les cartes à jouer Six groupes délèves Trois cartes sont choisies par les groupes délèves et mises dans une boîte. Combien de cartes dans la boîte ? côtés comptés à partir des cartes choisies Consigne : Trouver le nombre de cartes portant des carrés et les cartes portant des triangles

46 Problème : les cartes à jouer Déroulement possible Cinq minutes de recherche personnelle Début dopérations posées – informations du tableau recopiées….. Vingt minutes de recherche en groupe Échanges multiples entre élèves, enlever des carrés, ajouter des triangles, etc. Une pause au bout de 10 minutes : mises au point des élèves…. Nouvelle phase de recherche Procédures affinées en fonction des commentaires donnés lors de la pause Mise en commun Le rapporteur désigné par la maîtresse… que des carrés (15 cartes) que des triangles (20 cartes)… le nombre de cartes (18) toujours maintenu et la variation portant sur la répartition entre le type de carte (procédure empirique et solution personnelle). Critiques successives, écoute, commentaires…. Validation et synthèse Ouverture de la boîte… 12 triangles et 6 carrés….égalités pointées comme moyen de validation. Commentaire des élèves sur leurs procédures et leur vécu lors du problème de recherche.

47 Problème de recherche : Les cartes à jouer - c ommentaires Problème posé pas forcément à partir dun écrit Les élèves doivent facilement sapproprier la situation et se représenter la tâche pour sy engager Donner un problème de recherche, cest lancer un défi Lattitude du maître est aussi décisive que le choix du problème : théâtralité lors de la présentation Validation le plus possible à la charge des élèves.

48 Problème de recherche Les cartes à jouer - La procédure experte Ce problème est une équation à deux inconnues t = nombre de trianglesc = nombre de carrés t + c = 18 c = 18 - t 3t + 4c = 60 3t + 4(18 – t) = 60 3t + 72 – 4t = 60 -t = 60 – 72 t = 12 c = 6 Soit : 6 carrés et 12 triangles dans la boite

49 La cible CE1/CE2

50 La cible Objectifs poursuivis : Multiples et compléments Énoncé : quand on lance une flèche au centre de la cible, on marque 16 points. Dans la couronne on marque 3 points. Alexandre a obtenu 190 points. Consigne: trouver les quatre façons possibles dobtenir le score dAlexandre

51 La cible Voici la liste des multiples de – 80 – – 128 – 144 – Les compléments à 190 sont Dans cette liste, les multiples de 3 sont : 174 (58 x 3) 126 (42 x 3) 78 (26 x 3) 30 (10 x 3) Solutions possibles 1 flèche sur le 16 et 58 flèches sur le 3 4 flèches sur le 16 et 42 flèches sur le 3 7 flèches sur le 16 et 26 flèches sur le 3 10 flèches sur le 16 et 10 flèches sur le 3

52 Même aire, même périmètre CM2

53 Même aire, même périmètre Objectifs visés : rayons – cercle – périmètre - aire Consigne : Les cinq figures sont formées de deux formes reconnaissables. Elles ont toutes la même aire. Deux seulement ont le même périmètre. Lesquelles ? Donc, C et E ont le même périmètre et la même aire

54 Mise en œuvre du problème de recherche - synthèse Présentation du problème Un temps de recherche personnelle Un temps de travail en groupe Une mise en commun et un débat Une synthèse Un ou des prolongements

55 Où trouver de tels problèmes de recherche ? Les rallyes mathématiques proposent ce genre de problèmes –Soit dans les circonscriptions, dans les académies…. –Soit sur des sites Internet : taper « rallye mathématique » dans Google Quelques sites et en particulier la revue Grand N pour les enseignants

56 5 – Apprendre par la résolution de problèmes

57 Apprendre par la résolution de problèmes La solution personnelle –Les propres stratégies de lélève –Une avancée vers lautonomie de lélève –Des activités modulées La solution experte –Lélève ne passe pas spontanément à cette solution –Apprentissage grâce à des situations –Solutions qui permettent daborder dautres solutions personnelles –Des problèmes dapplication et de réinvestissement

58 Comment obtenir laire de ce cerf-volant ?

59 Plusieurs solutions possibles : –Calculer la somme des aires des quatre triangles rectangles (des demi- rectangles) –Laire du cerf-volant est égale à la moitié de celle du rectangle dans lequel le cerf- volant est inscrit Et la solution experte ? Une formule : calcul du demi produit des longueurs des diagonales du cerf-volant

60 Comment obtenir laire de ce cerf-volant ?

61 Lautocar Enoncé : Un autocar qui peut transporter 60 personnes est complet. 45 adultes y sont installés. Tous les autres passagers sont des enfants. Combien y a-t-il denfants dans lautocar ?

62 Lautocar Calcul expert : deux solutions –Soit le complément de 45 à 60 –Soit la différence entre 60 et 45 Calcul de lélève –Envisagé spontanément comme un complément 45 + ….. = 60 –Aider les élèves à reconnaître la soustraction, solution plus experte pour dautres nombres (un train de 926 places occupé par 389 adultes)

63 6 - Le calcul Le calcul mental Le calcul posé Le calcul instrumenté

64 Le calcul aujourdhui Une démarche à construire –Déterminer le degré dapproximation supportable (raisonnable) pour le résultat Estimer un ordre de grandeur du résultat –Choisir loutil de calcul le plus adapté au calcul –Exécuter le calcul avec cet outil Comparer le résultat obtenu avec lestimation faite en préalable (procédure de test) Mobiliser une procédure de vérification du résultat (procédure de test) – Restituer le résultat après lavoir corrigé en approximation (communiquer)

65 Calcul mental -Une bonne maîtrise du calcul mental est indispensable pour les besoins de la vie quotidienne -Le déficit de maîtrise du calcul mental fragilise gravement l'apprentissage des techniques écrites. -Ce qu'on désigne sous le terme de calcul écrit (« l'opération posée ») requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental.

66 Deux natures de calcul mental : le calcul automatisé et le calcul réfléchi -Le propre du calcul automatisé est de délaisser l'intuition des nombres, l'ordre de grandeur. -Sans disponibilité rapide des résultats des tables, il n'y a pas d'accès possible aux techniques opératoires. -Le calcul réfléchi nécessite une intuition des nombres ainsi qu'une part d'initiative et de choix. Il permet d'enraciner - l'ordre de grandeur, -le sens des opérations et -leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité).

67 Fonction pédagogique du calcul mental -Le calcul mental permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels (relations additives ou multiplicatives entre les nombres) ; -La pratique du calcul réfléchi s'appuie, le plus souvent implicitement, sur les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première compréhension ; -Les premiers maniements des notions mathématiques (qui en permettent la compréhension initiale) sont le plus souvent fondés sur le recours au calcul mental. -Le calcul réfléchi nécessite l'élaboration de procédures originales et, par là, contribue au développement des capacités de raisonnement des élèves

68 Proposition de progression de calcul mental Principes : -Proposer des séquences assez courtes (elles sollicitent beaucoup) -Des exercices faciles au début (mémoire et attention mobilisées) -Des exercices plus complexes (stratégies plus nombreuses) -Terminer par un exercice difficile (obtenir un résultat et/ou ouvrir la réflexion) -Le calcul mental prescrit que lon ne pose pas dopérations mais le recours à lécrit est possible Modalités : -Lénoncé de la question est oral ou écrit (sil est écrit, il doit être effacé au bout de quelques instants) -Lélève écrit la réponse (ardoise) ou lénonce oralement -Il est autorisé à écrire des résultats intermédiaires mais pas lopération -Il lui est possible de consulter visuellement une graduation, un tableau numérique, des tables

69 1)Calcul additif/soustractif -Ajouter/retrancher 1 -Ajouter/retrancher 10 (à partir dune dizaine entière ; à partir dun nombre quelconque) -Ajouter/retrancher 2 (à partir dun nombre pair/impair) -Ajouter/retrancher 5 (à partir dun nombre en « 0 » ou « 5 ») -Complément à 10 (jeux de cartes, de dominos, « faire dix ») -Doubles (et moitiés) -Ajouter/retrancher 11 ou 9 ( : ) Vers le plus complexe -Pas de retenues -Dizaine entière ( ) -Passage de dizaine ( )

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71 2) Calcul approché -situation sur une graduation : frises numériques affichées -Arrondir : trouver un nombre rond = ??? = Compensation : ? = 2270 ou = 2300

72 3) Calcul Multiplicatif -Opérations multiplicatives simples (par 10, 100, 1000…). Demander un résultat à lécrit (section par tranches de 3) -Doubles et moitiés (nombres « ronds » puis quelconques à deux chiffres : pairs ou impairs) -Les tables : 2 puis 5, puis 4, puis 6, puis les autres. Éviter la récitation uniquement dans lordre -Décomposition/ calcul approché : 123 x 12 = 120 x x 12 = = Les résultats partiels peuvent être écrits. Importance du calcul approché : 123 ˜ 100 et 12 ˜ 10 donc 123 x 12 ˜ Ou 120 x 10 ; 120 x 12… ou en proposant un choix parmi des nombres proches ou non du résultat : ; 1 400… 4) Division - Cest surtout le calcul approché qui est visé.

73 Pistes pour apprendre les tables de multiplication

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75 Propositions pour la technique opératoire de la multiplication

76 Technique de la multiplication « ERMEL »

77 Jeux de calculs multiplicatifs

78 Le calcul posé Pas de recherche de virtuosité trop tôt. Pas de procédures plaquées Des techniques certes à enseigner mais il faut recentrer létude sur la compréhension et la justification des techniques utilisées. Retarder donc un peu leur mise en place.

79 Le calcul instrumenté Le statut de la machine doit être clair, pour le maître mais aussi pour lélève. –La calculatrice : un outil Aide à lactivité mathématique effectuer les calculs du problème à poser Aide à lenseignement –Découvrir les mathématiques (propriétés de calcul…) –Sentraîner au calcul écrit (vérification des calculs) –La calculatrice : un objet détude Objet détude technique : découverte de la programmation et des possibilités quoffre linstrument.

80 7 - La numération : les grands nombres

81 Lire des grands nombres

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84 Le modèle « Planchon » -Une approche « nouvelle » de la numération -Chaque graphique correspond à un nombre (lire/écrire/décomposer le nombre) -Poursuivre le tableau vers la gauche : les « milliards » -Poursuivre le tableau vers la « droite » : les dixièmes (colonne B), centièmes (C), millièmes (D) -Comparaison de nombres, conversions…

85 8 - Quelques éléments de différenciation pédagogique

86 Commentaires issus du rapport de linspection générale sur lenseignement des mathématiques à lécole en cycle 3 – juin 2006 En ce qui concerne la différenciation pédagogique Constat : -Lerreur est permise mais pas assez exploitée -Lanalyse des erreurs est trop souvent collective. Cela nest pas toujours justifié Pistes : -Proposer parfois simplement un nombre dexercices moins important pour certains élèves -Introduire des activités plus simples pour certains -Ménager des étapes supplémentaires dans la résolution de certains problèmes -Les phases de travail individuelles sont primordiales. Elles permettent au maître de constater les difficultés et dinstaurer un dialogue avec lélève

87 Problème numérique « Un commerçant vient de recevoir 15 caisses de pommes contenant chacune 5 kg, 10 caisses de poires contenant également 5 kg. Il a payé les pommes 1,10 euro le kilo et les poires 1,20 euro le kilo. Il les revend en augmentant de 50 centimes le prix du kilo de pommes et 60 centimes celui des poires. » Quelle sera la recette totale de ce commerçant lorsquil aura tout vendu ? Une seule question peut suffire pour certains élèves Pour dautres élèves : -Travailler sur les mots importants : recette, dépense -Faire rechercher le prix dachat des pommes, puis des poires -Faire rechercher le prix de vente des pommes, puis des poires Pour dautres élèves plus experts, différencier ainsi « vers le haut » : -Quelle serait la recette dans le cas dune remise de 20 euros lors de la vente de la moitié des fruits à un seul client ?

88 Calcul -Donner moins dopérations à calculer -Donner les calculs intermédiaires -Proposer des aides ponctuelles (tables, coup de pouce…) -Donner des opérations plus simples -Inverser toutes ces idées pour une différenciation « vers le haut »

89 Géométrie -La géométrie développe lattention, lobservation, le soin et le goût du travail bien fait -Proposer une pratique récurrente du tracé, même de simples reproductions de figures -Donner le temps aux élèves de se tromper, de recommencer -Proposer plusieurs niveau de reproduction dune figure -Des aides plus ou moins prononcées -Le début de la figure déjà reproduite -Des points plus ou moins déjà placés

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93 9 - La banque doutils daide à lévaluation

94 La banque doutils daide à lévaluation

95 Banque doutils daide à lévaluation 1) Evaluer les compétences des élèves -Immédiatement en classe -À tout moment de lannée -Dans de nombreuses disciplines -De la GS de maternelle à la classe de seconde 2) Un point de vue « autre » -Indépendamment des méthodes pédagogiques employées dans la classe -Interroger les compétences mises en jeu dans les apprentissages -Une analyse possible des réponses des élèves -Conduire ces derniers plus loin dans leurs acquisitions à laide des pistes pédagogiques suggérées

96 Banque doutils daide à lévaluation 3) Les noms des disciplines sont ceux en usage au collège -Allemand, anglais, espagnol -Français -Mathématiques -Histoire - géographie -Sciences de la vie et de la Terre (SVT) -Sciences physiques et chimiques -Technologie Pour les enseignants du 1er degré, une recherche en « sciences et technologie » équivaut à chercher dans trois disciplines

97 Banque d´outils d´aide à l´évaluation diagnostique Présentation de la banque d´outils d´aide à l´évaluation Présentation des nouveaux outils Accès aux outils de la banque Pour lire et imprimer les fichiers.PDF, télécharger gratuitement Acrobat Reader Acrobat Reader Pour écouter les fichiers sons, télécharger gratuitement le plug-ing Winamp Winamp Vous pourrez ensuite enregistrer les différents exercices en branchant un magnétophone à la prise de sortie de votre ordinateur dédiée aux haut-parleurs. Autres sites Résultats des évaluations de rentrée Matériel d´évaluation Portail Educ-Eval Documents d´accompagnement de la banque Évaluation GS/CP Sciences au collège © Ministère de la jeunesse, de l´éducation nationale et de la rechercheMinistère de la jeunesse, de l´éducation nationale et de la recherche

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100 Conclusion - Une approche différente de lenseignement des mathématiques place de la résolution de problèmes et les problèmes de « recherche » - Penser les apprentissages sur le long terme : un principe fondamental de lenseignement des mathématiques. Les notions se construisent donc sur la durée - Les outils comme les manuels sont nécessaires mais nempêchent pas lactivité collective de recherche

101

102 Les gens qui veulent toujours enseigner empêchent beaucoup dapprendre. (Montesquieu)


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