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1 Le théorème de Pythagore savoir faire et applications Bruno DELACOTE AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par.

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2 1 Le théorème de Pythagore savoir faire et applications Bruno DELACOTE AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par les droits d auteur. Les diapositives ne peuvent être ni dissociées ni redistribuées sans autorisation.

3 2 Conseils et méthode de travail Une feuille souvre sur une série dexercices : A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare lexercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d avoir compris pourquoi tu tes trompé. Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessous ou le clic droit de la souris. Permet de revenir page précédente Permet de revenir au sommaire Le menu du clic droit, le numéro des diapositives et les liens hyper-texte permettent également de naviguer.

4 3 Sommaire Enoncé du Théorème de PYTHAGORE. Calcul de l hypoténuse d un triangle rectangle. Calcul d un petit côté d un triangle rectangle. De nouveaux nombres : les racines carrées. Montrer quun triangle n'est pas rectangle. Théorème réciproque : montrer quun triangle est rectangle. Les applications et exercices.

5 4 Si les mesures de deux côtés d un triangle rectangle sont connues, le théorème de Pythagore permet de calculer la mesure du troisième côté. Dans un triangle, si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée alors le triangle n'est pas rectangle. Enoncé du théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle Cet énoncé indique clairement que l hypoténuse est le côté le plus long. Cest aussi le côté opposé à l angle droit. UTILISATIONS b c a alors la somme des carrés des mesures des deux petits côtés est égal au carré de la mesure de l hypoténuse. b² + c²= a²

6 5 A B C Dans le triangle ABC rectangle en A la relation de Pythagore s écrit : BC² = AC² + AB² N M P Ecris la relation de Pythagore dans le triangle MNP PM² = PN² + NM²

7 6 On peut résoudre un premier type de problème : Calculer la mesure de l hypoténuse d un triangle rectangle dont on connaît les mesures des deux petits côtés. A B C 3 cm 4 cm Le Triangle ABC est rectangle en A, la relation de Pythagore s écrit : BC² = AC² + AB² BC² = 4² + 3² On substitue puis on calcule BC² = BC² = 25 BC = 5cm

8 7 On peut résoudre un deuxième type de problème : Calculer la mesure d un petit côté du triangle rectangle dont on connaît les mesures de l hypoténuse et de l'autre petit côté. A B C 5 cm 13 cm Le Triangle ABC est rectangle en A, la relation de Pythagore s écrit : BC² = AC² + AB² 13² = AC² + 5² On substitue puis on calcule 169 = AC² = AC² 144 = AC² AC = 12 cm

9 8 Nous avons besoin de nouveaux nombres ! N M P PM² = PN² + NM² N M P 2 cm 3 cm 2 cm Dans les deux cas suivants, la relation de Pythagore s écrit PM² = 2² + 3² PM² = 13 Et la calculatrice donne une valeur proche de 3,6 cm 3² = 2² + NM² 9 = = Et la calculatrice donne une valeur proche de 2,2 cm. ATTENTIONATTENTION est le seul nombre positif dont le carré est égal à a !

10 9 A B C 7 cm 13 cm 15 cm Exemple de rédaction Le côté le plus long du triangle ABC est BC = 15 cm. Je compare BC² = 15² BC² = 225 AC² + AB² = 7² + 13² AC² + AB² = AC² + AB² = 218 Si le triangle était rectangle en A, on aurait AC² + AB² = BC² d'après le théorème de Pythagore. Or ce n'est pas le cas donc le triangle n'est pas rectangle. Ce triangle est-il rectangle ?

11 10 Quelques applications du théorème direct Chaque ligne correspond à un triangle rectangle en A. Calcule la mesure manquante A B C

12 11 Si les trois mesures des côtés d un triangle sont connues, le théorème réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer que le triangle est rectangle. Enoncé du théorème réciproque de Pythagore : Dans un triangle, si le carré de la mesure du côté le plus long est égal à la somme des carrés des mesures des deux petits côtés alors le triangle est rectangle.

13 12 A B C 6 cm 8 cm 10 cm Exemple de rédaction Le côté le plus long du triangle ABC est BC = 10 cm. Je compare BC² = 10² BC² = 100 AC² + AB² = 8² + 6² AC² + AB² = AC² + AB² = 100 Daprès le théorème réciproque de Pythagore ce triangle est rectangle en A.le théorème réciproque de Pythagore Ce triangle est-il rectangle ?

14 13 Quelques applications du théorème et de sa réciproque. Chaque ligne correspond à un triangle. Ce triangle est-il rectangle ? ? NON OUI NON 1) Chercher le côté le plus long. 2) Le carré du coté le plus long est-il égal à la somme des carrés des deux autres côtés ?

15 14 Sommaire Enoncé exercice 1 : le triangle est-il rectangle ? Enoncé exercice 3 : dans une sphère. Enoncé exercice 2 : une équation est nécessaire. Enoncé exercice 4 : dans une pyramide. Enoncé exercice 5 : dans un cube. Des problèmes pour réfléchir

16 15 M HN P 10cm 8cm 12cm Le triangle MNP est-il rectangle ? Il faudrait calculer MP ou MP² pour comparer MP² + NP² avec MN². Utilise le théorème (direct) de Pythagore pour calculer PH² puis PM². Tu pourras chercher une valeur approchée de PH et MP pour vérifier ton travail et ton dessin. Mais attention : l'égalité de Pythagore doit être exactement vérifiée. L'emploi de valeurs approchées ne prouvera rien puisque deux nombres presque égaux peuvent être différents !

17 16 M HN P 10cm 8cm 12cm Le triangle MNP est-il rectangle ? Dans le triangle PNH rectangle en H, l égalité de Pythagore s écrit : PN² = NH² + HP² 12² = 8² + HP² 144 = 64 + HP² 80 = HP² Dans le triangle PMH rectangle en H, l égalité de Pythagore s écrit : PM² = MH² + HP² PM² =10² + 80 PM² = PM² = 180 Dans le triangle MNP, le côté le plus long est MN, Je compare MN² = 18² MP² + PN² = ² MN² = 324 MP² + PN² = MP² + PN² = 324 Donc d après le théorème réciproque de Pythagore MNP est rectangle en P.

18 17 Un poteau électrique de 7,5 m de haut s est brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce poteau sest-il brisé ? 1,5 m Appelons x la hauteur cherchée. x Si on suppose que le sol est horizontal et le poteau vertical alors le triangle ABC est rectangle en A. A B C BC sexprime en fonction de x BC = 7,5 - xEt légalité de Pythagore sécrit BC² = AC² + AB² (7,5 - x) ² = 1,5² + x² Je ne sais plus développer suite

19 18 1,5 m x A B C BC² = AC² + AB² (7,5 - x) ² = 1,5² + x² Le poteau sest brisé à 3,6 m de haut. Je ne sais plus résoudre cette équation ! -15 x = - 54 x =-54 / (-15) x = 3,6 (7,5 - x )(7,5 - x) = 2,25 + x²x² 56,25 - 7,5 x - x + x² = 2,25 + x²

20 19 Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant quelle s est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l eau par la balle. O B C A Utilise le texte pour déterminer les valeurs de OA, AC et OC. Il faut réaliser un croquis

21 20 Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant quelle s est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l eau par la balle. O B C A 30cm 10cm 5 cm Il reste à appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle OBC. OB² = OC² + CB² 15² = 5² + OC² 225 = 25 + OC² 200 = OC² OC = 200 Le diamètre cherché est proche de 28,3 cm.

22 21 S A B C D SABCD est une Pyramide régulière de base carrée. SA = AB = BC = CD = AD = 50 cm On demande de calculer la hauteur puis le volume en litres de cette pyramide. I Voir une construction de la pyramideVoir une construction de la pyramide. Voir la solution guidée.

23 22 S A B C D I Trace la base ABCD : en réalité c'est un carré, mais en perspective il faut dessiner un parallélogramme. Trace le centre I du parallélogramme. Trace une hauteur IS. Trace les arêtes. Tu peux réaliser plusieurs dessins en faisant varier - l'angle BÂD - la longueur SI. Compare ces différents croquis ! Tracé de la pyramide régulière.

24 23 S A BC D I ABCD est un carré ! Calcule AC puis AI. ABC est un triangle rectangle et isocèle en B, l égalité de Pythagore s écrit : AC² = AB² + BC² AC² = 50 ² + 50² AC² = 5000 Donc 50 cm

25 24 S A BC D I 50 cm ABCD est un carré contenu dans un plan horizontal et SI est une droite verticale, donc : SIB est un triangle rectangle en I, et l égalité de Pythagore s écrit : SB² = SI² + IB² Les diagonales d un carré sont isométriques et ont même milieu, donc AI = IB. Finalement

26 25 S A BC D I 4 cm Construire une pyramide régulière de base carrée 4 cm et de hauteur 5 cm ! 5 cm Indications : Calculer AI puis SA. Il faudra prendre SA proche de 4,65cm

27 26 On demande de calculer la diagonale intérieure d un cube de coté 5cm. A B C Le triangle ABC est (isocèle et ) rectangle en B, la relation de Pythagore s écrit : AC² = AB² + BC².... D Le triangle ACD est rectangle en C, la relation de Pythagore sécrit : AD² = AC² + CD².....

28 27 Le balancier de lhorloge L oiseau, la souris et les deux chats activités de synthèse : voir dans lespace, théorèmes de Pyhagore, Thalès, trigonométrie….

29 28 Le balancier de cette horloge intrigue le jeune Guillaume. Quelle longueur mesure cet objet ? Soudain guillaume a une idée, il marque un point A au bas du balancier et constate que ce point A se déplace sur un arc de cercle. A Il mesure l'amplitude des courses verticale puis horizontale de ce point. Il trouve respectivement 2cm et 12cm. Il construit un croquis et constate qu'il suffit de résoudre une petite équation...

30 29 x A 6cm 2cm B A' O A partir de la position médiane OA Le balancier se déplace vers une position extrême OA' l'énoncé donne les indications suivantes Ce qui fait apparaître un triangle rectangle OA'B dont les dimensions sont... 12cm

31 30 x A 6cm 2cm B A' O x - 2 x D'après l'égalité de Pythagore OA'² = OB² + A'B² x² = (x-2)² + 6² x² = (x - 2)(x - 2) + 36 x² = -2x - 2x = -4x + 40 x =10 Le balancier mesure 10 cm

32 31 Dans l'angle d'un entrepôt de forme parallélépipédique, deux chats observent un oiseau et une souris qui ont pris position sur un reposoir près du plafond proche de l'angle opposé. - Ne t'en fait pas, dit l'oiseau à la souris, cet entrepôt mesure 30 mètres de long, 15 mètres de large et 6 mètres de haut. Le théorème de Pythagore permet de calculer la distance qui nous sépare des mathoux. - Je sais, répond la souris, ils n'escaladent pas aussi facilement les murs que moi. De plus le théorème Thalès permet de trouver la longueur du plus court chemin qu'ils auraient à parcourir pour nous attraper. Les chats trouvent ces proies bien savantes et se méfient, contentons-nous de nos croquettes se disent-ils en quittant les lieux.

33 32 15m 30m 6m

34 33 15m 30m 6m Calcule la distance qui sépare les chats de la souris et de l'oiseau C A B S

35 34 15m 30m 6m C A B S Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore au triangle ABC Rectangle en A. Puis au triangle SBC rectangle en C.

36 35 15m 30m 6m Il faut maintenant déterminer le plus court chemin que peuvent emprunter les chats. (Ils ne volent pas mais peuvent escalader les murs)

37 36 Parmi les multiples chemins possibles lequel est le plus court ? Pour étudier ce problème, tu peux réaliser le patron du solide au 1/200. Les dimensions réduites sont alors Longueur Largeur Hauteur 15cm 7,5cm 3cm Marque les positions des chats et de la souris (ou de l'oiseau) déplie ton patron.

38 37 Chats Oiseau et souris C S O A BM N Tu vois apparaître deux chemins en "ligne droite"

39 38 C S B N 30m 6m 15m Le théorème de Pythagore permet de calculer SCthéorème de Pythagore Et le théorème de Thalès permet de calculer AN Donc BN = 12,5m

40 39 C A B M Le théorème de Pythagore permet de calculer OC Et le théorème de Thalès permet de calculer BM Donc O 30m 6m 15m C'est le plus court chemin pour un animal qui ne vole pas !

41 40 Épilogue : calculer les angles indiqués sur le dessin 15m 30m 6m M C B O A A l'aide du cosinus et des travaux précédents on trouve

42 41 (3x - 2) x (4x-3) Tu dois penser = 3x x 4x + 3x x (-3) + (-2 ) x 4x + (-2) x (-3) Pour écrire directement (sans écrire ce que tu penses) (3x - 2)(4x-3) = 12x² Et calculer mentalement 3x x 4x ; 3x x (-3) ; (- 2) x 4x ; (-2) x (-3) Pour développer un produit du type (3x - 2)(4x-3) = 12x² - 17 x +6 12x² -8x -9x x- 8 x+ 6 Vous pourrez bientôt télécharger la présentation calclit.zip et recréer manuellement le lien vers cette page.

43 42 5x - 3 = 2 - 4x 5x x = 2 - 4x x 9x = 5 5x - 3 = 2 - 4x Réduis l'équation pour obtenir une forme simple du type 5x + 4x = x = 5 +4x +3 +4x+3 donc En divisant par 9 Pense ou écris Vous pourrez bientôt télécharger la présentation équa.zip et recréer manuellement le lien vers cette page.

44 43 M H N P 10cm 8cm 12cm Le triangle MNP est-il rectangle ? Un poteau électrique de 7,5 m de haut sest brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce poteau sest-il brisé ? 1,5 m Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant quelle sest enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l eau par la balle. SABCD est une Pyramide régulière de base carrée. SA = AB = BC = CD = AD = 50 cm On demande de calculer la hauteur puis le volume en litres de cette pyramide. On demande de calculer la diagonale intérieure d un cube de coté 5cm. S A B C D I


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