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Chapitre 1 Notions de variable aléatoire et de probabilité dun événement.

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1 Chapitre 1 Notions de variable aléatoire et de probabilité dun événement

2 1-1 Introduction. Les phénomènes physiques peuvent présenter un caractère probabiliste notamment en physique quantique. Ex. : Probabilité de présence dun électron (http://www.colorado.edu/physics/2000/schroedinger/two- slit2.html) On peut également appliquer une étude probabiliste à : - Des grandeurs mesurables (température, intensité du courant, période dun pendule) - Des phénomènes que lon peut observer (apparition de maladies, comportement animal). Dans le domaine des statistiques, chaque mesure, chaque relevé est appelé un événement.

3 1-2 Evènement aléatoire. Un événement aléatoire A est un événement avec plusieurs réalisations possibles mais non prévisibles. Un événement avec une seule réalisation possible (donc prévisible) est un événement certain. On associe aux événements des grandeurs mesurables discrètes (n° sur une face du dé, nombre denfants par famille,…) ou continues (vitesse des voitures, taille des individus,…). 1-3 Probabilité dun événement. On cherche à chiffrer la possibilité que lon a dobserver un événement aléatoire donné A. On associe à A une variable aléatoire X qui peut prendre les valeurs x 1, x 2 …, x n.

4 Probabilité de mesurer x i : P(x i ) = n(x i )/ N N correspond au nombre total dévénements qui se sont produits. n(x i ) est le nombre dévénements ayant eu x i comme valeur. Les probabilités P(x i ) constituent une distribution de probabilité qui vérifient la relation : Ex. : A= « obtenir 6 avec un dé » La variable X peut prendre 6 valeurs (x 1 =1, x 2 =2…, x 6 =6). Il y a 6 événements différents possibles. On comprend intuitivement que, si on suppose un dé non truqué: P(x 1 ) =P(x 2 ) =……….=P(x 6 ) =1/6.

5 Le problème est que le nombre n(x 1 ) va dépendre de la série dobservations que lon fait, cest-à-dire de N. Ex. : * P(A) en 3 coups (N=3) : 0/3 P(X=6) 3/3, selon la série de 3 * P(A) en 100 coups : P(X=6) ~ 1/6, quelle que soit la série de 100. La probabilité quun événement donné soit de type A est définie comme la limite lorsque N du rapport n(A)/ N: P(A)= La probabilité pour quun point se trouve dans le cercle de diamètre D est : lim n(dans cercle)/N = S disque /S carré = /4 Ex. :

6 1-4 Association dévénements. Dans la pratique, on peut être amené à regrouper différents événements A i en un ensemble plus large: ce nouvel ensemble constitue un nouvel événement. Intersection de 2 événements : A i et A j Union de 2 événements : A i ou A j Lorsque les événements sexcluent mutuellement : intersection nulle Événements indépendants : La distribution de chaque variable aléatoire nest pas affectée par les valeurs des autres variables Ex. : la taille et la couleur des cheveux Contre ex. : U=RI (Il y a stricte dépendance)…….mais…. Ex. : les individus dun même age nont pas tous la même taille on peut admettre que la taille est une variable aléatoire.

7 Propriétés : P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B) P(A et B) = P(A/B)*P(B) = P(B/A)* P(A) P(A/B) : probabilité conditionnelle qu un événement soit de type A, sachant quil est de type B. Si A et B sont indépendants: P(A/B) = P(A) et P(B/A)= P(B) P(A et B) = P(A). P(B) Ex : dé à 6 faces. Evénement A= obtenir un n° pair A= {2,4,6} P(A) = 1/6+1/6+1/6= 1/2 Evénement B = obtenir un n° < 3 B= {1,2} P(B)= 1/6+1/6 =1/3 (A ou B) = {1, 2, 4, 6} P(A ou B) =1/2+1/3-1/6= 2/3 (A et B) = {2} P(A et B) = P(A/B)*P(B) = 1/2*1/3 =1/6

8 1-5 Variables aléatoires discrètes. Soit un événement aléatoire A et une variable aléatoire X associée : X peut prendre différentes valeurs numériques x 1, x 2, …,x n selon les différentes réalisations possibles de A. Ex.: Une urne avec N boules portant des n°. On considère A « je tire une boule et je regarde le n° » x j : variable aléatoire X (x 1, x 2,…x N ). Ex. : On lance 2 dés et on prend comme variable aléatoire X= (d 1 + d 2 ). Lunivers des possibles (nombre de configurations réalisables) est 6*6=36 La distribution de probabilité est: X P(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 On peut représenter la distribution des probabilités sur un histogramme :

9 x= (d 1 +d 2 ) P(x)

10 1-6 Variables aléatoires continues. On généralise la notion à des variables continues Toutes les valeurs entre x min et x max sont accessibles : vitesse, température, pression, taille des individus… Ex. : v, vitesse de particules. Pour en tracer lhistogramme, on sintéresse à la probabilité P(v) de trouver la vitesse v comprise entre v 1 et v 2 = v 1 + v. On choisit des intervalles v réguliers mais arbitraires. Lintervalle v sappelle la classe. La classe choisie est la même pour tout le jeux de données. La valeur (v 2 -v 1 )/2 est la valeur au centre des classes. Le nombre de particules dans chaque intervalle v (leffectif de la classe) dépend bien sûr de la largeur de la classe.

11 Distribution de vitesses de particules avec une classe de 0,5 m.s -1 Imaginez lhistogramme avec une classe de 5 m.s -1 …

12 Selon la classe : Il peut y avoir perte dinformation si v est trop grand. ou trop dinformation si v trop petit. On cherche une représentation qui ne dépende pas de v. On introduit la fonction de répartition F(v)= probabilité pour que la vitesse prenne une valeur de lintervalle [v min, v].

13 Propriétés de F(v) : * F(v) est positive, croissante et continue * F(v min )=0 * F(v max )=1 * P(v 1

14

15 Application : absorption du photon dans un gaz. N photons sont émis dans la direction n. La variable aléatoire continue X est la distance parcourue selon une trajectoire rectiligne avant dêtre absorbé ou diffusé par le milieu. Il existe N réalisations de X : x 1, x 2 …..,x N sur ]0, + [. On introduit la fonction de répartition F(x) : probabilité que le photon soit absorbé avant datteindre la distance x. -Nature de la fonction F(x) ? N 2 =N 1 (1-F(x 2 ))=N(1-F(x 1 ))(1-F(x 2 )) N 2 = N(1- F(x 1 +x 2 )) (1-F(x 1 ))(1-F(x 2 )) = (1- F(x 1 +x 2 )) Introduisons G(x)= 1-F(x), probabilité pour quun photon parcoure une distance supérieure à x. G(x 1 )*G(x 2 )= G(x 1 +x 2 ) avec G(0)=1 G(x) est de type exponentiel N N 1 =N (1-F(x 1 )) N1N1 N N 2 =N 1 (1-F(x 2 )) x1x1 x2x2 x1x1

16 G(x) = exp(-x/L) F(x)= 1- exp(-x/L) Ex. : L= 50 m. Fraction du rayonnement émis ayant pu traverser 10m, 50 m, 300 m? Cest la fonction G(x) : 10 m G(10)=exp(-0,2)=0,82 (82%) 50 m G(50)=exp(-1) = 0,37 (37%) 300 m G(300) = exp(-6)= 0,002 (0,2%)

17 {On vérifie : F(x) = p(x) dx = (1 – exp(-x/L)} Densité de probabilité dabsorption du photon à la distance x: p(x) = F(x) = (1/L) exp (-x/L) La pente à lorigine coupe laxe des distances en x=L. L= libre parcours moyen des photons (même notion que la constante des circuits RC).


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