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Modèles Compartimentaux G.Sallet & Université de METZ.

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1 Modèles Compartimentaux G.Sallet & Université de METZ

2 Un exemple: Tuberculose 2 souches Susceptibles Latents 1 Latents 2 Infectieux 1 Infectieux 2 Traités

3 Un exemple: Tuberculose 2 souches

4 Le principe Compartiments Une quantité de matières cinétiquement homogène. En particulier toute quantité entrante est instantanément mélangée avec le reste Un compartiment peut-être abstrait Les matières d un compartiment ne se transforment pas.

5 Analyse compartimentale n n n compartiments n n q i quantité dans le compartiment i n n f ij, f ji, I i O i fonctions de q n n Quantités toutes 0 n n L extérieur est noté compartiment 0

6 Équations

7 n n Cela traduit qu il ne peut rien sortir si le compartiment est vide !

8 Un théorème bien utile n n Théorème Si une fonction f est telle que f(0)=0 Alors Où A(x) est la matrice preuve :

9 Équations on définit d où

10 Équations on définit Puis la matrice et le vecteur On a alors

11 Propriétés On notera la flèche qui apporte dans i venant de j, la quantité de matières

12 Propriétés de la matrice Un telle matrice s appellera matrice compartimentale nn1nn1 nn2nn2 nn3nn3

13 Propriétés du système Une matrice telle que s appelle une matrice de Metzler Lemme 1 : toute matrice de Metzler laisse invariant l orthant Lemme 2 : toute matrice compartimentale laisse invariant pour tout M le simplexe

14 Modèles Mathématiques en Epidémiologie G.Sallet & Université de METZ

15 Historique n 1760 Daniel Bernoulli n n 1927 W.O Kermack et A.G McKendrick n n 1906 W.H. Hamer n n 1908 R. Ross

16 D. Bernoulli n Méthode mathématique pour évaluer lefficacité des techniques de variolation l l D. Bernoulli Essai dune nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de linoculation pour la prévenir Mémoire mathématiques Académie royale des sciences Paris 1760

17 W.H. Hamer n 1906 Hamer postule : n n The course of an epidemics depends on the rate of contact between susceptibles and infectious individuals n n i.e. « principe daction de masse »

18 R. Ross n 1911 n n As a matter of fact all epidemiology, concerned as it is with variation of disease from time to time or from place to place, must be considered mathematically, however many variables are implicated, if it is to be considered at all…and the mathematical method of treatment is really nothing but the application of careful reasoning to the problem at hand

19 R. Ross n prix Nobel en 1902 pour avoir prouvé que les anophèles transmettent les parasites du paludisme n n 1908 modèle continu pour la transmission du paludisme, avec action de masse. n n Fondateur de lépidémiologie mathématique n n Dans sa quête pour établir quil nétait pas nécessaire déradiquer complètement les moustiques pour supprimer le paludisme n n Notion de seuil !

20 R. Ross n Modèle de Ross (1911) n n Lotka-Volterra (1924)

21 W.O Kermack A.G. McKendrick n 1927 Contribution à la théorie mathématique des épidémies n n Notion de «threshold» seuil

22 Maladies Infectieuses n Microparasites n n Macroparasites l l virus l l Bacteries l l Protozoaires l l Nématodes Intestinales l l Schistosomiasis (Bilharziose) l l Filarioses l l Onchocercose

23 Microparasites n petite taille l l Measles Rougeole l l Mumps Oreillons l l Whooping cough Coqueluche l l Rubella Rubéole l l Diphtheria Diphtérie l l Chicken pox Varicelle l l Gonorrhoea Gonorhée l l AIDS SIDA l l Malaria Paludisme l l Trypanosomiasis l l …... n n Reproduction dans lhôte n n durée de linfection courte relativement à la durée de vie de lhôte n n une certaine immunité

24 Cours dune maladie n Infection microparasitique

25 Infections Microparisitiques n modèles Compartimentaux l l Susceptibles l l Infecté Latents l l Infectieux l l Recovered et immuns n n population divisés en parties homogènes

26 Infections Microparisitiques n on ne distingue pas le degré de linfection l l Infectionpar les protozoaires sont entre les deux e.g Malaria, Trypanosomiasis n n au contraire la densité parasitique est essentielle dans les infections macroparatiques

27 Modèles Compartimentaux n Susceptibles l l capable de contracter la maladie et de devenir infectés n n Exposed n n Infectives n n Removed l l individus latent qui ayany contracté la maladie ne la transmette pas encore l l transmette la maladie aux susceptibles l l ne transmettent pas la maladie ( guéris, morts, quarantaine…)

28 Modèles Compartimentaux l l Modèle SIR S

29 Modèles Compartimentaux l l SIRS avec dynamique vitale

30 Le modèle Kermack-McKendrick classique

31 l l avec dynamique vitale Le modèle Kermack-McKendrick

32 l l SIRS dynamique vitale, immunité temporaire Le modèle Kermack-McKendrick

33 Modélisation du contact n Représentation mathématique du mécanisme de la transmission n n Quest ce que S(t), I(t), R(t) ? La taille de la population ? Une densité ?

34 Modélisation du contact n n S(t), I(t), R(t) ? Originellement Kermack-McKendrick S,I,R étaient une densité de population par unité de surface (Ile de Bombay) vraie loi d action de masse. Si le nombre de contacts adéquats (contact suffisant pour la transmission)

35 Modélisation du contact n n S(t) nombre de susceptibles n n I(t) le nombre d infectieux n n N(t) la population totale le nombre de contacts adéquats (contact suffisant pour la transmission) d une personne par unité de temps le nombre de moyen de contacts par unité de temps d un susceptible D où est le nombre de nouveaux cas par unité de temps dus à S susceptibles.

36 Modélisation du contact Si on utilise une forme d incidence du type – –La vraie action de masse est aussi plus réaliste pour les populations animales. – – pour 5 maladies, (rougeole, coqueluche, varicelle, diphtérie, scarlatine) avec des populations variant entre 1000 et on trouve que

37 Modélisation du contact vraie action de masse pseudo action de masse

38 The reproduction number R 0 n R 0 est le nombre de cas secondaire quun seul cas engendre dans une période infectieuse. l l Diekmann, Dietz, Heesterbeek, Metz :cadre rigoureux n n Introduite par Macdonald dans le contexte du paludisme. (1952)

39 R 0 et la notion de seuil n Modèle SIRS

40 n deux équilibres : ll ll ll ll

41 n Comme N=S+I+R est constant on peut réécrire le système l l avec l l équilibres :

42 n Il y a un équilibre faisable dans le simplexe si : l l with

43 n Il y a deux équilibres si : l l if

44 n deux équilibres : l l si l l léquilibre est stable l l Jacobien en

45 l l léquilibre endémique est stable : R0R0 n R 0 est le nombre de cas secondaire quun seul cas engendre dans une période infectieuse.

46 l l valeur moyenne de la durée infectieuse : R0R0 l l durant cette période une force dinfection sapplique sur la population des susceptibles N, l l le nombre de cas secondaires est donc

47 n n Les infectieux quittent le compartiment à la vitesse n n doù

48 Résultats Classiques (SIRS)

49

50

51 l l Morts de la peste dans lîle de Bombay : to Résultats Classiques (SIRS)

52 Exemples : MSEIR

53 MSEIR

54 meir La seule entrée du système peut s écrire :

55 meir (stabilité de l équilibre non endémique)

56 meir n n 1 infectieux : vie moyenne n n cela crée des latents à la vitesse n n soit (s=1) latents multiplié par la durée de vie moyenne d un latent et la vitesse

57 Preuve :meir L équilibre non endémique (0,0,0,0) est GAS ssi

58 Exemples : SEIRS n n exemples

59 SEIRS

60 n Le modèle de Ross (1911)

61

62 Modèle de Ross (1911) nombre de piqûres par moustique par unité de temps proportion de piqûres infectieuses qui donnent une infection proportion de piqûres par les moustiques sains sur un infecté qui donneront une infection pour le moustique densité anophélienne,

63 Paludisme : Modèle de Ross (1911)

64 l l Plus simplement Paludisme : Modèle de Ross (1911)

65 Modèle de Ross (1911) l l Plus simplement

66 l l Ross 1911 l l Lotka 1923 l l Macdonald 1957 l l Dietz 1975 Paludisme : Modèle de Ross (1911)

67 llR0llR0 l l Equilibre modèle de Ross

68 l l Si R 0 1 alors le DFE est GAS l l Si R 0 > 1 il existe alors un unique équilibre endémique : Remarque :

69 Que montre ce modèle ? n Si n n Le paludisme disparaît n n Si n n Le paludisme sinstalle de façon endémique

70 Que montre ce modèle ? n Cétait lidée de Ross : il nest pas nécessaire déliminer totalement la population anophélienne pour éradiquer le paludisme. Il suffit de réduire cette population en dessous dun certain seuil : proportion de piqûres infectieuses qui donnent une infection proportion de piqûres par les moustiques sains sur un infecté qui donneront une infection pour le moustique nombre de piqûres par moustique par unité de temps

71 Un modèle simple de la transmission de la Dengue n Aedes Aegypti


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