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Vers une interprétation « concrète » Le système formel, que nous appellerons calcul booléen, a reçu une interprétation mathématique rigoureuse au moyen.

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1 Vers une interprétation « concrète » Le système formel, que nous appellerons calcul booléen, a reçu une interprétation mathématique rigoureuse au moyen du domaine D = {0, 1} et des opérations + et définies sur lui, Maintenant, « concrètement » quelle signification donner à des variables qui ne peuvent prendre pour valeurs que 0 ou 1?

2 Calcul propositionnel Une candidate à la signification quon peut accorder à une variable booléenne est la notion logique de proposition, Une proposition est une entité qui est soit vraie (1) soit fausse (0) Le calcul propositionnel est donc une « interprétation concrète » du calcul booléen quand 1 est interprété comme Vrai (v) et 0 comme Faux (f)

3 Remarque On ne parle pas ici d « interprétation » au sens rigoureux du terme, cest-à-dire au sens où on pourrait calculer ce qui est vrai dans linterprétation pour connaître par avance ce quon peut démontrer comme théorème dans le système, En effet les seules « vérités » de la logique nous sont accessibles par lintuition… qui nest pas un calcul à proprement parler, ou alors il faudrait tabler sur une méthode de calcul… que nous ne possédons pas encore (puisque nous sommes en train de lélaborer!)

4 suite Le calcul propositionnel est donc une algèbre de Boole où les variables, appelées variables propositionnelles, représentent des propositions, cest-à- dire des entités ayant pour valeurs possibles: le vrai (v) ou le faux (f) Les opérations booléennes déjà introduites sinterprètent aisément

5 connecteurs Dans le cas du calcul propositionnel (dorénavant CP), les opérations booléennes sont interprétées comme des connecteurs, Un connecteur binaire est une manière de composer deux propositions pour en obtenir une troisième, Un connecteur unaire est une manière dobtenir une autre proposition à partir dune proposition donnée On peut ainsi définir « récursivement » ce quon entend par une proposition (au sens général): –Une variable propositionnelle est une proposition, –Si P et Q sont des propositions et si © est un connecteur binaire, alors P © Q est une proposition –Si P est une proposition et si ® est un connecteur unaire, alors ®P est une proposition

6 Remarque Cette dernière « définition » pourrait laisser croire quil ny a que des connecteur unaires et binaires. Il nen est rien, on peut concevoir des connecteurs n-aires pour n quelconque: ce sont des manières dobtenir une proposition à partir de n propositions, Exemple: « si… alors… sinon…» est un connecteur ternaire, Cette définition présuppose en réalité un résultat qui ne peut être établi que plus tardivement, selon lequel toutes les propositions (y compris celles obtenues au moyen de connecteurs n-aires arbitraires) peuvent sécrire au moyen uniquement de connecteurs unaires et binaires.

7 Conjonction et disjonction Deux connecteurs évidents correspondent aux opérateurs et du calcul booléen, ils permettent de définir les propositions p q et p q, dont les valeurs de vérité sont calculées au moyen des tables: pq p q vvv vfv fvv fff pq vvv vff fvf fff

8 suite Ainsi, p q est vrai si et seulement si lun des deux (ou les deux) de p et de q est vrai p q est vrai si et seulement si p et q sont vrais simultanément Doù la lecture quon donne à ces symboles p q : p ou q p q : p et q

9 négation De même, on peut définir la proposition p: Qui, bien sûr, sinterprète comme la négation de p: p : non-p p p vf fv

10 extensionnalité Les exemples précédents montrent quune nouvelle proposition est construite à partir de deux propositions p et q en déterminant quelle est sa valeur de vérité pour chaque situation concernant les valeurs de vérité de p et q, Il y a 4 situations possibles: (v,v), (v, f), (f, v), (f, f) Il y a donc autant de propositions obtenues à partir de p et q (donc autant de connecteurs binaires) quil y a de fonctions associant v ou f à chacune de ces situations Ces fonctions sont appelées fonctions de vérité, elles sont représentées par des tables: tables de vérité. Comme nous navons pas de moyens de distinguer deux propositions hormis par les valeurs de vérité quelles prennent dans les mêmes situations, nous sommes amenés à identifier une proposition avec sa fonction de vérité: cest ce quon appelle le principe dextensionnalité.

11 suite De ce qui précède, on déduit quon peut facilement procéder au recensement de toutes les propositions composées à partir de deux propositions, Effectuer ce recensement… Idem pour les propositions obtenues à partir dune seule proposition

12 suite Une autre manière de « découvrir » des connecteurs consiste à combiner entre eux ceux que nous connaissons déjà… Ainsi, il est bien connu que… dire « quil ny a pas de fumée sans feu » revient à dire que « sil y a de la fumée (quelque part) alors il y a du feu (pas loin!) » Doù lidée de définir un connecteur correspondant à « si… alors… », noté, par: p q = def (p q)

13 implication Il est facile den déduire la table de vérité de ce connecteur: pq p q vvv vff fvv ffv

14 suite Bien noter que p q nest faux que si p est vrai et que q est faux En particulier, p q est vrai lorsque p est faux, p q est vrai également lorsque q est vrai, Vérifier quon aurait pu tout aussi bien définir p q par : p q

15 Remarque Dans lexpression p q, on dit souvent que p est la condition suffisante de q, ou que q est la condition nécessaire de p, En français, la condition suffisante sexprime généralement par un « si », exemple: « si la température dépasse 37°2 (p) alors le patient est malade (q)», La condition nécessaire sexprime généralement par « seulement si» ou « que si », exemple: « le patient nest malade (q) que si sa température dépasse 37°2 (p)» Dans le premier cas, la proposition p : « la température dépasse 37°2 » est condition suffisante (de la maladie, cest-à-dire q), dans le deuxième cas, elle est condition nécessaire, donc dans le premier cas, on a p q, et dans le second, on a q p, Bien sûr, le connecteur nest pas symétrique (p q q p), cest tout lintérêt de sa table de vérité!

16 Autres connecteurs Fabriquer les tables de vérité des connecteurs obtenus des manières suivantes: P Q = def (P Q) (Q P) PWQ = def (P Q) (P Q) P|Q = def P Q Leur donner des interprétations intuitives

17 Le langage propositionnel Nous avons désormais un stock de symboles utilisés: –Les variables propositionnelles, –Les connecteurs :,,,,, W –Des signes de ponctuation (les parenthèses) Nous pouvons les utiliser pour définir un langage: le langage de la logique propositionnelle LP Définition: –Toute variable propositionnelle est une expression de ce langage, –Si P est une expression de ce langage, alors P lest aussi –Si P et Q sont deux expressions de ce langage, alors (P Q), (P Q),(P Q), (P Q), (PWQ) le sont aussi, –Rien dautre nest une expression de ce langage hormis par les trois clauses précédentes.

18 Remarque Cette définition est sensiblement différente de celle de la diapo n°5 –Dans cette dernière, on définissait les propositions, comme entités définissables au moyen dopérateurs définis en termes de valeurs de vérité, –Ici, on définit seulement des expressions linguistiques, indépendamment de leur signification (cest-à-dire de leur table de vérité), ce qui suppose quensuite, on ait une procédure pour leur donner une signification.

19 Théorème fondamental Soit P={p 1, p 2, …, p n } un ensemble de variables propositionnelles et soit L(P) lensemble des expressions linguistiques qui ne contiennent que les variables incluses dans P, –Pour toute assignation de valeurs de vérité à p 1, p 2, …, p n il existe une et une seule fonction val de L(P) dans {0, 1} qui coïncide avec sur P et qui soit telle que, pour toutes expressions et dans L(P) val ( 1 si et seulement si val ( val ( = 1 val ( 0 si et seulement si val ( val ( = 0 val ( 0 si et seulement si val ( = 1 et val ( = 0 val ( 1 si et seulement si val ( val ( val ( 1 si et seulement si val (

20 Remarque Ce théorème ne fait que dire ce que nous savons déjà intuitivement, à savoir quà toute expression linguistique représentant une proposition, on peut associer une (et une seule) table de vérité, Néanmoins, au lieu dêtre une simple intuition, cest un théorème… autrement dit, il se démontre. Pour ce faire, nous avons besoin doutils quon verra plus loin dans la suite du cours (récurrence sur la structure de lexpression).

21 Cas particuliers, tautologies et contradictions Parmi les expressions de L(P), il en est qui, pour toute assignation de valeurs de vérité aux variables, donnent toujours comme valeur: 1 (ou v). On les appelle: des tautologies Il en est dautres qui donnent toujours comme valeur: 0 (ou f). On les appelle: des contradictions

22 Exemples Voici quelques tautologies (les vérifier!)

23 suite Voici quelques contradictions

24 constantes Parmi les connecteurs n-aires… il y a aussi le cas où n = 0, donc le cas des connecteurs 0- aires. Une proposition formée au moyen dun connecteur 0-aire est une proposition qui ne contient aucune variable propositionnelle, donc… ou bien elle est toujours vraie, ou bien elle est toujours fausse. Notons V la première et F la deuxième. Ce sont bien sûr les traductions des constantes booléennes 1 et 0.

25 Equivalences tautologiques Une expression P est dite tautologiquement équivalente à une expression Q si et seulement si elles ont exactement la même table de vérité, P Q Attention: le signe « » nappartient pas au langage objet, ce nest pas un connecteur, cest un méta-symbole car il permet de poser un jugement concernant deux expressions du langage objet (et non de construire une expression du langage objet).

26 Exemples Vérifier que les expressions suivantes sont tautologiquement équivalentes entre elles:

27 Remarque Si on sen tient au principe dextensionalité, on doit distinguer une proposition (associée à une fonction de vérité) dune de ses possibles expressions linguistiques, deux expressions distinctes tautologiquement équivalentes sont deux expressions linguistiques différentes de la même proposition.

28 Remarque Si P est une tautologie, on peut écrire: P V De même, si P est une contradiction, on peut écrire: P F Noter que:

29 un peu de terminologie Comment sexpriment en logique propositionnelle: –Les lois de De Morgan? –Les lois dabsorption? –Les lois de distributivité? –Les lois dassociativité et de commutativité? –La loi de double négation? Noter que:


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