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Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales.

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1 Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales

2 C. I. Lewis, 1918 : les « paradoxes » de limplication matérielle (1) (2) ad impossibile sequitur quodlibet Ex: si « leau bout à 100° » est vraie, alors il est vrai que « si Charlemagne fut empereur, alors leau bout à 100° » Distinguer une « implication stricte » dune implication matérielle?

3 Implication stricte P implique strictement Q si et seulement sil est impossible que P soit vrai sans que Q le soit Fait intervenir la notion de modalité

4 … une idée pas neuve Aristote, Premiers Analytiques cf. discussion sur laporie de Diodore Kronos (J. Vuillemin, 1984)

5 Intérêt des logiques modales Introduire : le temps dans la logique (logique temporelle) sous laspect dopérateurs tels que P et F (passé et futur), les considérations de contingence et de nécessité (logique aléthique), celles de permission et dobligation (logique déontique) les notions de savoir et de croyance (logiques épistémiques et doxastiques).

6 opérateurs logique aléthique : le nécessaire est le dual du possible logique déontique : lobligatoire est le dual du permis logique de la prouvabilité : le prouvable est le dual du « consistant avec » p

7 Premières approches : Lewis et Langford, 1932 Présentation à la Hilbert

8 Interprétation « naturelle »: p = « il est nécessaire que p » La logique modale (propositionnelle) est une extension du calcul propositionnel : – Toute logique modale doit contenir comme théorèmes au minimum toutes les tautologies du CP, – Comme il existe une procédure pour les déterminer (décidabilité), on peut admettre que chaque tautologie du CP est prise comme axiome Lapproche syntaxique (2)

9 + axiomes « propres », permettant de manipuler « » Axiome 1 : toute formule ayant la forme dune tautologie Axiome 2 : ( ) ( ) Règles : modus ponens : {, } | nécessitation : { } | Lapproche syntaxique (3)

10 Axiome 2 : ( ) ( ) si limplication de par est nécessaire, alors si est nécessaire, aussi (transfert de la nécessité) Règles : nécessitation : { } | si on a pu démontrer alors cest que est nécessaire Le résultat : logique modale minimale K Lapproche syntaxique (4)

11 Précaution dans les dérivations : Lusage de la règle de nécessitation est interdit après lintroduction dune prémisse cf: |, où est un ensemble de prémisses. Sans restriction, si, on a : |, donc (nécessitation) |, toute prémisse exprimerait une vérité nécessaire! En réalité, ne sont nécessaires par la règle de nécessitation que les propositions démontrées sans prémisse. Lapproche syntaxique (5)

12 Problèmes avec lapproche syntaxique il est « facile » dimaginer toutes sortes de systèmes daxiomes… du genre:,,, etc. mais… quel sens cela a-t-il véritablement? (insuffisance de notre intuition) Besoin dune approche sémantique Lapproche syntaxique (6)

13 Sémantique de la logique modale Sémantique dite « de Kripke » Deux notions-clés : – Monde possible – Relation daccessibilité

14 La théorie des mondes possibles

15 Semantic frame Un « frame » F est un couple (W, ) où: – W : un ensemble non vide (de « mondes possibles ») – une relation binaire sur W Un modèle (de Kripke) sur F est un couple (F, V) où: – F est un « frame » – V est une application de {p 1, p 2, …, p n } W dans {0,1} (à chaque lettre propositionnelle et chaque monde possible: une valeur de vérité) ou bien une application de {p 1, p 2, …, p n } dans (W)

16 Sémantique (3) Si dans le modèle M, V(p, w) = 1 (p: une lettre propositionnelle, w: un monde), on écrit: V M,w (p) = 1 ou: |= M,w p ou encore w |= M p On étend V à toute formule au moyen de: – V M,w ( ) = 1 ssi V M,w ( ) = V M,w ( ) = 1 – V M,w ( ) = 0 ssi V M,w ( ) = V M,w ( ) = 0 – V M,w ( ) = 1 ssi V M,w ( ) = 0 – V M,w ( ) = 1 ssi pour tout w tel que w w, V M,w ( ) = 1

17 Sémantique (4) Au lieu de : V(p, w) = 1 w V(p) On étend V à toute formule au moyen de: – V( ) = V( ) V( ) – V M,w ( ) = V( ) V( ) – V( ) = W - V( ) – w V( ) ssi pour tout w tel que w w, w V( ) – Ou encore: – V( ) = {w; pour tout w w w w V( )}

18 complétude Logique complète par rapport à la sémantique des mondes possibles: |- si et seulement si : pour toute valuation V sur un frame (W, R) – V( ) V( )

19 Liens entre propriétés de et formules vraies dans une logique modale Supposons que nous prenions comme axiome supplémentaire, la formule : Quelle est sa signification en termes de « frame » ou de « relation daccessibilité »?

20 Si est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w 0, alors est vraie dans ce monde actuel Autrement dit: w 0 fait partie de ces mondes accessibles à partir de lui-même w 0 w 0 Autrement dit: est réflexive

21 w0w0

22 w0w0 w6w6 w5w5 w4w4 w3w3 w2w2 w1w1 w7w7

23 w0w0 w6w6 w5w5 w4w4 w3w3 w2w2 w1w1 w7w7 ?

24 w0w0 w6w6 w5w5 w4w4 w3w3 w2w2 w1w1 w7w7 ?

25 Propriétés de et formules vraies Idem pour: Si est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w 0, alors cest le cas également de Pour que soit vraie dans tout monde w accessible à w 0, il faut que soit vraie dans tout monde accessible à tout monde w accessible à w 0. Donc la formule exprime le fait que si est vraie dans tout monde accessible à w 0, alors elle est encore vraie dans tout monde accessible à tout monde accessible à w 0.

26 ceci est assuré si: est transitive

27 w0w0

28 w0w0 w6w6 w5w5 w4w4 w3w3 w2w2 w1w1 w7w7

29 w0w0 w6w6 w5w5 ?

30 w0w0 w6w6 w5w5 ?

31 w0w0 w6w6 w5w5 ?

32 w0w0 w6w6 w5w5 ?

33 Quen est-il de: ?

34 Sil existe un monde possible accessible au monde actuel où est vraie, alors est vraie dans le monde actuel Soit w1 ce monde, dire que est vraie dans w1, cest dire que est vraie dans tout monde possible accessible à w1 Si on veut que toujours en ce cas, soit vraie dans w0, il suffit que w0 soit toujours accessible à w1 Et ce, quel que soit le monde w1 accessible à w0 Donc que soit symétrique

35 Caractérisation dun frame caractérise une propriété de si et seulement si tout frame ayant cette propriété admet comme formule vraie une relation est dite euclidienne si et seulement si : x y z x y x z y z

36 Caractérisation (2) (axiome T) caractérise les frames réflexifs (axiome 4) caractérise les frames transitifs (axiome B) caractérise les frames symétriques (axiome 5) caractérise les frames euclidiens

37 Différentes logiques On a vu K (pas de propriété particulière de ) (logique modale minimale) K + : logique T T + : logique S4 S4 + : logique S5 si on ajoute : collapsus (retour à CP)

38 discussion (1) : modalités ontiques : – sil est nécessaire que, alors modalités épistémiques : – sil est su que, alors mais : – sil est cru que, alors modalités déontiques : – sil est obligatoire que, alors mais : – sil est obligatoire que, alors il est permis que !

39 discussion (2) modalités ontiques : – la nécessité de la nécessité =la nécessité (clôture) modalités épistémiques : – sil est su que, alors il est su quil est su que ? (conscience du savoir) – si je crois que, alors je crois que je le crois? – plutôt: je sais que je le crois modalités déontiques : – sil est obligatoire que, alors il est obligatoire que cela soit obligatoire

40 discussion (3) modalités ontiques : – la possibilité est toujours nécessaire modalités épistémiques : – si jignore que non-, alors je sais que je lignore modalités déontiques : – sil est permis que, alors il est obligatoire que cela soit permis

41 Logique épistémique { } | : toute vérité (logique) est connue…! (omniscience) Axiome 2 : si x sait que A B et quil sait A, alors il sait B (« distribution ») Nécessitation : { } | x sait que Connaissance : x sait que Modus ponens

42 Problème (McCarthy, 1978) Un roi désirant savoir lequel de ses trois conseillers est le plus sagace peint un point blanc sur le front de chacun deux. Le roi leur dit quil a peint un point blanc ou un point noir sur le front de chacun et quau moins un des points est blanc; il demande ensuite à chaque conseiller de deviner la couleur de son propre point. Après un temps de réflexion le premier répond quil ne sait pas; entendant cela le second dit quil ne sait pas non plus. Après avoir entendu la réponse des deux premiers, le troisième déclare que son point est blanc.

43 le raisonnement du 3 ème conseiller Admettons que mon point soit noir. Alors le second dentre nous devrait savoir que son point est blanc parce quil sait que sil était noir alors le premier conseiller aurait vu deux points noirs et en aurait conclu que le sien était blanc. Comme aucun des deux premiers na pu deviner la couleur de son point, il faut que le mien soit blanc.

44 Version courte Seulement deux conseillers A et B savent que chacun peut voir le point se trouvant sur le front de lautre, et donc: Si A na pas de point blanc, B sait que A na pas de point blanc : blanc(A) K B ( blanc(A)) A le sait! donc: K A ( blanc(A) K B ( blanc(A))) A et B savent chacun quau moins un des deux a un point blanc et chacun deux sait que lautre le sait, donc : K A (K B ( blanc(A) blanc(B))) B dit quil ne sait pas sil a un point blanc, donc A sait que B ne sait pas sil a un point blanc, donc K A ( K B (blanc(B)))

45 Le raisonnement (1) blanc(A) K B ( blanc(A)) (2)K A (K B ( blanc(A) blanc(B))) (3)K A ( K B (blanc(B))) (4)K B ( blanc(A) blanc(B))

46 Le raisonnement 1. blanc(A) K B ( blanc(A)) (1) 2. K B ( blanc(A) blanc(B)) (4) 3. K B ( blanc(A)) K B (blanc(B)) - distribution - 4. blanc(A) K B (blanc(B)) - syll. 1, K B (blanc(B)) blanc(A) - transpo, K A ( K B (blanc(B)) blanc(A)) - connaissance - 7. K A ( K B (blanc(B))) K A (blanc(A))-distrib - 8. K A ( K B (blanc(B)))(3) 9. K A (blanc(A))- modus ponens, -

47 Les tableaux Chaque monde est représenté par un tableau à deux colonnes – Dans lune on met ce qui est vrai en ce monde – Dans lautre on met ce qui est faux en ce monde Dès quune proposition vient sinscrire dans les deux colonnes dun même tableau : on a une contradiction

48 S4 : (p q) ( p q) Supposons que cela soit faux Alors il existe un monde w où elle est fausse, cest-à-dire où (p q) est vrai mais ( p q) faux, Si ( p q) est faux dans w, alors il existe un monde w accessible à w où p q est faux, cest-à-dire où p est vrai mais q faux, Si q est faux dans w alors il existe un monde w accessible à w où q est faux, Comme laccessibilité est transitive, w est accessible à w, donc p q y est vrai, de même que p puisque w est accessible à w, doù q devrait y être vrai, or il est faux

49 tableau w VF (1) (p q) ( p q) (2) (p q) w (3) p q VF (4) p (4) q VF w (5) q (6) p (7) p q (8) q

50 à propos du temps branchant On peut combiner des modalités Par exemple, et G, H (il sera toujours le cas que, il a été toujours le cas que, avec leurs duales F - il sera au moins une fois que - et P – il a été au moins une fois que -) Admettons que les mondes possibles aient un axe temporel commun V M,w,t ( ) = 1 ssi pour tout w tel que wRw: V M,w,t ( ) = 1 V M,w,t (G ) = 1 ssi pour tout t tel que t

51 Temps branchant Idée: wR t w ssi w et w ont eu la même « histoire » jusquà t t 0 t 1 t 2 t 3 t 4

52 Formalisation des contrefactuels Si Pierre était venu, il aurait rencontré Marie p = Pierre vient q = Pierre rencontre Marie P( p (p Fq)) = Il a été une fois dans le passé un monde où p était faux et où dans tous les mondes alternatifs possibles à ce monde, où p était vrai, il allait être le cas au moins une fois dans le futur que q

53 Pas si simple… P( p (p Fq)) | P( p ((p r) Fq)) Alors sil est vrai que: Si Pierre était venu il aurait rencontré Marie est-il vrai que: Si Pierre était venu et en venant sétait tué sur la route, il aurait rencontré Marie ?

54 Pas si simple… Si Pierre était venu, toutes choses étant égales par ailleurs, il aurait rencontré Marie (p q) « q est vrai dans tous les mondes alternatifs où p est vrai », (p q) = « q est vrai dans tous les mondes alternatifs où p est vrai, tout autre état de choses demeurant constant » --> introduction dune relation de similarité entre les mondes


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