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LSIS – UMR-CNRS 6168 1 Adaptation du paramètre déchelle de Laguerre pour le contrôle prédictif M. EL Adel & M. Ouladsine LSIS – UMR-CNRS 6168 Marseille.

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1 LSIS – UMR-CNRS Adaptation du paramètre déchelle de Laguerre pour le contrôle prédictif M. EL Adel & M. Ouladsine LSIS – UMR-CNRS 6168 Marseille - France

2 LSIS – UMR-CNRS Plan de la présentation Introduction Introduction Séries de Laguerre Séries de Laguerre Algorithme destimation Algorithme destimation contrôle Prédictif contrôle Prédictif Résultats de Simulations Résultats de Simulations Conclusion Conclusion

3 LSIS – UMR-CNRS Introduction Le comportement des contrôleurs adaptatifs en présence des dynamiques non modélisées Le comportement des contrôleurs adaptatifs en présence des dynamiques non modélisées Le manque de connaissances a priori sur les procédés Le manque de connaissances a priori sur les procédés Représentation par les séries orthonormales Représentation par les séries orthonormales Abandon du modèle ARMA

4 LSIS – UMR-CNRS Grâce à sa simplicité de mise en œuvre, la base de fonctions orthogonales de Laguerre est choisie pour la modélisation et la commande des systèmes linéaires Grâce à sa simplicité de mise en œuvre, la base de fonctions orthogonales de Laguerre est choisie pour la modélisation et la commande des systèmes linéaires Problème : Cette base de fonctions orthogonales de Laguerre contient un paramètre crucial (Le paramètre déchelle de Laguerre p > 0 ) Cette base de fonctions orthogonales de Laguerre contient un paramètre crucial (Le paramètre déchelle de Laguerre p > 0 ) Si ce paramètre est choisi convenablement, alors la base de fonctions orthogonales de Laguerre peut effectivement approximer nimporte quelle fonction de transfert dun système stable. Le but principal de cette présentation, est le choix optimal de ce paramètre dans le cas de la commande prédictive.

5 LSIS – UMR-CNRS Propriétés des Séries de Laguerre Propriétés des Séries de Laguerre

6 LSIS – UMR-CNRS T : période déchantillonnage

7 LSIS – UMR-CNRS 61687

8 8 Algorithme destimation Algorithme destimation I – Le vecteur paramètre de projection On définit Le modèle normalisé devient : où : De point de vue estimation, le modèle nest pas convenable si le terme derreur e(t) nest pas borné

9 LSIS – UMR-CNRS où : et

10 LSIS – UMR-CNRS La matrice de covariance satisfait les propriétés suivantes avec et i- ii- si alors lorsque t tend vers linfini est la matrice identité et est un scalaire où :

11 LSIS – UMR-CNRS II - Le paramètre déchelle adaptatif de Laguerre Dans le domaine de Laplace, nous supposons que le système réel à modéliser dont la sortie est peut être décrit par la fonction de transfert. Nous supposons aussi que cette fonction de transfert est bornée c.à.d En considérant un ordre de projection q, nous pouvons projeter cette fonction de transfert sur la base de Laguerre dont les éléments sont comme suit: Le calcul standard de est donné dans le domaine fréquentiel par :

12 LSIS – UMR-CNRS Considérons le coût de fonction à minimiser En utilisant lexpression de, nous avons Donc le minimum de par rapport à correspond au maximum de

13 LSIS – UMR-CNRS Lemme Nous pouvons montrer aisément ce qui suit : Pour p>0, la transformée de Laplace des fonctions orthogonales de Laguerre satisfont légalité suivante : Théorème Nous pouvons montrer que :

14 LSIS – UMR-CNRS Le théorème permet de déduire la variation de p. Cependant, puisque le paramètre déchelle est strictement positif, nous cherchons des conditions qui doivent être satisfaites pour le maintenir dans un domaine réel et positif. Ces conditions peuvent être obtenues en passant à la dérivée seconde de : La dérivée seconde est donnée par :

15 LSIS – UMR-CNRS La fonction tend à avoir des valeurs maximales en fonction de p si Ceci est satisfait si linégalité suivante est vraie Posons avec p>0, on a:

16 LSIS – UMR-CNRS où : Considérons la variation de entre les instants t et t+1 on a: où :

17 LSIS – UMR-CNRS Définition Une séquence réelle positive est dite asymptotiquement faible en moyenne si (AFM) if Lalgorithme dadaptation proposé possède les propriétés suivantes - Il existe un scalaire positif tel que : on a Lemme

18 LSIS – UMR-CNRS Il existe un scalaire positif telle que lerreur normalisée adaptation -AFM est Il existe un scalaire positif tel que est AFM où Est la valeur optimale de au sens de.

19 LSIS – UMR-CNRS contrôle prédictif La prédiction de la sortie sur un horizon de d pas permet décrire: où et Supposons que :u(t) reste constant sur d alors Ce qui permet davoir où et

20 LSIS – UMR-CNRS La trajectoire de référence du premier ordre est donnée par : où et est le signal de référence Pour un horizon de prédiction de d pas, on a Quon peut réécrire comme Posons La loi de commande est :

21 LSIS – UMR-CNRS Considérons le système à phase non minimale décrit H(z), et supposons quil est donné son forme non structurée où les paramètres sont : Par application de lapproche proposée, les résultats obtenus sont les suivants Application

22 LSIS – UMR-CNRS Les sorties etLe paramètre déchelle La commande Le paramètre

23 LSIS – UMR-CNRS Conclusion Adaptation du paramètre déchelle de Laguerre à partir de lestimation des paramètres de projection pour le contrôle prédictif Possibilité du contrôle prédictif des systèmes instables, non structurés et sans connaissances a priori.


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