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Estimation ellipsoïdale des paramètres dynamiques d'un robot Philippe POIGNET 1, Nacim RAMDANI 2, Andrès VIVAS 1 1 Laboratoire dInformatique, de Robotique.

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1 Estimation ellipsoïdale des paramètres dynamiques d'un robot Philippe POIGNET 1, Nacim RAMDANI 2, Andrès VIVAS 1 1 Laboratoire dInformatique, de Robotique et de Micro-électronique de Montpellier UMR CNRS-UMII Centre d Etude et de Recherche en Thermique, Energétique et Systèmes, Université Paris XII

2 Plan Présentation du contexte (robot, besoin, modèle,…) Estimation ellipsoïdale Résultats expérimentaux Conclusion

3 Introduction Robot avec 4 degrés de liberté (ddl): 3 ddl en translation 1 ddl en rotation. Applications: Prise et dépose avec orientation Usinage à grand vitesse Performances: vmax = 1m/s amax = 50 m/s 2 H4 – Robot parallèle

4 Un modèle pour la commande Besoins dun modèle dynamique pour la commande: Augmentation des performances (précision, rapidité) Robustesse (variation de charges) Modèle dynamique à paramètres physiques:

5 H4 – Modèle dynamique inverse Linéarité par rapport aux paramètres: Sans mesures des accélérations cartésiennes: Vecteur de paramètres dynamiques à identifier:

6 Usuellement … Méthodes didentification : Moindres carrés pondérés, Filtrage de Kalman étendu Construction dun système linéaire surdéterminé: Y = W X + ρ Y: couples appliqués (entrée) W: matrice dobservation X: paramètres à identifier : bruit gaussien additif sur lentrée Hypothèse (et critique) : bruit gaussien additif sur lentrée

7 Moindres carrés d'erreur d'entrée avec modèle inverse

8 Approche standard avec les MC Hypothèses : Bruit gaussien sur lentrée (=couple) alors que lon est en boucle fermée W est supposée déterministe (alors quelle est composée de variables entachées de bruits : position, vitesse et accélération articulaires) Alternative : Estimation dans un contexte à erreur bornée

9 Une alternative : lapproche à erreur bornée [Belforte 90 ; Milanese 96 ; Vicino 96 ; Walter 90; Norton 94, 95 …] Unique Hypothèse : Support de lerreur borné. Intérêt : Manipulation immédiate des bornes dincertitudes des données réelles. Prise en compte des erreurs de modélisation. Résultats : Ensemble de valeurs de paramètres compatibles :

10 Modèles linéaires : Formulation Ensemble des paramètres consistant avec toutes les données : un polytope Ensemble des paramètres compatible avec lobservation k et le modèle : une bande

11 S Représentation Simplifiée Approximation du polytope par des ensembles de forme simple : Algorithmes récursifs, par blocs ou hors-lignes

12 Méthodes ellipsoïdales [Fogel et Huang, 82] Bande de contrainte :Principe de mise à jour de l'ellipsoïde Ellipsoïde courant : Nouvel ellipsoïde : Note : réduction de bandes

13 Algorithme récursif Famille dellipsoïdes solutions, paramétrée par : Choisir qui minimise la taille de l'ellipsoïde : Volume : Somme quadratique des longueurs des demi-axes : Etude théorique des résultats obtenus pour les deux métriques. [Durieu et al., 01]

14 Garantie numérique des méthodes ellipsoïdales Problèmes de lécriture standard numériquement instable définie positivité des matrices M ou P non garantie Solution : Forme factorisée [Lesecq et Barraud 2002] numériquement stable matrices P et M définies positives, numériquement garantie + indépendance du calcul du centre et de la matrice dinformation

15 Forme matrice d'information factorisée Le problème initial est reformulé en posant : : Factorisation de Cholesky Algorithme Initialiser : Boucle récursive : Calcul de Factorisation QR : Résoudre :

16 Identification en boucle fermée Les mesures nécessaires à lidentification sont prises alors que le robot suit des trajectoires excitantes et est asservi par un correcteur PD

17 Choix de trajectoires excitantes Concaténation de mouvements pré-calculés lents (estimation des paramètres de frottements) et rapides (estimation des paramètres inertiels): Trapèzes en vitesse, sinus wobulés Mouvements suivant un seul axe dans lespace opérationnel Assurer un bon conditionnement de la matrice W

18 Données expérimentales Les positions articulaires q et les références courant V (les entrées de commande exprimées en Volt et mesurées) sont acquises à la fréquence de 1kHz. Les couples sont calculés à partir des mesures des références courant V en utilisant une relation linéaire entre chaque couple du moteur, la tension correspondante appliquée à lamplificateur et le gain de lamplificateur: Vitesses et accélérations articulaires pour calculer la matrice dobservation estimées par un filtre passe-bande de la position. Filtrage passe-bande obtenu par produit dun filtre passe-bas hors ligne non causal aller et retour (fonction filtfilt de Matlab) et dun filtre dérivateur obtenu par un algorithme de différence centrée.

19 Mise en œuvre expérimentale Re-circulation et données aberrantes Pour réduire la taille de lellipsoïde : re-circulation des données passées dans lordre chronologique inverse [DUR 01a] [CLE 90]. Réalisées plusieurs fois jusquà obtenir un ellipsoïde dont la taille ne change pas : évaluation au travers la valeur du déterminant de la matrice. Démarche pour la gestion de données aberrantes: Choix des bornes derreur a priori sur la base de considérations physiques (Remarque : trop petite, modèle erroné ou donnée aberrante [MAK 98]) Circulation des données Si détection dune donnée aberrante : ré-initialisation de lalgorithme (centre à zéro et taille de lellipsoïde grand) Taux de données aberrantes calculé après convergence

20 Dans notre cas … Choix de la borne derreur entre 10 et 15% du couple maximum disponible bornes derreur : 2.4 N.m pour moteurs 1 et 2 et 2.0 N.m pour moteurs 3 et 4 Taux de données aberrantes : moins de 0.5 % (pas de donnée aberrante dans les premières circulations) Nombre de circulations des données > 150

21 Formulation factorisée Evolution du déterminant de en fonction du nombre de re-circulations pour le critère du déterminant (Trait continu : forme factorisée, trait discontinu : forme non factorisée). N nombre dobservations

22 Analyse de lensemble admissible des paramètres estimés Approximation de lincertitude ( ) obtenue en prenant les racines carrées des valeurs de la diagonale de valeur de prise à la fin de toutes les re-circulations

23 Analyse des vecteurs propres de Calcul des valeurs propres de l'ellipsoïde obtenu par le critère du déterminant a une forme plus allongée que celui obtenu par le critère de la trace. Rapport (longueur de l'axe le plus long / plus petit) = 938 pour le critère du déterminant et seulement 220 pour le critère de la trace.

24 Validations croisées Enveloppe de lincertitude Couplage des paramètres

25 Conclusions Résultats expérimentaux obtenus par méthodes ellipsoïdales cohérents avec les connaissances a priori Nécessité : Utilisation de la forme factorisée Difficultés : Détermination de la borne derreur Perspectives : Choix de la borne derreur a priori Exploitation : Commande référencée modèle


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