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Comment améliorer l'identification de systèmes mécaniques à l'aide des polynômes de Chebyshev Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures –

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Présentation au sujet: "Comment améliorer l'identification de systèmes mécaniques à l'aide des polynômes de Chebyshev Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures –"— Transcription de la présentation:

1 Comment améliorer l'identification de systèmes mécaniques à l'aide des polynômes de Chebyshev Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures – UMR CNRS 5259 Département Génie Mécanique et Développement – INSA de LYON par D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon et R. Dufour GdR MACS - Journée Identification

2 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 2 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Origines et objectifs Identification à temps continuSystème contrôlé pas dhypothèse sur les signaux pas déchantillonnage particulier pas dexcitation « riche » fréquentiellement pas de transformation discret/continu modèle proche de la formulation mécanique Transformation de lopérateur dérivée en un opérateur algébrique Identification de systèmes variables dans le temps, voire non linéaires

3 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 3 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Plan de la présentation Principe de la méthode proposée Comment améliorer l'identification ? Application à un système mécanique variable Application à un système non linéaire Conclusions et perspectives Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

4 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 4 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Opérateur algébrique de dérivation Polynômes de Chebyshev Définitions et propriétés Base orthogonale (ordre n) : Dérivation : Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

5 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 5 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Matrice de dérivation Opérateur algébrique de dérivation Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

6 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 6 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Modèle mécanique : système à 1 degré de liberté Sur la base orthogonale de Chebyshev : Après simplification : Formulation mécanique Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

7 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 7 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Projection des signaux sur la base polynomiale définis sur N e points : Résolution de léquation algébrique : Formulation mécanique Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

8 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 8 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Généralisation à un système à k ddl 2.k² inconnues (ici 18 inconnues) Formulation mécanique Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

9 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 9 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Simulation sur 3 ddl excitation = sinus 9 rd/s Horizon = [0 4.2s] Fréquence = 1000 Hz Résultats de simulation Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

10 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 10 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Système linéarisé : pendule 3ddl linéarisé autour de la position verticale Excitation sur une tige Réponse en accélération des trois masses Validation expérimentale Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

11 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 11 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Résultats de lidentification système trop peu amorti ! Validation expérimentale Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

12 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 12 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Comment améliorer l'identification? Attention aux caractéristiques mécaniques Raideur massique Amortissement massique Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

13 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 13 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Ordre de la base Ordre de la base n Ecart Moyen Total signaux résolution En choisissant l'ordre de la base Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

14 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 14 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Influence de lordre, de la fréquence déchantillonnage, du nombre de points Estimation empirique : Nombre de points et fréquence d'échantillonnage Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

15 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 15 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Impulsion et bruit blanc large bande Chebyshev pas du tout adapté ! Sinus pur (avec régime transitoire !) Fréquences propres du système En sélectionnant une excitation Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

16 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 16 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 En sélectionnant les points d'identification temps (s) vitesse (ms - 1 ) RSB = 20dB En choisissant les points déplacement vitesse Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

17 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 17 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Ce qui implique une reformulation du problème d'identification : Les signaux sont décomposés sur toute la fenêtre L'identification est faite uniquement là où les points sont proches du signal original En choisissant les points Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

18 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 18 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Résultats de simulation temps (s) vitesse (ms - 1 ) En choisissant les points Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

19 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 19 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Comparaison pour différentes tailles de fenêtre En limitant le nombre de ponts Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

20 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 20 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Décomposer proprement les signaux sur la base au sens des Moindres Carrés Sélectionner les points d'identification et ne garder que les plus "proches" du signal initial Résoudre le problème inverse au sens des Moindres Carrés décomposition des signaux résolution équations Dissociation Comment améliorer l'identification? Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

21 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 21 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Application système variable Évolution dune masse au cours du temps Travail sur une fenêtre glissante 1234… Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

22 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 22 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Résultats pour différentes tailles de fenêtre Application système variable Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

23 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 23 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Formulation sans troncature Application système non-linéaire Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

24 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 24 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Propriétés des polynômes de Chebyshev Possibilité décrire un opérateur produit sur la base polynomiale, en tronquant les ordres supérieurs à n Formulation avec troncature Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

25 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 25 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Système à résoudre plus simple Formulation avec troncature Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

26 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 26 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Comparaison des deux formulations Application système non-linéaire Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

27 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 27 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Système 3 DDL, non linéarités en raideur K 1 =k 1. x 1 =100.x 1 N/m K 2 =k 2. ( x 2 - x 1 ) = 200.( x 2 - x 1 ) N/m K 3 =k 3. ( x 3 - x 2 ) = 50.( x 3 - x 2 ) N/m K 4 =k 4. x 3 = 20. x 3 N/m F e =2000 Hz n=40 T=2s Excitation=2.sin(3 t) Application système non-linéaire Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

28 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 28 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Validation expérimentale Dispositif d'essais : hexapode déployable Thales Alénia Space Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

29 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 29 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Modèle de Dahl généralisé équation générale forme de h(u) courbes enveloppes Validation expérimentale Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

30 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 30 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Formulation avec troncature écrite pour tous les points mesurés Validation expérimentale Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

31 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 31 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Résultats de l'identification Validation expérimentale Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

32 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 32 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Amélioration : prise en compte des oscillations Nouvelle écriture avec G Validation expérimentale Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

33 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 33 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Résultats obtenus Validation expérimentale Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

34 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 34 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Introduction de coefficients variables eux-mêmes décrits par une décomposition Application système variable Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

35 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 35 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Simulation Signaux décrits avec 120 polynômes Paramètres décrits avec 20 polynômes Excitation sinus 100 N à 20 rd/s échantillonnée à 1000Hz pendant 2s Application système variable Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

36 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 36 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Résultats sur l'amortissement Application système variable Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

37 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 37 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Conclusions Méthode didentification basée sur une base polynomiale (autres fonctions) adaptée à des signaux fréquentiellement « pauvres » mais persistants à partir dune formulation mécanicienne adaptée aux systèmes linéaires, variables ou non au cours du temps, non linéaires adaptée aux systèmes amortis Validation numérique sur plusieurs cas, sur des signaux bruités Validation expérimentale sur systèmes non linéaires Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

38 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 38 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Perspectives Améliorations possibles Estimation au sens des Moindres Carrés Représentation détat avec équation de sortie Utilisation sur dautres types de non linéarités Système continu ou souple Avec dautres bases polynomiales Transformée en Ondelettes Pour dautres opérateurs Adaptés à la non linéarité supposée Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

39 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 39 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Perspectives Base dondelettes définies sur Chebyshev Principe de la méthode Comment améliorer ? Système mécanique variable Système mécanique non linéaire Conclusions et perspectives

40 D. Rémond, M.A. Andrianoely, G. Aridon & R. Dufour p 40 / 40 Journée Identification 14 Juin 2007 Merci de votre attention


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