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Pascal NOURRISSON CPS EPS Blois 2. « Les exercices de calcul mental figureront à l'emploi du temps et ne devront pas être sacrifiés à des occupations.

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1 Pascal NOURRISSON CPS EPS Blois 2

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3 « Les exercices de calcul mental figureront à l'emploi du temps et ne devront pas être sacrifiés à des occupations considérées comme plus importantes » Programmes de 1909 « Le calcul mental doit faire lobjet dune pratique quotidienne dau moins 15 minutes » Quapprend on à lécole élémentaire ? p 246 INTRODUCTION

4 « Le temps consacré au calcul mental … est massivement estimé inférieur à une heure par semaine. » Lenseignement des mathématiques au cycle 3 Rapport IGEN juin 2006 INTRODUCTION

5 « Le calcul instrumenté nest lobjet dun apprentissage organisé que pour un très faible minorité denseignants. » Rapport IGEN de juin 2006 « Il est clair que le calcul nest pas suffisamment considéré : il conviendra de lui donner sa place dans toutes ses modalités. Il faut apprendre aux élèves à calculer intelligemment (la notion de calcul réfléchi). » « Il faut éviter de trop séparer « réfléchi » et « automatique » puisque lun sappuie sur lautre et réciproquement. » INTRODUCTION

6 « … un équilibre doit être trouvé dans lenseignement et lapprentissage du calcul entre automatisation et raison, ses deux facettes indissociables. » Michèle Lartigue « Lintelligence du calcul » Actes de luniversité dété « Le calcul sous toutes ses formes », août 2005 « Le calcul doit être développé en jouant sur lintérêt et le plaisir que chaque élève peut prendre en constatant ses progrès dans les activités qui lui sont proposées » » Lenseignement des mathématiques au cycle 3 Rapport IGEN juin 2006 Un premier constat INTRODUCTION

7 En 1970 : « Il est essentiel, et cela à tous les niveaux, que les élèves calculent mentalement […]. La valeur éducative des exercices de calcul mental réside tout autant dans la manière de conduire le calcul que dans sa rapidité ». LE CALCUL MENTAL DANS LES PROGRAMMES Bref historique En 1995 : On parle de « … pratique du calcul exact ou approché en utilisant … le calcul réfléchi (mentalement ou avec laide de lécrit), lordre de grandeur (encadrement, valeur approchée » sur les nombres entiers ou décimaux. En 1989 : (loi dorientation) Dans les protocoles dévaluations nationales (CE2 et 6 e ) figuraient des exercices de calcul mental.

8 En 2007 : Au cycle 3, dans la rubrique « calcul »: Au cycle 3, dans la rubrique « calcul »: « Calcul approché: il doit être utilisé dans des situations où les élèves peuvent lui donner du sens, par exemple: contrôle dun résultat obtenu par écrit ou à laide dune calculatrice. » « Calcul approché: il doit être utilisé dans des situations où les élèves peuvent lui donner du sens, par exemple: contrôle dun résultat obtenu par écrit ou à laide dune calculatrice. » En 2008: « Lentraînement quotidien au calcul mental (portant sur les quatre opérations) permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. » « Lentraînement quotidien au calcul mental (portant sur les quatre opérations) permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. » En 2002 : « Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à lécole élémentaire et faire lobjet dune pratique régulière, dès le cycle 2 » LE CALCUL MENTAL DANS LES PROGRAMMES

9 Éléments abordables par le calcul mental Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux Utiliser une calculatrice Utiliser une calculatrice Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Le socle commun de connaissances et de compétences Éléments relevant directement du calcul mental : Restituer les tables daddition et de multiplication de 2 à 9 Restituer les tables daddition et de multiplication de 2 à 9 Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations Estimer lordre de grandeur Estimer lordre de grandeur LE CALCUL MENTAL DANS LES PROGRAMMES

10 CONNAISSANCESCAPACITESATTITUDES Connaître les nombres et leur désignation Connaître les propriétés des opérations Connaître les tables pour calculer Savoir calculer Acquérir le sens des opérations Utiliser des stratégies efficaces Mettre en œuvre un calcul en situation Attention, concentration, mémoire Plaisir, jeu, envie Autonomie et prise dinitiatives Les finalités du calcul mental par rapport au socle commun Christophe Bolsius « Fort en calcul mental » Scéren 2008 LE CALCUL MENTAL DANS LES PROGRAMMES

11 Les programmes de 2008 : les contenus Éléments abordables par le calcul mental Relations arithmétiques entre les nombres dusage courant : double, moitié, quadruple, quart, triple, tiers,… la notion de multiple. Éléments relevant directement du calcul mental : Calcul mental : tables daddition et de multiplication. Lentraînement quotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés. LE CALCUL MENTAL DANS LES PROGRAMMES

12 Les programmes de 2008 : les progressions Au CE2 : Mémoriser et mobiliser les résultats des tables daddition et de multiplication. Mémoriser et mobiliser les résultats des tables daddition et de multiplication. Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. Au CM1 : Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. Au CM2 : Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, LE CALCUL MENTAL DANS LES PROGRAMMES

13 « Il (le calcul mental) est une façon privilégiée de lier calcul et raisonnement, en mettant en jeu les propriétés des nombres et des opérations. Il nest bien sûr pas question de viser lapprentissage systématique de techniques ad hoc de calcul mental, comme on peut en trouver dans certains manuels darithmétique. Il sagit dutiliser les caractéristiques du calcul mental: pour susciter la réflexion sur le calcul, pour mettre en évidence la diversité des façons possibles daborder généralement un calcul, comparer leur coût, les connaissances qui les fondent, pour susciter des formulations, des généralisations et des preuves ». Commission de réflexion sur lenseignement des mathématiques (CREM), dite commission Kahane Le point de vue des experts POURQUOI FAIRE DU CALCUL MENTAL ?

14 Cest socialement utile Moyen efficace en labsence de support ou dinstrument : calcul dusage Nécessité de pouvoir effectuer un calcul approché

15 Cest pédagogiquement efficace - Construction des premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des entiers naturels. - Enrichissement des conceptions numériques des élèves. - Utilisation implicite des propriétés des opérations (commutativité, associativité, distributivité); - Importance pour la mise en place de certaines notions mathématiques :. Proportionnalité, fractions,. Opérations sur les relatifs, calcul algébrique… - Développement des capacités de raisonnement : élaboration de procédures originales POURQUOI FAIRE DU CALCUL MENTAL ?

16 QUEST CE QUE LE CALCUL MENTAL ? Quelle définition ? « Lexpression de « calcul mental » signifie quentre lénoncé du problème et lénoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée (technique opératoire usuelle). Cela nimplique pas quaucun support écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du résultat, voire dans le cours du calcul. » « Le calcul mental à lécole élémentaire » Documents daccompagnement des programmes 2002

17 Quelle définition ? On peut être tenter dopposer calcul mental et calcul écrit ou instrumenté (posé, techniques opératoires) « Le propre du calcul automatisé quil sagisse de lemploi de la calculette ou dun algorithme appliqué avec papier ou crayon, est de délaisser lintuition des nombres, lordre de grandeur. » Documents daccompagnement des programmes 2002 « Le calcul mental, calcul réfléchi ou raisonné, nécessite au contraire, une intuition sur les nombres ainsi quune part dinitiative et de choix. » Documents daccompagnement des programmes 2002 QUEST CE QUE LE CALCUL MENTAL ?

18 calcul automatisé Le propre du « calcul automatisé » est de délaisser « lintuition » des nombres, de ne pas soccuper de lordre de grandeur. On travaille avec les CHIFFRES en mettant en œuvre un algorithme officiel et standard. On se laisse guider par la technique : on perd le contrôle de ce quon veut faire, mais on est certain dy arriver ! calcul réfléchi calcul réfléchi Par « calcul réfléchi », synonyme de calcul raisonné ou dans le temps de calcul rapide (qualificatif mal choisi), on entend choix dune stratégie de calcul, non nécessairement uniforme, on entend élaboration de procédures (privées), avec un contrôle du déroulement du calcul ; par opposition à rapidité dexécution. Par définition, le « calcul réfléchi » est le calcul qui fait appel aux propriétés des opérations et des nombres. Patrick Wieruszewski PIUMF site de Blois Calcul automatisé et calcul réfléchi QUEST CE QUE LE CALCUL MENTAL ?

19 calcul automatisé Le calcul automatisé cherche à constituer un répertoire de connaissances sur lequel lélève pourra sappuyer pour réduire la charge cognitive qui apparaît lors de la mise en place dalgorithmes ou de raisonnements complexes. Il intègre également la mémorisation de procédures et de pratiques plus abouties qui serviront ultérieurement à rassurer lélève confronté à de nouvelles difficultés. calcul réfléchi Le calcul réfléchi impose de - faire des choix efficaces de type de calcul - choisir des représentations pertinentes pour les objets engagés dans le calcul et interpréter celles qui apparaissent au fil du calcul, - faire des anticipations et piloter le calcul en fonction du but poursuivi, des anticipations faites, et de ce que produit le calcul effectif. Calcul automatisé et calcul réfléchi QUEST CE QUE LE CALCUL MENTAL ?

20 Calcul automatisé et calcul réfléchi QUEST CE QUE LE CALCUL MENTAL ? En résumé Il convient donc de distinguer ce quil faut mémoriser ou automatiser (les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure…) et ce quil faut être capable de reconstruire (et qui relève du calcul réfléchi : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais sappuyant sur ce qui est connu).

21 Calcul automatisé et calcul réfléchi QUEST CE QUE LE CALCUL MENTAL ? Toutefois Au cycle 3, la frontière entre calcul automatisé et calcul réfléchi nest pas toujours facile à préciser. A un même moment, elle peut varier dun élève à lautre et, surtout, elle se modifie au cours du cycle. Ainsi certains calculs placés dans la rubrique précédente sont dabord traités par les élèves à laide dun raisonnement avant dêtre automatisés. Il ne faut pas oublier que lautomatisation est le résultat dun travail qui allie compréhension, raisonnement, explications et entraînement, ce dernier nétant pas le seul élément de la mise en mémoire de résultats ou de procédures. « Le calcul mental à lécole élémentaire » Documents daccompagnement des programmes 2002

22 Les formes de pratiques COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ? Les situations saisies « à la volée » - associé à des situations concrètes, réelles ou de vie courante - saisi à la volée, sans développement excessif - pratique dun calcul sans crayon, ni instrument - une recherche dun résultat approché ou vraisemblable Les exercices - mémorisation de résultats simples (tables + ou x) - séances brèves (quelques minutes) car elles sollicitent fortement lattention - on nexclue pas les supports écrits - exigence de rapidité Les séquences de recherches - exploration de stratégies nouvelles - seffectue collectivement (confrontation des démarches : élément moteur) - durée plus longue - peut prendre la forme de défis et donner lieu à un affichage ou des recherches par équipes, de confrontation, débouchant sur une synthèse

23 Méthodologie Les travaux de François Boule et Denis Butlen proposent dorganiser les séances de calcul mental autour de 3 temps forts : La phase déchauffement, très brève, pour mettre les élèves en condition découte et de concentration, ne présentant aucune difficulté technique pour permettre un démarrage de tous les élèves. La phase dentraînement, avec des calculs simples, en jouant sur les différentes variables en jeu, elle fait appel à des connaissances ou des procédures qui doivent être directement disponibles et rappelées éventuellement pendant la correction. La phase de calcul réfléchi, plus complexe, où plusieurs procédures sont possibles, la correction permettra de les confronter et de faire apparaître éventuellement la plus adaptée. COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

24 Méthodologie COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

25 - percevoir : établir ce qui va être appris (3 x 2 = 6 car lorsque jai 3 ensembles de 2 billes jen ai un total de 6 et par extension, lorsque je construis la table de Pythagore quand la colonne 3 rencontre la ligne 2, jobtiens 6). - évoquer : rappeler la connaissance et constituer ainsi une image mentale qui peut être visuelle, auditive, ou kinesthésique (jentends « deux fois trois six » ou je vois « la colonne 3 rencontrer la ligne 2 »…). - faire le projet d'utiliser ultérieurement la connaissance quil peut évoquer (si jai besoin de faire cette opération je pourrai utiliser la comptine « deux fois trois six » ou cette image de la table de Pythagore). - s'entraîner à restituer la connaissance comme sil était dans la situation future projetée (je me place en situation de calcul en recherchant des résultats dopérations que je compte maîtriser : 2 X 3 ; 3 X 4…). Le calcul automatisé : processus de mémorisation

26 -Lélève doit comprendre lactivité proposée et lobjectif visé : savoir ce quil recherche et quelles ressources il doit mobiliser. -Il doit mesurer lintérêt quil a à se constituer un répertoire de résultats mémorisés : il sera plus actif dans son apprentissage sil est convaincu de la nécessité de connaître ce quil apprend. -Il doit savoir ce quil connaît et ce quil lui reste à apprendre à lintérieur dun même apprentissage. -Il doit pouvoir sappuyer sur ce quil sait déjà. -Il doit sentraîner et évoluer dans son entraînement en fonction du niveau atteint. Le calcul automatisé : conditions de mémorisation COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

27 -QUAND ? -Le calcul automatisé au début ou dans certains cas précis (nouvelle notion, nouvelle pratique, besoin criant…) -COMBIEN ? -Tous les jours une quinzaine de minutes -COMMENT ? -En fonction des apprentissages mathématiques en cours -Avec le minimum de matériel : ardoise, éventuellement une feuille de papier, une calculatrice et certains jeux adaptés (jeux de lotos, de dominos, de cartes, du gobelet…) -Selon le procédé Lamartinière -Oralement Le calcul automatisé : quand, combien, comment COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

28 Le calcul automatisé : quelques activités Loto Les nombres sont dictés par lenseignant ou un élève. Plusieurs activités sont envisageables Dictée de nombres Lotos additifs et multiplicatifs Décompositions (ex : ) Écritures équivalentes (50 = 25 x 2 = 100 : 2 = 10 x 5 = …)

29 Qui a ? COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ? Le calcul automatisé : quelques activités Le meneur de jeu distribue toutes les cartes aux élèves tout en conservant la première pour lui. Il énonce le premier calcul à effectuer. Lélève qui a la réponse la donne à lensemble de la classe puis, retourne sa carte et énonce à son tour le calcul à réaliser. On continue ainsi jusquà épuisement des cartes. Doubles et moitiés Jai 16Jai 14Jai 10Jai 60Jai 20Jai 15Jai 150 Jai 4Jai 7 Jai 24Jai 40Jai 3Jai 50Jai 25Jai 300 Jai 30Jai 2Jai 8Jai 22Jai 9Jai 200Jai 600Jai 400

30 Qui a le double de 15 ? Qui a la moitié de 14 ? Qui a le double de 5 ? Qui a la moitié de 12 ? Qui a le double de 2 ? Qui a le double de 11 ? Qui a le double de 20 ? Qui a le double de 10 ? Qui a le double de 7 ? Qui a le double de 8 ? Qui a le double de 12 ? Qui a la moitié de 16 ? Qui a la moitié de 4 ? Qui a le double de 30 ? Qui a la moitié de 18 ? Qui a la moitié de 6 ? Qui a le double de 300 ? Qui a le double de 100 ? Qui a le double de 25 ? Qui a la moitié de 600 ? Qui a la moitié de 50 ? Qui a la moitié de 800 ? Qui a la moitié de 300 ? Qui a la moitié de 30 ?

31 COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ? Le calcul automatisé : quelques activités Les suites de nombres En ligne ,17,5

32 97 0,12 17,5 En rouleaux

33 COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ? Le calcul automatisé : quelques activités Tables à compléter X X Principe : mélanger lordre des tables

34 Travail sur la table de Pythagore : - Jeu de code : une grille permet dassocier chaque lettre de lalphabet à un nombre pris dans la table de Pythagore. Les élèves doivent décoder un mot écrit sous forme dune succession de multiplications. Trouver les en-têtes de lignes et de colonnes dans un tableau du type : Le calcul automatisé : quelques activités COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

35 FGHIJA24368 B184 C D3648 E4535

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37 37 - Les puzzles - Les puzzles Quels sont les morceaux qui peuvent être placés dans la table de Pythagore? Comment les reconnaître? Quels sont les morceaux qui peuvent être placés dans la table de Pythagore? Comment les reconnaître? Comment décrire les autres tableaux? Comment décrire les autres tableaux? Reconstituer la table de Pythagore Reconstituer la table de Pythagore Le calcul automatisé : quelques activités Travail sur la table de Pythagore : (suite) COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

38 oui non

39 -Jeux du furet : compter, décompter de n en n. La parole passe délève en élève dans un ordre prévu et stable pour que les élèves mettent en place des stratégies danticipation. Le maître peut choisir le nombre de départ pour faire évoluer lexercice. Il choisit n en fonction des objectifs de travail et de la notion abordée. -Multiplication par des puissances de 10 puis des multiples de 10 : 10 X 45, 100 X 340…puis 30 X 60, 50 X 70…et enfin 300 X 2000, 40 X 800… -Multiplication par des puissances de 10 puis des multiples de 10 : 10 X 45, 100 X 340…puis 30 X 60, 50 X 70…et enfin 300 X 2000, 40 X 800… -Multiplications et division par 25 et 250 : « 25 X 3 », « 250 X 8 »… Les élèves apprennent à repérer le multiple de 4 le plus proche du multiplicateur en plus dassimiler les produits de 25 et 250 par 1, 2, et 3. « 25 X 3 », « 250 X 8 »… Les élèves apprennent à repérer le multiple de 4 le plus proche du multiplicateur en plus dassimiler les produits de 25 et 250 par 1, 2, et 3. Le calcul automatisé : quelques activités COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

40 Un objectif différent : il ne sagit plus de mémoriser mais de raisonner, de mobiliser des savoirs pour obtenir un résultat Un objectif différent : il ne sagit plus de mémoriser mais de raisonner, de mobiliser des savoirs pour obtenir un résultat La réflexion et le choix de la démarche sont primordiaux et nécessitent de nombreux retours et des explicitations détaillées. La réflexion et le choix de la démarche sont primordiaux et nécessitent de nombreux retours et des explicitations détaillées. Les élèves devront valider leurs résultats en présentant leur démarche. Les élèves devront valider leurs résultats en présentant leur démarche. Le calcul mental réfléchi implique donc un débat, des discussions et des analyses qui passent parfois par lécrit. Le calcul mental réfléchi implique donc un débat, des discussions et des analyses qui passent parfois par lécrit. Le calcul réfléchi : une autre logique COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

41 Lenseignant intervient le moins possible : pour relever une erreur de raisonnement, pour relever une erreur de raisonnement, pour traduire mathématiquement un raisonnement complexe et donc le « mathématiser », pour traduire mathématiquement un raisonnement complexe et donc le « mathématiser », pour souligner les points importants méritant une réflexion plus approfondie, un apprentissage nouveau…et rebondir sur les remarques ou les affirmations qui sont propices à des explicitations opportunes, pour souligner les points importants méritant une réflexion plus approfondie, un apprentissage nouveau…et rebondir sur les remarques ou les affirmations qui sont propices à des explicitations opportunes, pour jouer le rôle darbitre objectif lorsquun débat ne trouve pas de solution et quil en existe une du point de vue mathématique, ou pour institutionnaliser les apprentissages pour jouer le rôle darbitre objectif lorsquun débat ne trouve pas de solution et quil en existe une du point de vue mathématique, ou pour institutionnaliser les apprentissages Pour relever les stratégies erronées, les soumettre à la réflexion de chacun et mettre en évidence une erreur à éviter, en définir la nature. Pour relever les stratégies erronées, les soumettre à la réflexion de chacun et mettre en évidence une erreur à éviter, en définir la nature. Le calcul réfléchi : le rôle de lenseignant COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

42 QUAND ? QUAND ? Le calcul mental réfléchi apparaît plus tardivement dans lannée pour permettre aux habitudes matérielles et techniques de sinstaller et aux répertoires mémorisés dêtre plus solidement ancrés COMBIEN ? COMBIEN ? Tous les jours mais la durée peut varier selon la pratique et la notion abordée COMMENT ? COMMENT ? En fonction des apprentissages mathématiques en cours En fonction des apprentissages mathématiques en cours Le recours à lécrit ou à la calculatrice sera plus courant pour permettre aux élèves de se libérer dun trop grand nombre de résultats mémorisés ou de calculs mobilisateurs dattention Le recours à lécrit ou à la calculatrice sera plus courant pour permettre aux élèves de se libérer dun trop grand nombre de résultats mémorisés ou de calculs mobilisateurs dattention Le calcul réfléchi : quand, combien, comment COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

43 Le calcul réfléchi : quelques exemples Multiplications mentales en utilisant des nombres repères : - 34 X 11 =34 X (10 + 1) = = X 9 = 21 X (10 - 1) = 210 – 21 = 210 – 10 – 10 – 1 = X 14 = ( ) X 14 = = X 13 = ( 100 – 2) X 13 = 1300 – 26 = 1274 Divisions mentales : : 5 =( ) : 5 = = : 7 =( ) : 7 = = : 4 =( ) : 4 = = 62 COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

44 Puis utiliser cette capacité pour trouver un produit sans calcul complexe : 28 X 35 Le calcul réfléchi : quelques exemples Décompositions multiplicatives : Trouver plusieurs façons décrire un nombre X sous la forme dun produit de facteurs : 12 = 6 X 2 = 4 X 3 = 12 X 1 COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ? = 7 X 4 X 5 X 7= 7 X 20 X 7= 20 X 49 = 2 X 49 X 10= 2 X (50 - 1) X 10 = (100 – 2) X 10= 98 X 10 = 980

45 Attention : Pour lopération « 25 X 31 », un nombre important délèves proposera a priori une transformation en « 20 X 30 = 600 ». Lenseignant devra alors orienter le groupe vers une autre transformation possible : « 30 X 30 = 900 » et faire comparer les résultats trouvés avec le résultat exact du calcul : 775. Le calcul réfléchi : quelques exemples - Situations additives : « » devient « » soit environ 3300, Calcul approché : - Situations soustractives : « 347 – 191 » devient « 350 – 200 » soit environ 150, - Situations multiplicatives : « 31 X 39 » est transformé en « 30 X 40 » et sapproche donc de 1200, - Situations de division : « 457 : 9 » devient « 450 : 9 » soit environ 50. COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

46 Jeu de lautobus : Un bus comprenant X personnes sarrête successivement en différents endroits, des passagers montent et dautres descendent. Les élèves doivent trouver combien de personnes sont dans lautobus au moment où il redémarre après chaque arrêt. Lenseignant peut utiliser des nombres variés pour faire évoluer les démarches. Ainsi « 15 – » pourra être calculé par la démarche « (15 – 5) + 8 » alors que « 234 – » devra être transformé en « 234 – (49 – 43) ». Le vocabulaire peut également être adapté : « la moitié des passagers descendent et 3 montent »… Jeu de la chaîne : à partir dun nombre de départ des transformations successives sont proposées. Lélève inscrit le nombre obtenu en fin de processus. Le calcul réfléchi : quelques exemples COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

47 Le compte est bon : à partir dune série de plusieurs nombres, les élèves doivent obtenir un nombre cible en utilisant les quatre opérations. Le calcul réfléchi : quelques exemples Le nombre pensé : lenseignant énonce « jai un nombre en tête, je lui applique la ou les transformations suivantes et jobtiens X, quel est-il ». Les élèves doivent trouver et appliquer les opérations inverses pour obtenir le nombre de départ. Jeux du portrait : lenseignant fait le portrait dun nombre sans le désigner. Il peut lencadrer, en faire une décomposition canonique partielle, annoncer le nombre de chiffres…selon lobjectif de travail. Les élèves doivent, soit le retrouver dans une liste proposée, soit le construire à partir des informations énoncées. Celles-ci peuvent être écrites ou orales. COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

48 Exemple 2 : afficher 5,27 sans avoir le droit de taper sur les touches [5], [2], [7], avec éventuellement la contrainte supplémentaire de ne pouvoir utiliser la touche « virgule » (dans ce cas, le 0 est autorisé et les opérations peuvent en comporter autant que lélève le souhaite) Le calcul réfléchi : cas particulier du calcul instrumenté Exercice 1 : Afficher un nombre sans avoir le droit de taper sur les chiffres correspondants et en nutilisant que des opérations comportant un chiffre et un signe (+, -, x, :). Plus les élèves sont performants, plus le nombre de chiffres peut être important. Le but est dutiliser le moins dopérations possible. Exemple 1 : afficher le nombre 134 sans avoir le droit de taper sur les touches [1], [3], [4] COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

49 Exemple 3 : Faire afficher 45,24 puis demander dafficher 42,14 Le calcul réfléchi : cas particulier du calcul instrumenté Exercice 2 : A partir dun nombre défini par le maître, afficher un nouveau nombre en utilisant un minimum de touches et sans effacer. Exemple 1 : faire afficher 47, puis demander d'afficher 77 Exemple 2 : faire afficher 327, puis demander d'afficher 657 COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

50 Exercice 3 : la chute à dix Les élèves affichent un nombre entier n compris entre 100 et Ils doivent arriver à 10 en un minimum d'opérations, en nutilisant que les touches [+], [ ], [ ] et [ ] et un chiffre. Exemple résolu : on affiche n = 456. Un trajet de la chute ou de la course peut être : 456 [+] 3 [=] [ ] 9 [=] [+] 9 [=] [ ] 6 [=] 10 Le calcul réfléchi : cas particulier du calcul instrumenté COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?

51 Lintroduction dun nouvel apprentissage Cette phase peut être très brève (une séance) quand il sagit de calcul automatisé (compléments à 10) ou que lapprentissage revient sur une notion partiellement connue (multiples de 25 en CM2). Elle peut également sétendre sur une période plus longue (3 à 4 séances) quand la notion étudiée est nouvelle (calcul approché), ou quelle introduit des outils (calculatrice…) ou des démarches nouvelles (jeu du compte est bon). Son but est de placer lélève en situation de recherche, de lui faire évaluer ce quil sait faire et ce quil doit apprendre et verbaliser lintérêt de la notion abordée. COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ? Le calcul réfléchi : construction des séquences

52 La recherche de solutions personnelles par les élèves Cette deuxième phase sétend sur un nombre plus important et assez variable de séances. Sa durée dépend des solutions qui sont proposées et de la capacité du plus grand nombre à découvrir un procédé approprié. Il est important que tous puissent dabord participer à la recherche de solutions et ensuite être confrontés aux démarches proposées par les pairs. Ainsi pour des additions du type « », une part importante des enfants de la classe reproduit mentalement lalgorithme écrit. Il faudra un peu de temps pour que de nouvelles approches émergent ( ) et que leur efficacité puisse être décelée au travers de la rapidité dexécution des utilisateurs. COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ? Le calcul réfléchi : construction des séquences

53 Bilan des modèles utilisés et analyse Un bilan des modèles utilisés et leur analyse : points forts, points faibles et situations dans lesquelles ils sont préconisés. Une séance est généralement suffisante. Réinvestissement Nouvelle phase dutilisation durant laquelle tous les élèves sont invités à tester les modèles les plus efficaces et à se familiariser avec eux. Le nombre de séances varie ici avec la difficulté de la notion. Les calculs approchés peuvent nécessiter cinq séances tout comme le jeu de lautobus. En revanche, la soustraction dun nombre à un chiffre ne demande pas plus de 2 séances. COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL? Le calcul réfléchi : construction des séquences

54 Institutionnalisation Une solution efficace est établie comme référence et validée comme solution experte. Par la suite elle est entérinée par une systématisation avec recherche de rapidité. Sous forme ludique, concours de rapidité, défis chronométrés, les élèves utilisent les modèles et mesurent leur capacité à trouver les réponses et à opérer avec aisance. Cette phase ne dépasse jamais deux séances. COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ? Le calcul réfléchi : construction des séquences

55 BIBLIOGRAPHIE Les documents daccompagnement des programmes: le calcul mental à lécole élémentaire, p32 à 49 (ce nest plus une référence institutionnelle, mais cest toujours une valeur sûre pour la conception des apprentissages !) BOULE F., Le calcul mental à lécole, histoire, expérimentation, propositions, Nouvelle version, IREM, Dijon, 1998, 54 pages. BOULE F., Le calcul mental au quotidien (cycles 2 et 3) SCEREN, CRDP Bourgogne, 2008, 110 pages BUTLEN D., Le calcul mental entre sens et technique, Presses Universitaires de Franche-Comté, collection Didactiques, Besançon, 2007, 186 pages. BUTLEN D., Calcul mental, calcul rapide, IREM Paris VII, 1987 PELTIER M.L., Activités de calcul mental, Hatier, PELTIER M.L., Activités de calcul mental, Hatier, BOLSIUS CH., Fort en calcul mental ! Connaissances et stratégies pour réussir, SCEREN, CRDP Lorraine, 2008, 120 pages

56 SITOGRAPHIE

57 POUR FINIR « Le calcul mental est une partie brillante et neuve de notre enseignement. […] On apprend à compter comme on apprend à traverser une rue; il ne sagit pas daller lentement ; mais il faut saisir le moment, apprendre à disposer de soi, et faire vite, sans aucune peur. » Alain « Propos sur léducation » 1932


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