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Calcul MATHEMATIQUES au cycle III : la question du calcul. Patrick WIERUSZEWSKI IUFM, Centre Val de Loire, Blois. IREM Orléans, COPIRELEM. 1P. WIERUSZEWSKI.

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1 calcul MATHEMATIQUES au cycle III : la question du calcul. Patrick WIERUSZEWSKI IUFM, Centre Val de Loire, Blois. IREM Orléans, COPIRELEM. 1P. WIERUSZEWSKI

2 Sommaire. Du côté des instructions officielles (les programmes 2008 et le Socle Commun). Gros paquet Du côté des techniques opératoires. Gros paquet !!! Non directement abordé Non directement abordé Du côté du calcul mental. Non directement abordé. Du côté des nombres : les nombres décimaux. Non directement abordé. proportionnalité Pour finir en beauté : du côté de la proportionnalité. 2P. WIERUSZEWSKI

3 Les deux entrées institutionnelles en 2008 Le Socle Commun des Connaissances et des Compétences. Cest le pilier 3 : « Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique ». a) Les connaissances. « Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à lécole primaire des automatismes en calcul, en particulier la maîtrise des quatre opérations qui permet le calcul mental. Il est aussi indispensable à démontrer et à raisonner. Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin dêtre en mesure de les utiliser ». Les élèves doivent CONNAITRE … (du côté des « savoirs »). b)Les capacités et les attitudes (peu dexplicitation !). Les élèves doivent ETRE CAPABLES DE … (du côté des compétences). 3P. WIERUSZEWSKI

4 4 les Programmes 2008 (BO, hors série de Juin 2008). Programme décliné en quatre DOMAINES, accompagné de quelques éléments de progression. … « Lacquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification ». « La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite détudes au collège ». Domaine NOMBRES et CALCUL Une interrogation et un point de débat entre cycle II et cycle III. Au cycle II. « Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent ». Au cycle III. « Principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans lécriture des nombres ; désignation orale et écriture en chiffres et en lettres ; comparaison et rangement (…) ; relations arithmétiques entre les nombres dusage courant ».

5 P. WIERUSZEWSKI5 Domaine GEOMETRIE. Relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, équidistance. Utilisation des instruments et de techniques. Les figures planes, les solides usuels. … Domaine GRANDEURS et MESURES. Les LONGUEURS, les MASSES, les VOLUMES. Les AIRES (formule de laire dun rectangle et dun triangle). Les ANGLES. Le REPERAGE du TEMPS. Les DUREES, la MONNAIE. Domaine ORGANISATION et GESTION de DONNEES. … La proportionnalité est abordée à partir des situations faisant intervenir les … On parle en particulier de « la règle de trois ». Est-on au clair sur cette « règle » ?

6 P. WIERUSZEWSKI6 Rupture et Continuités de 2002 à En ) « Faire des mathématiques », c'est résoudre des problèmes.... 2) Qui dit « CALCUL » dit : « calcul posé (Cal-P), calcul instrumenté (Cal-I), calcul mental (Cal-M) ».... En Certes, la résolution de problèmes est réaffirmée (elle est commentée dans chacun des quatre domaines) ; cependant ce qui prime, ce sont « les fondamentaux » dès le cycle II. Il convient de les préciser. 1)Des automatismes à faire pratiquer plus tôt. 2)Des apprentissages avancés (dans le domaine numérique) : Addition et Soustraction posées, Tables de multiplication de 2, 3, 4 et 5, du partage à la division au CE1.

7 P. WIERUSZEWSKI7 CALCUL et Techniques Opératoires. Que dit le rapport de lAcadémie des Sciences ? 1. Lamélioration souhaitable des performances en calcul à lissue de lécole primaire requiert des mesures significatives mais prudentes, accompagnées danalyses plus approfondies et dexpérimentations. 3. Son apprentissage, sappuyant sur une intuition arithmétique présente chez tous les jeunes enfants, suppose effort mais aussi jeu. La mise en place dautomatismes saccompagne de représentations mentales nouvelles, elle implique réflexion et compréhension. Lautomatisation ne peut quêtre le résultat ultime et naturel dune pratique régulière et bien comprise du calcul. 4. L'enseignement du calcul doit commencer par une pratique simultanée de la numération et des quatre opérations, une gradation en complexité se faisant entre maternelle et fin de primaire, jusquaux nombres décimaux et aux fractions.

8 P. WIERUSZEWSKI8 5. La capacité en calcul se développe selon plusieurs modalités, toutes pertinentes, nécessaires et complémentaires : calcul mental, calcul posé écrit, calcul approché, calcul instrumenté. Le premier, omniprésent dans la vie quotidienne, développe la mémoire ; le deuxième, riche de développements ultérieurs, est important pour la structuration des connaissances ; le troisième est essentiel dans les sciences de la nature et la manipulation des ordres de grandeur ; le quatrième doit trouver sa juste articulation avec les autres modalités. Toutes ces modalités de calcul doivent être maîtrisées par le citoyen. 6. Lapprentissage du calcul ne saurait être développé indépendamment de celui de la géométrie. Les liens entre géométrie et calcul doivent être introduits très tôt, dautant plus que tous ne sont pas immédiats pour lenfant. 7. Limportance de la proportionnalité dans plusieurs champs disciplinaires, et singulièrement les sciences de la nature, requiert une maîtrise solide de la règle de trois en fin de primaire, et donc dune certaine manipulation des fractions.

9 P. WIERUSZEWSKI9 Dernier point : les évaluations. A quels « interrogations » peut-on sattendre au CM2 dans le domaine du CALCUL ? A.CALCUL MENTAL. ET Connaissances des tables (addition et multiplication) : donner les résultats ET retrouver les termes ou les facteurs. Calculer mentalement le résultat dune opération OU le terme manquant dune opération. B.TECHNIQUES OPERATOIRES. Poser et effectuer à la main une opération : addition, soustraction, multiplication. Les nombres en jeu sont les nombres entiers et les nombres décimaux. Poser et effectuer une division. (Un nombre entier ou un nombre décimal par un nombre entier). C.PROBLEMES. Résoudre un problème relevant des quatre opérations, avec quelle modalité ? Résoudre un problème plus « spécifique » : proportionnalité, longueurs et aires, …

10 P. WIERUSZEWSKI10 La soustraction. Le (mini) quart dheure culturel : LA technique opératoire enseignée dans les pays dAmérique Centrale. (Source : manuel détat du SALVADOR, éditions 2007).

11 P. WIERUSZEWSKI11 Une autre page du manuel de deuxième année (= CE1).

12 P. WIERUSZEWSKI12 Quelques observations préalables sur les Techniques Opératoires. Jusquà la réforme dite des mathématiques modernes (fin des années 1970), les techniques les plus ENSEIGNEES correspondaient aux techniques les plus EMPLOYEES : « lexécution » dune technique devait pouvoir facilement être vérifiée par le plus grand nombre (« dans » et « hors » de la classe). De nos jours, le choix dune technique doit plutôt répondre à deux critères : Facilité de son exécution et de sa mémorisation, afin de limiter le temps dapprentissage. Possibilité de contrôle par le sens. ADDITION ( développée dans le diaporama cycle II ). Ce quil faut avoir acquis pour comprendre et légitimer la technique, tout en la renforçant par la pratique, on est dans un rapport de nature dialectique : La compréhension du principe de groupements par paquets de 10. la mémorisation des résultats des sommes intermédiaires.

13 P. WIERUSZEWSKI13 SOUSTRACTION. Ça devient plus « chaud » !!! Il ny a pas unicité dune technique, et toutes se valent; à condition de les comprendre. 1.Déconstruction dune unité dun rang (n + 1) pour « travailler » au rang n. Principales difficultés à analyser pour lenseignant. Plusieurs déconstructions successives. Exemple … Présence dun zéro dans le terme le plus grand. Exemple … Avec les nombres décimaux, difficulté usuelle de « mise en forme » de lopération, avant son effectuation. 2.Conservation de lécart par ajout dun même nombre aux deux termes de la différence à calculer ou « technique française ». Principales difficultés à analyser pour lenseignant. Distinction entre la nature des « retenues ». La nature algébrique de cette technique : on ajoute une unité dun certain rang, qui joue deux rôles différents dans le calcul.

14 P. WIERUSZEWSKI14 3.Recherche du complément du deuxième terme de la différence (cest « laddition à trous ! »). Cette technique repose sur la définition mathématique de la différence : cest le nombre qui ajouté au deuxième terme donne le premier. Principales difficultés pour lenseignant. Signification du mot « complément », toujours attaché à la différence de deux nombres. Définition, oui, mais comment la faire « vivre » si on enseigne une autre technique ! Dimension algébrique. A toute addition, on peut lui associer deux soustractions et à toute soustraction, on peut lui associer une autre soustraction et une addition, le tout avec les mêmes termes. Quelques outils de calcul réfléchi : Les décompositions (la « canonique » et les autres, …). Les représentations schématiques, dont la droite numérique (calculs « en reculant » ou « en avançant »). Les dispositions (calculs en ligne, calculs en colonnes). …

15 P. WIERUSZEWSKI15 On continue : cest le tour de la MULTIPLICATION. Autre paire de manches à retrousser ! La technique usuelle française : tout le monde la connaît. Oui, mais on met des « 0 » ou on met des «. » dans les colonnes ? Et la « retenue », on (ne) lécrit pas ou on lécrit, et où ? … Ce ne sont pas les bonnes questions. Principales difficultés à analyser pour lenseignant. Besoin de coordination de plusieurs types de connaissances : les produits élémentaires (les tables de multiplication, et oui !!!), des principes de la numération décimale (les multiplications intermédiaires et laddition finale), la « règle des 0 » (par exemple, « 3 fois 2 dizaines = 6 dizaines » devrait sécrire « 20 3 = 60 »), la distributivité de la multiplication par rapport à laddition, … (OUF !). Traitement mental important pour les calculs partiels et les calculs intermédiaires. Autre besoin : nécessité dun entraînement préalable ou concomitant aux calculs de produits « en ligne » de la forme (du) i ou (cdu) j.

16 P. WIERUSZEWSKI16 Ce nest pas fini, même si on fatigue un peu (beaucoup ?). La DIVISION. Il y en a deux au programme : la division euclidienne (non libellée comme telle) et la division décimale. Une disposition standard : la POTENCE. Principales difficultés pour lenseignant. Pas dunicité dans les écrits intermédiaires de la division. On écrit les soustractions intermédiaires, oui, non, on fait des « ponts », oui, non, quelle oralisation : « comment dire » ? … sens Deux sens différents pour les deux divisions : lune produit DEUX nombres (quotient entier ET reste) et lautre en produit UN (quotient, pas toujours « exact », en négligeant contextuellement le reste). Traitements des nombres obtenus : retour au sens. Importance du calcul mental pour « avoir une idée » du quotient, pour effectuer les calculs intermédiaires. Recherche dencadrements par des multiples consécutifs.

17 P. WIERUSZEWSKI17 Quelques compléments théoriques indispensables. DIVISION. Détermination du nombre de chiffres du quotient entier. Exemple : poser et effectuer à la main la division de 6487 par 58. Pas mal ! La CLE : la numération, comme toujours. Technique. En établissant la table de multiplication du diviseur par les puissances de dix, on obtient le nombre de chiffres du quotient. On y va. On le fait à la main, après cela va sautomatiser ! (i) 58 0 = 0, (ii) = 580, (iii) = 5800, (iv) = 58000, on continue (hyper-méga facile (pour une fois) : yaka quà « ajouter » des « 0 » !). On a alors lencadrement suivant : Cest-à-dire : , ce qui signifie que le quotient entier possède exactement trois chiffres, puisque le plus petit peut être 101et le plus grand 999. Note : en « poussant » cette technique, on termine alors la division !

18 P. WIERUSZEWSKI18 DIVISION. Suite. Le dividende est un nombre décimal et le diviseur est un nombre entier. Comment retomber sur une division avec des nombres entiers ? On applique, en acte, une propriété algébrique. Propriété Propriété. Si on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre, le quotient ne change pas. Puisque on la choix du nombre, autant prendre un nombre bien « sympathique » dans notre système de numération : 10, 100, 1000, … Exemple : poser et effectuer à la main la division de 140,08 par 17. Item redoutable (réussite exigible ou pas ?). On a : 140,08 17 = 1400,8 170 = On applique alors la technique de la diapositive précédente pour déterminer le nombre de chiffres du quotient, et on poursuit. …

19 P. WIERUSZEWSKI19 rupture(s)continuité(s) MULTIPLICATION de deux nombres décimaux : rupture(s) et continuité(s) avec la MULTIPLICATION de deux nombres entiers. professeur Vaste et énorme chantier pour le professeur. Pourquoi ? Rupture Raison 1. Rupture. Avec les nombres entiers, la MULTIPLICATION agrandit « toujours ». Par définition, le produit est plus grand que les deux facteurs, dans TOUS les cas. Elle modélise des ajouts répétés ou des ajouts réitérés. Exemples pendant lexposé Doù Question 1. Quen est-il avec les nombres décimaux ? Patatras : ça dépend des facteurs. Ah bon ! Aie, Aie, Aie. Exemples pendant lexposé. Continuité Raison 2. Continuité. Quelle filiation ! Bon daccord. On va donc sappuyer sur quelques faits numériques rigoureux. Doù Question 2. Lesquels ? Il y a en a essentiellement TROIS. (i)Ordre de grandeur du produit, en lien avec la numération. (ii)Valeur de quelques chiffres significatifs, en particulier le dernier chiffre de droite. Exemples pendant lexposé (iii)Utilisation de techniques opératoires valides ou qui fonctionnent bien. Exemples pendant lexposé.

20 P. WIERUSZEWSKI20 BILAN BILAN. Quelques principes pédagogiques. Technique Opératoire 1.Toute Technique Opératoire enseignée doit être robuste et avoir un avenir, dans la classe et ailleurs. légitimation sens 2.Elle doit toujours être accompagnée déléments de légitimation. Si possible, on doit la « désosser » (la justifier, la prouver, la démontrer, …) avec les élèves : cest la question du sens. Technique Opératoire 3.Toute Technique Opératoire doit contenir en elle-même des « moyens » dauto-contrôle. Technique Opérat Technique Opératoire 4.A toute Technique Opératoire officielle et publique, on peut lui associer une Technique Opératoire privée, mais efficace dans le même « domaine » de calcul. Technique Opératoire 5.Tout « enseignement-apprentissage dune Technique Opératoire se fait dans la durée. Elle nécessite des « gammes », en liaison avec la classe de problèmes pour laquelle elle est opérante.

21 P. WIERUSZEWSKI21 calcul Une petite incursion du côté du calcul, toute petite !!! Calcul AUTOMATISE et Calcul REFLECHI Sommes-nous vraiment au clair sur le calcul automatisé, le calcul réfléchi, le calcul rapide, et tout le vocabulaire « environnant » ? calcul automatisé 1) Le propre du « calcul automatisé » est de délaisser « lintuition » des nombres, de ne pas soccuper de lordre de grandeur. On travaille avec les CHIFFRES en mettant en œuvre un algorithme officiel et standard. On se laisse guider par la technique : on perd le contrôle de ce quon veut faire, mais on est certain dy arriver ! calcul réfléchicalcul raisonné calcul rapide 2) Par « calcul réfléchi », synonyme de calcul raisonné ou dans le temps de calcul rapide (qualificatif mal choisi), on entend choix dune stratégie de calcul, non nécessairement uniforme, on entend élaboration de procédures (privées), avec un contrôle du déroulement du calcul ; par opposition à rapidité dexécution. Par définition, le « calcul réfléchi » est le calcul qui fait appel aux propriétés des opérations et des nombres.

22 P. WIERUSZEWSKI22 Un tableau sur les « moyens » de calculs à disposition du professeur. ML PELTIER, conférence pédagogique à VENDOME, 2005.

23 P. WIERUSZEWSKI23 PROPORTIONNALITE règle de trois Et la PROPORTIONNALITE dans tout ça ; on y arrive. On va donc en parler de cette « règle de trois » qui semble si évidente pour beaucoup ! Test Test : le problème de Darcos. Sachant que 4 crayons valent 2,42 euros, combien coûtent 14 crayons ? Enoncé. Sachant que 4 crayons valent 2,42 euros, combien coûtent 14 crayons ? Consignes. Résoudre cet exercice, justifier la technique employée, proposer alors une autre technique de résolution et la justifier. Une lapalissade. proportionnalitéenseigner apprendre La proportionnalité : une « notion » difficile à enseigner, une « notion » difficile à apprendre. Pourquoi ?

24 P. WIERUSZEWSKI24 Le point sur la « règle de trois » (ainsi bien nommée). Utilisation de la langue : cette « règle » et ses dérivées sont parlées, voire mimées, tout autant quelles sont écrites. Le maître disait : « Que cherche-t-on, un prix, que sait-on sur les prix ? ». le retour à lunité Procédure 1 : « le retour à lunité ». fois moins fois plus On paie 2,42 pour 4 crayons. Donc pour 1 crayon, il en faut 4 fois moins, cest-à-dire 2,42 ÷ 4, soit 0,605. Pour 14 stylos, on paiera 14 fois plus, cest-à-dire 0,605 14, soit 8,47.

25 P. WIERUSZEWSKI25 la règle de trois Procédure 2 : « la règle de trois ». fois moins Elle diffère de la procédure 1 par la présentation et par lordre dans lequel les calculs sont conduits. On paie 2,42 pour 4 crayons. Donc pour 1 crayon, il en faut 4 fois moins, cest-à-dire 2,42 ÷ 4. On écrit alors un premier calcul intermédiaire : fois plus Pour 14 stylos, on paiera 14 fois plus. Doù le calcul terminal : On écrivait les calculs, puis on les effectuait. Enfin, la « pratique enseignante » a imposé une disposition fléchée dont tout le monde se souvient ! « Technique de calcul » (presque toujours) imposée par le maître ! Remarque. Pour la commodité des calculs, on simplifiait (si possible) la « fraction » avant, puis, on effectuait la multiplication en premier. « Technique de calcul » (presque toujours) imposée par le maître !

26 P. WIERUSZEWSKI26 On termine par des friandises. Le carrelage. Voici le plan dune chambre (rectangulaire) dont le sol doit être carrelé. Il a fallu trois heures pour poser les carreaux coloriés. Combien de temps faut-il pour terminer louvrage ? Revue Grand, « Points de Départ ».

27 P. WIERUSZEWSKI27 Le chocolat. Le chocolat. Cette tablette de chocolat pèse 200 g. On a besoin de 75 g pour réaliser une recette de cuisine. Quelle quantité doit-on prendre ?

28 P. WIERUSZEWSKI28 Pour aller plus loin : le puzzle de BROUSSEAU (le vrai !). Le puzzle ! Dispositif. Travail en groupes. Why ? Consigne. Chaque équipe reçoit un tel puzzle et doit en reconstruire un plus grand. Règles à respecter. (1) Un segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur celui à construire. (2) Chaque élève doit fabriquer une seule pièce du puzzle. Thats all folks for today, thank you !


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