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R é solution de probl è mes au cycle 1 Daprès une conférence de M. André JACQUART, professeur de mathématiques à l'IUFM de. Douai.

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1 R é solution de probl è mes au cycle 1 Daprès une conférence de M. André JACQUART, professeur de mathématiques à l'IUFM de. Douai

2 Le problème mathématique est posé par lenseignant(e). Ce problème doit devenir celui de lélève qui devra: Identifier la situation et le but à atteindre Accepter la tâche

3 Comment favoriser lappropriation de la tâche? Par le matériel qui impose le problème : Le matériel orienté impose le problème. Il oriente vers une situation précise (ici, la connaissance des formes, le problème est imposé). Le matériel ouvert permet lui toutes sortes de réalisations dempilements, de configurations… Matériel orientéMatériel ouvert

4 Par lexposition momentanée ou non du résultat attendu (ex: tour de magie) : Lélève découvre que des cubes ont été emboités parce quil sont « malheureusement tombés » Par lutilisation dexemples ou de contre exemples: Les élèves sont invités à observer et à réagir Par la formulation et la reformulation de la consigne par lélève: Le langage est essentiel même si le matériel impose le problème, cependant loral doit venir en consolidation et ne doit pas être le seul moyen par lequel on permet à lenfant didentifier la situation et la tâche.

5 Comment favoriser lacceptation de la tâche? Par lévidence du caractère fonctionnel de la tâche Par la dimension ludique de la situation et du matériel Par le recours à un mime ou un médiateur (marionnettes, livres,…) Par la mise en scène, la théâtralisation du problème

6 Une suite dactions ou dopérations est nécessaire pour atteindre ce but. Il faut pour cela quil y ait engagement de lenfant. Comment favoriser lengagement dans la résolution? Par lintérêt porté à lactivité de lenfant (même dans les ateliers en autonomie où lon passera quelques minutes à la fin pour observer et analyser les réalisations des enfants) Par les encouragements, Par une aide appropriée, Par la mise en valeur du défi à relever…En effet, lenseignement des mathématiques doit développer un esprit de recherche ; il sagit donc de faire des enfants des « petits chercheurs »…

7 La solution nest pas disponible demblée, mais est possible à construire. Avec ce matériel, on peut dans un premier temps, éliminer les pièces doubles, puis obstruer la face supérieure pour ne laisser apparaître que les faces latérales mais en ne donnant que des pièces simples avant donner les pièces doubles… Il est donc fondamental pour lenseignant de recenser le matériel dont il dispose et de réfléchir à son utilisation (non seulement son utilisation prévue par la notice mais également comment lutiliser pour travailler des concepts mathématiques). Comment favoriser la construction de réponses par tous? Il faut envisager une différenciation des activités par le jeu des variables didactiques

8 Pour mettre en place des situations, on peut sappuyer sur : Les situations fonctionnelles Les situations rituelles Les situations construites

9 Les situations fonctionnelles Elles naissent dun besoin réel qui émerge de la vie quotidienne et de certains projets : il faut apporter un crayon à chacun pour latelier, préparer un goûter pour chacun, fabriquer un jeu pour une autre classe, réaliser un élément de décoration… Ce sont de « vrais » problèmes, le but est précisé, facile à comprendre. Lacceptation et lengagement de lélève seront favorisés si les enfants perçoivent la réalité du problème. Néanmoins, ces problèmes peuvent être complexes (de par les compétences mises en jeu ou de lorganisation même de lactivité), leur gestion nest pas toujours aisée. Dautre part, il faut être vigilant à ce que mathématique et réalité ne doivent être ni lune ni lautre sacrifiées.

10 Les situations rituelles Elles se répètent régulièrement voire quotidiennement : dénombrement des présents et des absents,… Ce sont des « situations repères » mais elles ne sont pas suffisantes. Les situations rituelles ne constituent pas à elles seules lenseignement des mathématiques à lécole maternelle.

11 Les situations construites Ce sont les situations qui sappuient sur un jeu, un matériel, une « activité papier-crayon » Lenseignant a la maîtrise de ces situations. Il en fixe la nature, le moment, la forme et les variables. Cependant les problèmes ne sont pas toujours signifiants pour les enfants. La manipulation est fondamentale à lécole maternelle. « Les activités proposées doivent sappuyer sur un matériel riche et varié : objets « tout venant », jeux, supports fabriqués par lenseignant ou par les enfants… ». Extraits de « Vers les mathématiques – Quel travail en maternelle? »

12 Les situations construites (suite) « Les « activités papier-crayon » doivent avoir une place limitée… elles ne se justifient que si elles ont un lien avec un vécu (action effective, jeu..) quelles accompagnent ou quelles prolongent pour en garder une trace figurative ou symbolique… ». Extraits de « Vers les mathématiques – Quel travail en maternelle? » Les « activités papier-crayon » peuvent participer à lévaluation mais évaluer ainsi ce qui a été construit par la manipulation serait un détournement. On peut évaluer avec la manipulation.

13 A l é cole maternelle, on peut distinguer deux cat é gories de probl è mes : les probl è mes pour apprendre : on vise des connaissances les probl è mes pour chercher : on d é veloppe l esprit logique

14 Le Tangram - Si on donne à un élève ce personnage à refaire, il sagit dun problème pour apprendre. Les contours des pièces sont visibles. Lélève doit reconnaitre, différencier les pièces, les formes, repérer les différences de taille et les orientations. - Si on donne ce personnage à refaire, il sagit dun problème pour chercher. Il ne sagit plus seulement de reconnaitre les pièces ; les connaissances à disposition ne sont pas suffisantes. Lélève va essayer, peut se tromper et recommencer.

15 Utilisation des g é oplans : planches à trous La situation Utilisation d un seul bracelet é lastique pour d é limiter une forme et des perles de 3 couleurs (rouge à l int é rieur, vert à l ext é rieur, jaune sur le bracelet) - Si le but à atteindre est pour l é l è ve de positionner les perles correctement en respectant la consigne : « int é rieur, ext é rieur, sur », c est un probl è me pour apprendre.

16 - Si on positionne d abord les perles et que l on demande à l enfant o ù positionner le bracelet é lastique, il s agit d un probl è me pour chercher.

17 Quelles proc é dures de r é solution pour un probl è me de recherche? Proc é dure par essais et ajustements Il faut r é habiliter l id é e du tâtonnement (même si c est parfois long) … Les math é matiques, c est aussi tâtonner … L enseignant (ou l ATSEM) en faisant « à la place de l é l è ve » condamne la proc é dure par essai et ajustements. Par contre, Il faut inviter l é l è ve à prendre du recul, à r é fl é chir à ce qu il a fait, à verbaliser ce qu il a fait, à s int é resser aux proc é dures des autres, …

18 Proc é dures par induction ( à vraiment d é velopper à l é cole maternelle) On propose un d é but de r é alisation à l enfant ; il doit trouver comment ç a marche et doit poursuivre. L enfant doit d é couvrir la r è gle et la prolonger. Suite logique sur une grille tableau à double entr é e sans indiquer les entr é es But : Compléter ces grilles

19 Proc é dure par d é duction Jai caché une pièce semblable à lune de celles-ci … laquelle est- ce ? Est-ce un carré ? NON Est-il bleu ? NON Est-il jaune ? NON

20 R é soudre des probl è mes « pour chercher » à l é cole maternelle. Faire des math é matiques, ce n est pas seulement d é velopper des notions, c est aussi d é velopper une attitude de « petits chercheurs ». Voici quelques situations pour chercher :

21 a- Les jetons C est une situation pour chercher, l é l è ve ne dispose pas encore de la proc é dure experte pour r é soudre la situation ; cela ne l empêche pas de trouver la solution. SituationBut Variables didactiques Variables didactiques Une boîte rouge, une boîte bleue 12 jetons Distribuer les jetons de manière équitable dans les deux boîtes (situations de partage). Distribuer les jetons de manière équitable dans les deux boîtes (situations de partage). Placer les 12 jetons dans les deux boîtes mais il doit y avoir 2 jetons de plus dans la boîte rouge. Le nombre de jetons (les procédures dessais et dajustement seront plus difficiles à mettre en œuvre si le nombre est plus important) Le nombre de jetons (les procédures dessais et dajustement seront plus difficiles à mettre en œuvre si le nombre est plus important) Lécart entre les nombres de jetons (ex : 4 jetons de plus dans la boîte rouge) Lécart entre les nombres de jetons (ex : 4 jetons de plus dans la boîte rouge) La nature des boîtes (ex : au lieu de donner une simple boîte, proposer une boîte à compartiments pour faciliter le travail et la recherche) La nature des boîtes (ex : au lieu de donner une simple boîte, proposer une boîte à compartiments pour faciliter le travail et la recherche) Les dimensions de la boîte Les dimensions de la boîte

22 b- Les boites à œ ufs SituationBut Variables didactiques Variables didactiques Une boite à œuf et des jetons rouges et bleus Remplir la boîte (un jeton dans chacune des 12 alvéoles). Remplir la boîte (un jeton dans chacune des 12 alvéoles). Il doit y avoir 2 jetons rouges de plus que de jetons bleus. Il doit y avoir 2 jetons rouges de plus que de jetons bleus. Lécart entre les nombres de jetons. Lécart entre les nombres de jetons. Les « dimensions » de la boîte. Les « dimensions » de la boîte.

23 c- Tous diff é rents (ou rechercher tous les possibles) Les acromathsSituationBut Variables didactiques Variables didactiques Des acromaths : une seule taille, 3 couleurs. Des « tambours » : 3 couleurs. Trouver toutes les associations possibles : un acromath sur un tambour Trouver toutes les associations possibles : un acromath sur un tambour Le nombre de propriétés en jeu, Le nombre de propriétés en jeu, Les propriétés en jeu, Les propriétés en jeu, Le nombre de valeurs pour chaque propriété, Le nombre de valeurs pour chaque propriété, Les valeurs de chaque propriété. Les valeurs de chaque propriété.

24 Les disques Des disques de 3 tailles et de 3 couleursSituationBut Variables didactiques Variables didactiques Des acromaths : une seule taille, 3 couleurs. Des « tambours » : 3 couleurs. Rechercher tous les empilements (grand, moyen, petit) de 3 disques de 3 couleurs différentes. Rechercher tous les empilements (grand, moyen, petit) de 3 disques de 3 couleurs différentes. Nombre de disques Nombre de disques Nombre de couleurs Nombre de couleurs Au d é part, les enfants cr é ent librement des superpositions. Les solutions pourront ensuite être organis é es et mise en valeur. En effet, math é matiques et sens artistique ne sont pas oppos é s !

25 Les carr é s SituationBut Variables didactiques Variables didactiques Des carrés de 2 tailles et de 4 couleurs Rechercher toutes les associations (petit / grand) de 2 carrés. Rechercher toutes les associations (petit / grand) de 2 carrés. Nombre de carrés Nombre de carrés Nombre de couleurs Nombre de couleurs L à aussi, on fait des empilements à la recherche de toutes les solutions. Lorsque les 16 solutions ont é t é trouv é es, elles peuvent être organis é es dans une structure quadrill é e.

26 Les emporte-pi è ces SituationBut Variables didactiques Variables didactiques Des emporte-pièces, de la terre, de la peinture Fabriquer des pièces de formes différentes, de couleurs différentes (trouées ou non trouées…) pour fabriquer un jeu. Les enfants sont amenés à rechercher des formes différentes. Fabriquer des pièces de formes différentes, de couleurs différentes (trouées ou non trouées…) pour fabriquer un jeu. Les enfants sont amenés à rechercher des formes différentes. Nombre de formes différentes, Nombre de formes différentes, Nombre de critères Nombre de critères

27 SituationBut Variables didactiques Variables didactiques 3 cartes sur lesquelles sont déjà collées 1, 2, 3 étoiles 12 étoiles à coller Placer les 12 étoiles. Sur les 3 cartes il devra y avoir autant détoiles. Placer les 12 étoiles. Sur les 3 cartes il devra y avoir autant détoiles. Le nombre de cartes Le nombre de cartes Le nombre détoiles déjà collées sur chacune des cartes Le nombre détoiles déjà collées sur chacune des cartes Les écarts entre ces nombres Les écarts entre ces nombres Le nombre détoiles à placer Le nombre détoiles à placer d- La carte aux é toiles

28 e- Un de plus 3 bo î tes (petite, moyenne, grande). La moyenne a 1 jeton de plus que la petite. La grande a 1 jeton de plus que la moyenne. Situation à pr é senter au pr é alable : SituationBut Variables didactiques Variables didactiques 3 boîtes (petite, moyenne, grande) et 12 jetons La moyenne doit avoir 1 jeton de plus que la petite. La moyenne doit avoir 1 jeton de plus que la petite. La grande doit avoir 1 jeton de plus que la moyenne La grande doit avoir 1 jeton de plus que la moyenne Le nombre de jetons Le nombre de jetons Le nombre de boîtes Le nombre de boîtes

29 f- Devinez SituationBut Variables didactiques Variables didactiques 2 formes et 2 couleurs. Une carte est proposée aux enfants. Un codage indique quelle est la pièce à placer. Retrouver les formes (à laide des indications données) Retrouver les formes (à laide des indications données) Lordre dans lequel on donne les informations Lordre dans lequel on donne les informations Augmenter les critères Augmenter les critères Introduction de la notion de négation à partir de la première propriété Introduction de la notion de négation à partir de la première propriété ou

30 SituationBut Variables didactiques Variables didactiques Un ensemble bien défini de blocs logiques (ici, 3 formes 3 couleurs) mais on peut le faire, pour commencer, avec uniquement 2 formes et 2 couleurs (soit 4 blocs). Trouver le bloc logique choisi au préalable. Trouver le bloc logique choisi au préalable. le nombre de propriétés en jeu (donc le nombre de pièces) le nombre de propriétés en jeu (donc le nombre de pièces) le nombre de valeurs pour chacune des propriétés le nombre de valeurs pour chacune des propriétés g- Mastermind Lenfant a toutes les pièces disponibles au départ. Il les prend au fur et à mesure. Sil propose une pièce qui a une des propriétés commune avec celle qui a été choisie, on place un sourire ; sinon rien. Une trace du cheminement est conservée. Une réflexion peut être conduite sur les procédures mises en place durant la recherche.

31 h- Le parking SituationBut Variables didactiques Variables didactiques Des voitures « 2 passagers » et « 3 passagers » (au moins 4 de chaque) et 9 passagers à transporter Les 9 passagers doivent être dans les voitures. Les 9 passagers doivent être dans les voitures. Les voitures utilisées doivent être pleines : on peut mettre 2 passagers dans les bleues, 3 passagers dans les jaunes. Le nombre de passagers, Le nombre de passagers, Le nombre de passagers dans les voitures (lécart entre les 2 nombres). Le nombre de passagers dans les voitures (lécart entre les 2 nombres). Il y a plusieurs solutions. Il est important de les comparer, de les décrire,…

32 i- Les chemins quadrillés SituationBut Variables didactiques Variables didactiques Des réglettes de 10 longueurs différentes, à chaque longueur est associée une couleur. Le matériel sera détourné pour recouvrir un chemin quadrillé. Recouvrir un chemin avec des réglettes Recouvrir un chemin avec des réglettes Forme du chemin (surtout le nombre de changements de direction) Forme du chemin (surtout le nombre de changements de direction) Longueur des chemins Longueur des chemins Réglettes disponibles (leur nombre, leur couleur) Réglettes disponibles (leur nombre, leur couleur)

33 i- Les chemins quadrillés (suite) Situation 1Situation 2Situation 3 Toutes les réglettes (1 à 5) sont disponibles Les réglettes sont imposées Seules les réglettes 2, 4 et 5 sont disponibles

34 j- Quatre couleurs à combiner SituationBut Avec le matériel « véhicolor » Situation 1 : avoir 4 voiture de 4 mêmes couleurs Situation 2 : Avoir 4 voitures de 4 couleurs différentes. Avec la dinette : 4 assiettes, 4 verres, 4 fourchettes, 4 couteaux de 4 couleurs différentes Avoir 4 ensembles (1 ensemble =1 assiette, 1 verre, 1 fourchette, 1 couteau) de 4 couleurs. Avoir 4 ensembles (1 ensemble =1 assiette, 1 verre, 1 fourchette, 1 couteau) de 4 couleurs.

35 k- Grilles, jetons et nombresSituationBut Variables didactiques Variables didactiques Une grille et des jetons Trouver où mettre les jetons Trouver où mettre les jetons Les « dimensions » de la grille. Les « dimensions » de la grille. Activité préparatoire : Il faut que lélève comprenne comment fonctionne cette grille

36 l- Les pavages SituationBut Variables didactiques Variables didactiques Une grille 6x6 et des rectangles 3x2 Paver la grille avec des rectangles (la recouvrir sans trou ni recouvrement de pièces). Paver la grille avec des rectangles (la recouvrir sans trou ni recouvrement de pièces). La dimension de la grille (6x12, 6x8) La dimension de la grille (6x12, 6x8) La dimension des rectangles La dimension des rectangles

37 m- Les sudoku SituationBut Variables didactiques Variables didactiques Une grille, des jetons de couleur. Compléter la grille. Compléter la grille. Dans chaque ligne, dans chaque colonne, tous les jetons sont de couleurs différentes. Dans chaque ligne, dans chaque colonne, tous les jetons sont de couleurs différentes. La taille de la grille: 4X4, 5X5…? La taille de la grille: 4X4, 5X5…? Le nombre de jetons déjà placés, Le nombre de jetons déjà placés, La disposition initiale des jetons. La disposition initiale des jetons.


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