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Autour de la fonction exponentielle I. Les points du programme concernés II. Une introduction possible de la fonction exponentielle III. Quel champ dapplication.

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1 Autour de la fonction exponentielle I. Les points du programme concernés II. Une introduction possible de la fonction exponentielle III. Quel champ dapplication ?

2 I. Les points du programme Deux objectifs majeurs fédèrent les éléments du chapitre danalyse : - l'extension du champ des suites et des fonctions... - l'initiation au calcul intégral et à la problématique des équations différentielles...

3 Létude des suites et fonctions sera motivée par la résolution de problèmes : elle nest pas une fin en soi. Ceux-ci pourront être d'origine mathématique, physique, biologique, économique ou autre et amèneront à des recherches d'extremums, des comparaisons de fonctions, des résolutions graphiques d'équations ou d'inéquations,etc. On privilégiera les problèmes mettant en jeu des liens entre une fonction et sa dérivée première ou seconde. Souci dune formation cohérente pour les élèves : - un point dentrée commun à plusieurs disciplines - un développement spécifique à chacune

4 Étude de léquation f = k f. Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f=f et f(0) = 1. Relation fonctionnelle caractéristique. Introduction du nombre e. Notation e x. Extension du théorème pour l'équation f = k f. Contenus 1. Analyse Introduction de la fonction exponentielle

5 Létude de ce problème pourra être motivée par un ou deux exemples, dont celui de la radioactivité traité en physique, ou par la recherche des fonctions dérivables f telles que f(x+y)=f(x)f(y). On construira avec la méthode d'Euler introduite en première des représentations graphiques approchées de f dans le cas k = 1; on comparera divers tracés obtenus avec des pas de plus en plus petits. Lunicité sera démontrée ; lexistence sera admise dans un premier temps. Approximation affine, au voisinage de 0 de h e h. Modalités de mise en œuvre

6 Commentaires Le travail se fera très tôt dans lannée car il est central dans le programme de mathématiques et de physique. Il fournit un premier contact avec la notion déquation différentielle et montre comment étudier une fonction dont on ne connaît pas une formule explicite. La méthode dEuler fait apparaître une suite géométrique et donne lidée que lexponentielle est lanalogue continu de la notion de suite géométrique, ce que léquation fonctionnelle confirme.

7 Exemple de loi de probabilité continue: … loi de durée de vie sans vieillissement Application à la désintégration radioactive : loi exponentielle de désintégration des noyaux. Ce paragraphe est une application de ce qui aura été fait en début dannée sur lexponentielle et le calcul intégral Contenus Modalités de mise en œuvre Commentaires 3. Probabilités et statistique Lois de probabilité

8 II. Une introduction possible de la fonction exponentielle

9 Le problème physique : la radioactivité Lexpérience suggère que, si lon considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (cest-à-dire dont le nombre est de lordre du nombre dAvogadro, soit ), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps t à partir dun instant t, rapporté au nombre total de noyaux N(t) présents à linstant t et au temps dobservation t, est une constante caractéristique du noyau en question. On peut donc écrire : I. Lobservation du physicien

10 II. Question au mathématicien : existe-t-il une fonction qui fasse laffaire ? Un souvenir de première : On construira point par point un ou deux exemples dapproximation de courbe intégrale définie par : y' =g(t) et y(t 0 ) = y 0 en utilisant l'approximation f f'(a) t.

11 Cest loccasion dintroduire le passage de t à dt : passage un peu mystérieux au départ, mais qui prendra son sens au fur et à mesure de son utilisation. Cest important pour tous ces lycéens souvent déstabilisés durant les premiers cours de physique dans le supérieur ! Passage à reprendre dans les calculs daires, de volumes,...

12 ( on dit que lon résout une équation différentielle, notée indifféremment f =kf ou y =k y) Parmi les fonctions connues à ce stade détude, y en a- t-il dont la dérivée soit proportionnelle à la fonction ? Examinons le cas k = 1 Supposons quune telle solution existe, on peut alors essayer de la représenter avec la méthode d Euler. Recherche de fonctions vérifiant f = kf III. Le travail du mathématicien

13 (Remarque : Lien avec suites géométriques)

14 Problème de lexistence dune telle fonction ? - réaction élèves : bien sûr, je viens de la représenter ! Mais cette fonction vérifie-t-elle y = y ? Mis à part le cas des fonctions affines par morceaux, une représentation graphique ne suffit jamais pour définir une fonction. - réaction du non-mathématicien : Ce nest pas notre problème ! - la solution du mathématicien : Comment définir f(t) pour un réel t arbitraire ? Commençons avec t > 0.

15 Une manipulation sur tableur peut mettre les élèves sur la voie. On reprend la méthode d Euler en définissant h de façon à tomber sur t au bout d un nombre entier n d étapes : Le calcul de f(t) dépend donc du nombre de pas pour aller de 0 à t : comment y échapper ?

16 Lexistence de cette limite est difficile mais accessible aux élèves avec les deux suites adjacentes : (Cf. doc. daccompagnement, où lon prouve de façon élémentaire que ces suites sont adjacentes, puis que la fonction ainsi créée est dérivable.)

17 Le mieux sera peut-être dadmettre provisoirement lexistence dune telle fonction (on y reviendra après lintroduction de la fonction ln comme primitive de la fonction inverse) mais dénoncer très clairement le théorème : Il existe une fonction f dérivable sur R telle que f=f et f(0) = 1. Cette existence étant admise, il faut absolument présenter ici quelques propriétés de cette fonction notée au départ exp 1. exp(x) est non nul pour tout réel x. (considérer F(x)= exp x) exp(-x)… F = 0 donc F =1 ; de plus exp(-x) = 2. exp est unique. et plus généralement, pour tous réels a et, la fonction f définie pour tout réel x par f(x) = aexp( x) est lunique fonction dérivable sur R telle que f = f et f(0) = a.

18 3. exp transforme des sommes en produits et donc expx > 0 pour tout x Et plus généralement : Soit f une fonction dérivable sur R telle que f(0) = 1. Les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) Il existe une constante telle que f vérifie f = f ; (ii) Pour tous réels a et b : f(a+b) = f(a)f(b). Des fonctions caractérisées par une équation différentielle, mais aussi par une équation ou relation fonctionnelle ! 4. Notation e x (à laide de la relation fonctionnelle pour les exposants entiers, en posant exp(1) = e ).

19 IV. Retour au problème initial De N(t) = - N(t) on déduit donc la loi dévolution du nombre moyen de noyaux présents : N(t) = N(0) e - t La loi macroscopique de désintégration radioactive

20 III. Quels champs dapplication ?

21 1. La fonction exponentielle (et ses associées) : extension du terrain détude et de pratique des fonctions - avec ses aspects traditionnels (y compris les problèmes asymptotiques : ainsi en +, lexponentielle lemporte sur x n - avec un regard nouveau : celui de léquation différentielle et de la relation fonctionnelle, introduit tôt dans lannée…

22 2. Retour sur la loi macroscopique de désintégration radioactive (Pour le carbone ans ) (On peut repartir à 0 quand on veut !) - Pour toute valeur de t et t 0, on a aussi : N(t+ t 0 )= N(t 0 ) e - t N(t)= N(0) e - t

23 3. Que se passe-t-il à léchelle des noyaux ? Une loi microscopique de désintégration radioactive ? 1) Cette durée de vie est une quantité aléatoire, à valeurs dans +, donc à modéliser par une loi de probabilité P sur + (la même loi pour tous les noyaux dune même substance radioactive). Quelles hypothèses pour construire un modèle pour la durée de vie dun noyau ? les désintégrations des noyaux sont indépendantes les unes des autres. Pas dusure : un noyau se désintègre sans avoir vieilli.

24 Notons F(t) la probabilité P([0,t]) que la durée de vie dun noyau soit comprise entre 0 et t (ou de façon équivalente quun noyau se désintègre entre les instants 0 et t). Ne pas vieillir (hypothèse 3), cest avoir à tout âge la même probabilité de vivre encore s années : Cela sécrit : où It est lévénement le noyau nest pas désintégré à linstant t. Dans le cadre des lois continues de terminale, la fonction F sera associée à une fonction f continue et positive (ici sur +), telle

25 Oret De on déduit : soit En posant G(t)=1-F(t), cela donne G(t) - G(t+s) = G(t)(1 - G(s)) soit G(t+s)=G(t)G(s).

26 Comme G est dérivable et vérifie G(0)=1, il existe un réel a tel que G(t)=e at. F est bornée par 1, G aussi et on peut écrire a = -, où >0. Doù G(t) = e - t, F(t)=1- e - t et donc f(t)= e - t. La loi P, modélisant la durée de vie dun noyau qui meurt sans vieillir, est appelée loi exponentielle de paramètre On aboutit finalement à P([t,t+ s])= e - t (1-e - s ) = e - t P([0,s]).

27 En notant p la probabilité de désintégration en une unité de temps (càd p = P([0,1]) = 1-e - ), il vient P(]n,n+ 1]) = e - n (1-e - ) = (1-p) n p,. La durée de vie (entière) [ou la date (entière) de mort] dun noyau suit une loi géométrique. On retrouve une notion « marginale » familière en ES ; celle de « durée marginale » et on vérifie (1-p) n p F(n) F(n) = f(n) = e - n = (1-p) n p (1-p) n car e - 1- Complément (correspondant à une pratique des physiciens)

28 Une simulation facile (dans ce cas discret): On lance un dé toutes les secondes : par analogie avec le cas de la radioactivité, on dira que sil tombe sur 6, il se désintègre, et lon arrête. Labsence dusure (ou le non vieillissement) est ici très intuitive: sachant que le dé nest pas désintégré à la seconde n, la probabilité quil se désintègre à la seconde n+1 vaut toujours p=1/6 ; la probabilité quil se désintègre à la seconde n+1 est P(n+1)= (1-p) n p. On retrouve la loi de probabilité géométrique.

29 D où :N(0)-N(t) = N(0) (1-e - t ). soit N(t)=N(0) e - t On en déduit que :. 4. Lien entre les deux lois : retour au macroscopique. La loi de probabilité du nombre de noyaux qui se désintègrent entre les instants 0 et t, t fixé, est une loi binomiale B(n,p) avec n = N(0) et p = F(t)=1-e - t. Cette espérance peut aussi sécrire N(0)-N(t) (ici N(t) = nombre moyen de noyaux à linstant t = espérance du nombre de noyaux à linstant t) Lespérance (moyenne théorique) de cette loi est donnée par le produit np, soit ici nF(t) = N(0)(1-e - t ).

30 En guise de conclusion Un objet mathématique (lexponentielle) et un objet physique (la radioactivité)… qui traversent toute lannée. Un concept mathématique (équation différentielle) … à faire vivre toute lannée ; il enrichit le champ des questions à proposer aux élèves (Exemple : résoudre yy=a, plutôt que chercher la primitive de uu)

31 Des objets consistants et stimulants : Un travail disciplinaire appuyé sur une problématique interdisciplinaire : des concepts construits simultanément en math et en physique (et aussi en SVT, cf. doc.) Une attitude intellectuelle en phase avec les TPE - quil faut faire comprendre aux élèves, (malgré de réelles difficultés calculatoires… qui empêchent laisance face aux formules…) - qui invitent et aident à lassimilation de concepts nouveaux.

32 « Les mathématiques ont un triple but. Elles doivent fournir un instrument pour létude de la nature. Mais ce nest pas tout : elles ont un but philosophique et, jose le dire, un but esthétique. » Henri POINCARÉ


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