La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

EXPONENTIELLES FONCTIONS EXPONENTIELLES EN TERMINALE ST2S auteur : Philippe Angot (version adaptée)

Copies: 1
EXPONENTIELLES FONCTIONS EXPONENTIELLES EN TERMINALE ST2S auteur : Philippe Angot (version adaptée)

Présentations similaires


Présentation au sujet: "EXPONENTIELLES FONCTIONS EXPONENTIELLES EN TERMINALE ST2S auteur : Philippe Angot (version adaptée)"— Transcription de la présentation:

1 EXPONENTIELLES FONCTIONS EXPONENTIELLES EN TERMINALE ST2S auteur : Philippe Angot (version adaptée)

2 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES I - INTRODUCTION

3 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Certains problèmes, liés aux suites géométriques, ne peuvent pas être résolus à laide des suites géométriques …..

4 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES La population dun village diminue de 5% par an. Un agent de recensement passé dans le village le 15 janvier 2003 a compté 5230 habitants. Combien comptera-t-il dhabitants lorsquil repassera le 15 juin 2005 ? On a placé le 1 er janvier 2005 la somme de 1000 sur un livret rapportant 3,5% dintérêts (composés) par an. De quelle somme pourra-t-on disposer le 1 er mars 2008 ? Par exemple:

5 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Une interpolation linéaire est possible, mais elle donne dans la plupart des cas une approximation trop éloignée du résultat exact.

6 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Ici la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5 En rouge : les points représentant les valeurs des termes de dindices impairs calculés par interpolation linéaire à partir des termes de rangs pairs qui lencadrent. En noir: les points représentant les valeurs exactes des termes de la suite. Lerreur commise devient rapidement importante

7 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES II – CONSTRUCTION DUNE FONCTION EXPONENTIELLE

8 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Les fonctions exponentielles sont présentées comme le prolongement des suites géométriques de premier terme 1 et de raison q strictement positive La démarche est expérimentale. Elle consiste à compléter le nuage de points représentant les puissances entières dun réel strictement positif q

9 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Lalgorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie. Il sappuie sur les deux résultats suivants : Théorème 1: Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs dune suite arithmétique si et seulement si b est la moyenne arithmétique de a et de c (cest-à-dire )

10 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Lalgorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie. Il sappuie sur les deux résultats suivants : Théorème 2: Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs dune suite géométrique si et seulement si b est la moyenne géométrique de a et de c (cest-à-dire )

11 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Considérons 3 points « consécutifs » de la représentation graphique dune suite géométrique: -pour abscisse, la moyenne arithmétique des abscisses des deux points qui lentourent -pour ordonnée, la moyenne géométrique des ordonnées des deux points qui lentourent Le point « du milieu » admet : Illustration:

12 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Exemple: Construction de la fonction à partir de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5 Outils: tableur et grapheur

13 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 12345O ère étape: Points à abscisses entières

14 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 2 ème étape: Points à abscisses de la forme

15 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 2 ème étape: 12345O

16 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 3 ème étape: Points à abscisses de la forme et

17 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 3 ème étape: 12345O

18 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Sachant que, on peut compléter le graphique en partant de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison. On utilise le même processus dichotomique pour obtenir un nombre croissant de points

19 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES O On peut répéter le processus« à linfini » pour obtenir un nombre de plus en plus important de points

20 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES On peut répéter le processus« à linfini » pour obtenir un nombre de plus en plus important de points

21 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Cet ensemble de points suggère la courbe dune fonction. On admet que cette fonction existe et est unique Cest la fonction ou fonction exponentielle de base 1,5

22 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES III – PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

23 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Pour tout réel q strictement positif, la fonction exponentielle de base q est la fonction Les propriétés suivantes sont admises : Les fonctions sont définies et dérivables sur R. Pour tout réel x, est strictement positif. Pour tous réels x et y, Pour tout réel x,

24 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Remarques: Lexpression de la dérivée des fonctions exponentielles, lallure des courbes ainsi que leur comportement à linfini ne font pas partie des objectifs du programme. On constatera le sens de variation à partir détudes expérimentales. Létude du cas q = e nest pas au programme.


Télécharger ppt "EXPONENTIELLES FONCTIONS EXPONENTIELLES EN TERMINALE ST2S auteur : Philippe Angot (version adaptée)"

Présentations similaires


Annonces Google