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MATHÉMATIQUES SERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION

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1 MATHÉMATIQUES SERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION
Statistique et Probabilités Cliquez pour ajouter des notes

2 Statistique et probabilités
Des programmes identiques en 1ère et en Terminale pour toutes les spécialités. Introduction des probabilités en s’appuyant sur des simulations « Il s’agit d’éviter tout développement théorique et d’introduire la notion de probabilité, en s’appuyant sur les notions de fluctuation d’échantillonnage et de simulation abordées dans la partie statistique du programme de la classe de seconde pour souligner les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence d’un événement donné lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois. » La calculatrice et le tableur : des outils à privilégier « L’usage de la calculatrice ou d’un tableur permet d’enrichir le champ des épreuves aléatoires simulées. »

3 STATISTIQUE Niveau première
Étude de séries de données à une variable Histogrammes, diagrammes en boîte, diagrammes en secteurs ou en bâtons. Tendance centrale - moyenne ( notamment à partir de sous population) - médiane Dispersion : quartiles, déciles - intervalle interquartile,intervalle interdécile. - écart type Rédiger l’interprétation d’un résultat ou d’un graphique Tableaux croisés d’effectifs Étude fréquentielle, notion de fréquence de A sachant B

4 Caractéristiques de position et de dispersion
Moyenne + écart type (Sensibles aux valeurs extrêmes) ou Médiane + écart interquartile

5 Calcul de la médiane et des quartiles.
Dans un lycée, on a relevé les pointures de trois groupes d’élèves : Pour le groupe 1 : (15 élèves) 36_ 38_38_38_39_39_39_39_40_40_41_43_ 43_45_46 Pour le groupe 2 : (16 élèves) 35,5_36_36_36_37_37_37.5_38_38_38_38_39_41_41_42_42 Pour le groupe 3 : (16 élèves) 35,5_36_36_36_37_37_37.5_37,5_38_38_38_39_41_41_42_42 Médiane = 37,75 La médiane n’est pas toujours une valeur de la série. Les quartiles sont des valeurs de la série.

6 Le troisième quartile est la 12ème valeur
Exemple de calcul de Q3: Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75% des données y soient inférieures ou égales 0,75×15 = 11,25 Le troisième quartile est la 12ème valeur Q3 = 43

7 Comparons ces valeurs à celles données par la calculatrice et celles trouvées sur tableur:
35, Calcul à la main Avec la calculatrice Avec un tableur Quartile 1 36 36,5 Médiane 38 Quartile 3 39 40 39,5

8 Diagrammes en boîtes calculatrice site académique Euler (n°63) tableur
Série 1 Série 2 35, min Q1 me Q max

9 Moyenne et écart type sont sensibles aux valeurs extrêmes
Tableau des salaires en euro des employés d’une entreprise au A 898,93 F 1474,16 K 1665,49 Q V 1 303,36 B 1883,54 G 1295,06 L R 1 303,66 W 2 057,93 C 2 295,9 H 827,93 M S 1 491,54 X D I 1146,08 N 947,2 T Y 1 200,51 E 1099,44 J 1303,75 P 4 106,25 U 1 007,13 Z Le salaire médian : 1 200,51 € écart interquartile : 574,9 € le salaire moyen : 1 360,18 € s = 678,96 € si on ne tient pas compte des salaires extrêmes : Le salaire médian : 1200,51 € écart interquartile : € le salaire moyen = 1263,92 € s = 389,39 € la moyenne et l’écart type sont sensibles aux valeurs extrêmes

10 Tableaux croisés d’effectifs - Etude fréquentielle
Répartition des familles (en milliers) selon l’âge de la femme En bleu les marges. Effectifs  Familles traditionnelles monoparentales recomposées. Total Moins de 30ans 712 197 92 1 001 De 30 à 39 ans 2 460 558 326 3 344 De 40 à 49 ans 656 255 3 371 Plus de 50 ans 842 229 35 1 106 6 474 1 640 708 8 822

11 / 8 822 soit 8% Fréquence conjointe : 712 197 92 1 001 2 460 558 326
Fréquence des familles monoparentales où la femme a un âge compris entre 40 et 49 ans Familles traditionnelles monoparentales recomposées Total Moins de 30 ans 712 197 92 1 001 De 30 à 39 ans 2 460 558 326 3 344 De 40 à 49 ans 2 46O 656 255 3 371 Plus de 50 ans 842 229 35 1 106 6 474 1 640 708 8 822 / soit 8% Les familles monoparentales où la femme a un âge compris entre 40 et 49 ans représentent 8% des familles.

12 Tableau des fréquences conjointes
Familles traditionnelles monoparentales recomposées. Total Moins de 30 ans De 30 à 39 ans De 40 à 49 ans 8 Plus de 50 ans 100

13 Fréquences marginales
Exemple : fréquence des familles monoparentales Familles traditionnelles monoparentales recomposées Total Moins de 30 ans 712 197 92 1 001 De 30 à 39 ans 2 460 558 326 3 344 De 40 à 49 ans 656 255 3 371 Plus de 50 ans 842 229 35 1 106 6 474 1 640 708 8 822 1 640 / = 0,186 soit 18,6% Les familles monoparentales représentent 18,6% des familles

14 Fréquences conditionnelles
La fréquence des femmes de moins de 30 ans parmi les familles traditionnelles : Familles Traditionnelles Monoparentales Recomposées Total Moins de 30 ans A 712 197 92 1 001 De 30 à 39 ans 2 460 558 326 3 344 De 40 à 49 ans 656 255 3 371 Plus de 50 ans 842 229 35 1 106 6 474 1 640 708 8 822 fT (A) = 712 / soit 11% Dans les familles traditionnelles 11 % des femmes ont moins de 30 ans

15 Tableau des fréquences conditionnelles par colonnes
l’ordre des fréquences conjointes n’est pas le même que celui des fréquences conditionnelles Les familles où la femme a moins de 30 ans sont plus nombreuses chez les familles traditionnelles que chez les familles monoparentales pourtant la proportion des familles où la femme a moins de 30 ans est plus petite chez les traditionnelles . : Familles traditionnelles Familles monoparentales Familles recomposées Moins de 30 ans 11% 12% 13% De 30 à 39 ans 38% 34% 46% De 40 à 49 ans 40% 36% Plus de 50 ans 14% 5% Total 100%

16 Niveau terminale Nuage de points, point moyen. Ajustement affine réalisé : - soit par une méthode graphique - soit par la méthode des moindres carrés à l’aide de la calculatrice ou du tableur Séries chronologiques

17 Utilisation d’un tableur (voir fichier dte_mayer.xls)
Comparaison des droites obtenues par la méthode des moindres carrés et par la méthode de Mayer. Utilisation d’un tableur (voir fichier dte_mayer.xls)

18 Droite d’ajustement : méthode des moindres carrés
un nuage de points Mi (xi ; yi ) et une droite D d’équation y = ax +b Pi (xi ; axi + b) le point de D de même abscisse xi que le point Mi M1 M2 M3 M4 M5 M6 P1 P2 P3 P4 P5 P6 La droite d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est celle qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées yi et celles du modèle : axi + b , soit la quantité: Σ MiPi²

19 MATHÉMATIQUES SERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION
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20 Probabilités En Première :
Épreuves, événements élémentaires ou issues, univers, répartition de probabilité. Connaître les symboles ,  et la notation pour l’événement contraire. Calculer la probabilité d’événements : Faire le lien avec les propriétés des fréquences. Expérimentation et simulation : Comparer une fréquence observée à une probabilité théorique. Dans des situations élémentaires, reconnaître et réinvestir des situations de probabilités issues de différents types de tirages aléatoires.

21 Introduire la notion de probabilité en 1ère STG
« Pour étudier une épreuve aléatoire, on a besoin d'un modèle, qui précise d'une part les issues (on les suppose ici en nombre fini), d'autre part la distribution de probabilité entre ces issues. » Daniel Schwartz, « Le Jeu de la science et du hasard, La statistique et le vivant » chez Flammarion En 1ère STG, il s’agit d’un premier contact avec les probabilités. Cette partie du programme doit constituer un moment important de la formation en classe de première et il est nécessaire que les élèves disposent d’un temps suffisant pour se familiariser avec cette introduction aux probabilités.

22 Introduire la notion de probabilité en 1ère STG
 Introduction de la notion de probabilité par une approche statistique simulée.  Validation d’un modèle par la confrontation avec une simulation.  Dans la continuité du travail effectué en 2nde, intervient alors : - la notion de fluctuation d’échantillonnage, - l’analyse des trois approches d’un problème : « Réaliser l’expérience », « Utiliser un modèle mathématique », « Simuler l’expérience », - la relative stabilité des fréquences lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois.

23 Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples
A propos de « pile ou face » 1. Approche théorique On peut considérer qu'une pièce est parfaite si les deux résultats « pile » et « face » sont équiprobables. On a alors une chance sur deux d'obtenir « pile » et une chance sur deux d'obtenir « face ». 2. Contrôle statistique Simulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un tableur. Pile – Face (voir fichier pf.xls)

24 Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples
A propos de dés L’expérience consiste à lancer deux dés « équilibrés » et à considérer la somme des deux faces supérieures. Estimer le nombre de chances de gagner suivant des règles fixées. 1. Approche théorique Introduction d’arbres ou de tableaux Définition d’une loi de probabilité

25 Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples
Somme obtenue D’après le tableau ci-dessus ou l’arbre, il se conçoit que « la somme 7 » ait « 6 chances sur 36 » d’être obtenue.

26 Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples
2. Contrôle statistique Simulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un tableur. 3. Probabilité d’évènements Règle du jeu : « Le joueur gagne si la somme obtenue est un multiple de 3 » Quelle est la probabilité que le joueur gagne ? La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses issues. Somme de deux dés (voir fichier somme.xls)

27 Probabilités En Terminale :
Conditionnement, probabilité, sachant B, de A : Déterminer P(AB) connaissant PB(A) et P(B). Déterminer PB(A) dans des cas simples : expériences aléatoires définies à partir de tableaux croisés d’effectifs, cas de deux tirages successifs. Utiliser les tableaux et les arbres de probabilité pour calculer des probabilités et résoudre des problèmes. Indépendance de deux événements : Caractériser l’indépendance par chacune des égalités : Démontrer ou utiliser l’indépendance de deux événements.

28 Approche de la notion de probabilité conditionnelle
Le personnel d’une entreprise est composé d’hommes et de femmes qui sont cadres ou ouvriers. Fréquences conjointes Cadres Ouvriers Total Femmes 0,10 0,30 0,40 Hommes 0,20 0,60 0,70 1 Peut-on calculer les fréquences conditionnelles ?

29 Fréquences conditionnelles Cadres Ouvriers Total Femmes 0,25 0,75 1
Hommes 0,33 0,67 0,30 0,70 Fréquences conditionnelles Cadres Ouvriers Total Femmes 0,33 0,43 0,40 Hommes 0,67 0,57 0,60 1 25% des femmes et 33% des hommes sont cadres 33% des cadres et 43% des ouvriers sont des femmes

30 On dispose d’un tableau de fréquences conditionnelles.
Peut-on calculer les fréquences conjointes ? Fréquences conditionnelles Cadres Ouvriers Total Femmes 0,25 0,125 0,15 Hommes 0,75 0,875 0,85 1 Fréquences conjointes Cadres Ouvriers Total Femmes 0,25.x 0,125.(1  x) 0,15 Hommes 0,75.x 0,875 .(1  x) 0,85 x 1  x 1,00 0,15 =0,25.x + 0,125.(1x) 0,125x = 0,025 x = 0,2

31 Fréquences conjointes
x = 0,2 Fréquences conjointes Cadres Ouvriers Total Femmes 0,25.x =0,05 0,125.(1  x) =0,1 0,15 Hommes 0,75.x =0,15 0,875 .(1  x) =0,7 0,85 x = 0,2 1  x = 0,8 1,00

32 fC(F)=f(F)  f(F et C) = f(F)f(C)
Fréquences conjointes Cadres Ouvriers Total Femmes 0,030 0,120 0,150 Hommes 0,170 0,680 0,850 0,200 0,800 1 Fréquences conditionnelles Cadres Ouvriers Total Femmes 0,150 Hommes 0,850 1 fC(F)=f(F)  f(F et C) = f(F)f(C)

33 Effet de structure Dans un même lycée : Taille moyenne Classe A
Taille moyenne Effectif Garçons 1,75 12 Filles 1,68 28 Total 40 Classe B Taille moyenne Effectif Garçons 1,73 32 Filles 1,66 8 Total 40 1,70 1,72 Taille moyenne

34 Effet de structure Dans un même lycée : Classe A Taille moyenne
Taille moyenne Effectif Garçons 1,75 12 Filles 1,68 28 Total 40 Classe B Taille moyenne Fréquence Garçons 1,73 t Filles 1,66 1 t Total 1,72 1 1,70 Taille moyenne


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