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MATHÉMATIQUES SERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION Statistique et Probabilités.

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1 MATHÉMATIQUES SERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION Statistique et Probabilités

2 Statistique et probabilités Des programmes identiques en 1 ère et en Terminale pour toutes les spécialités Des programmes identiques en 1 ère et en Terminale pour toutes les spécialités. Introduction des probabilités en sappuyant sur des simulations Introduction des probabilités en sappuyant sur des simulations « Il sagit déviter tout développement théorique et dintroduire la notion de probabilité, en sappuyant sur les notions de fluctuation déchantillonnage et de simulation abordées dans la partie statistique du programme de la classe de seconde pour souligner les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence dun événement donné lorsque lexpérience est répétée un grand nombre de fois. » La calculatrice et le tableur La calculatrice et le tableur : des outils à privilégier « Lusage de la calculatrice ou dun tableur permet denrichir le champ des épreuves aléatoires simulées. »

3 STATISTIQUE Niveau première Étude de séries de données à une variable Histogrammes, diagrammes en boîte, diagrammes en secteurs ou en bâtons. Tendance centrale - moyenne ( notamment à partir de sous population) - médiane Dispersion : - quartiles, déciles - intervalle interquartile,intervalle interdécile. - écart type Rédiger linterprétation dun résultat ou dun graphique Tableaux croisés deffectifs Étude fréquentielle, notion de fréquence de A sachant B

4 Caractéristiques de position et de dispersion Moyenne + écart type (Sensibles aux valeurs extrêmes) ou Médiane + écart interquartile

5 Dans un lycée, on a relevé les pointures de trois groupes délèves : Pour le groupe 1 : (15 élèves) _ 38 _ 38 _ 38 _ 39 _ 39 _ 39 _ 39 _ 40 _ 40 _ 41 _ 43 _ 43 _ 45 _ 46 Pour le groupe 2 : (16 élèves) ,5 _ 36 _ 36 _ 36 _ 37 _ 37 _ 37.5 _ 38 _ 38 _ 38 _ 38 _ 39 _ 41 _ 41 _ 42 _ 42 La médiane nest pas toujours une valeur de la série. Les quartiles sont des valeurs de la série. Calcul de la médiane et des quartiles Calcul de la médiane et des quartiles. Pour le groupe 3 : (16 élèves) ,5_36_36_36_37_37_37.5_37,5_38_38_38_39_41_41_42_42 Médiane37,75 Médiane = 37,75

6 Exemple de calcul de Q3 Exemple de calcul de Q3: Q3 est la plus petite valeur de la série telle quau moins 75% des données y soient inférieures ou égales ,75×15 = 11,25 Le troisième quartile est la 12ème valeur Q3 = 43

7 Calcul à la main Avec la calculatrice Avec un tableur Quartile 13636,5 Médiane38 Quartile ,5 Comparons ces valeurs à celles données par la calculatrice et celles trouvées sur tableur: 35,

8 Diagrammes en boîtes calculatrice site académique Euler (n°63) tableur 35, min Q1 me Q3 max Série 1 Série 2

9 Moyenne et écart type sont sensibles aux valeurs extrêmes Tableau des salaires en euro des employés dune entreprise au A898,93F1474,16K1665,49Q898,93V1 303,36 B1883,54G1295,06L898,93R1 303,66W2 057,93 C2 295,9H827,93M898,93S1 491,54X898,93 D I1146,08N947,2T898,93Y1 200,51 E1099,44J1303,75P4 106,25U1 007,13Z1 303,36 Le salaire médian : 1 200,51 écart interquartile : 574,9 le salaire moyen : 1 360,18 s = 678,96 si on ne tient pas compte des salaires extrêmes : Le salaire médian : 1200,51 écart interquartile : le salaire moyen = 1263,92 s = 389,39 la moyenne et lécart type sont sensibles aux valeurs extrêmes

10 Tableaux croisés deffectifs - Etude fréquentielle Effectifs Familles traditionnelles Familles monoparentales Familles recomposées. Total Moins de 30ans De 30 à 39 ans De 40 à 49 ans Plus de 50 ans Total Répartition des familles (en milliers) selon lâge de la femme En bleu les marges.

11 Fréquence conjointe : Fréquence des familles monoparentales où la femme a un âge compris entre 40 et 49 ans Familles traditionnelles Familles monoparentales Familles recomposées Total Moins de 30 ans De 30 à 39 ans De 40 à 49 ans 2 46O Plus de 50 ans Total / soit 8% Les familles monoparentales où la femme a un âge compris entre 40 et 49 ans représentent 8% des familles.

12 Tableau des fréquences conjointes Familles traditionnelles Familles monoparentales Familles recomposées. Total Moins de 30 ans De 30 à 39 ans De 40 à 49 ans 8 Plus de 50 ans Total 100

13 Fréquences marginales Familles traditionnelles Familles monoparentales Familles recomposées Total Moins de 30 ans De 30 à 39 ans De 40 à 49 ans Plus de 50 ans Total Exemple : fréquence des familles monoparentales / = 0,186 soit 18,6% Les familles monoparentales représentent 18,6% des familles

14 Fréquences conditionnelles Dans les familles traditionnelles 11 % des femmes ont moins de 30 ans Familles Traditionnelles Familles Monoparentales Familles Recomposées Total Moins de 30 ans A De 30 à 39 ans De 40 à 49 ans Plus de 50 ans Total La fréquence des femmes de moins de 30 ans parmi les familles traditionnelles : f T (A) = 712 / soit 11%

15 Tableau des fréquences conditionnelles par colonnes Familles traditionnelles Familles monoparentales Familles recomposées Moins de 30 ans11%12%13% De 30 à 39 ans38%34%46% De 40 à 49 ans38%40%36% Plus de 50 ans13%14%5% Total100% lordre des fréquences conjointes nest pas le même que celui des fréquences conditionnelles : Les familles où la femme a moins de 30 ans sont plus nombreuses chez les familles traditionnelles que chez les familles monoparentales pourtant la proportion des familles où la femme a moins de 30 ans est plus petite chez les traditionnelles.

16 Niveau terminale Nuage de points, point moyen. Ajustement affine réalisé : - soit par une méthode graphique - soit par la méthode des moindres carrés à laide de la calculatrice ou du tableur Séries chronologiques

17 Comparaison des droites obtenues par la méthode des moindres carrés et par la méthode de Mayer. Utilisation dun tableur (voir fichier dte_mayer.xls)

18 M1M1 M2M2 M3M3 M4M4 M5M5 M6M6 P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 P6P6 Droite dajustement : méthode des moindres carrés un nuage de points M i (x i ; y i ) et une droite D déquation y = ax +b P i (x i ; ax i + b) le point de D de même abscisse x i que le point M i La droite dajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est celle qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées y i et celles du modèle : ax i + b, soit la quantité: Σ M i P i ²

19 MATHÉMATIQUES SERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION Probabilités

20 Probabilités Expérimentation et simulation : Comparer une fréquence observée à une probabilité théorique. Dans des situations élémentaires, reconnaître et réinvestir des situations de probabilités issues de différents types de tirages aléatoires. En Première En Première : Épreuves, événements élémentaires ou issues, univers, répartition de probabilité. Connaître les symboles, et la notation pour lévénement contraire. Calculer la probabilité dévénements : Faire le lien avec les propriétés des fréquences.

21 Introduire la notion de probabilité en 1 ère STG « Pour étudier une épreuve aléatoire, on a besoin d'un modèle, qui précise d'une part les issues (on les suppose ici en nombre fini), d'autre part la distribution de probabilité entre ces issues. » Daniel Schwartz, « Le Jeu de la science et du hasard, La statistique et le vivant » chez Flammarion En 1 ère STG, il sagit dun premier contact avec les probabilités. Cette partie du programme doit constituer un moment important de la formation en classe de première et il est nécessaire que les élèves disposent dun temps suffisant pour se familiariser avec cette introduction aux probabilités.

22 Introduire Introduire la notion de probabilité en 1ère STG Introduction de la notion de probabilité par une approche statistique simulée. Validation dun modèle par la confrontation avec une simulation. Dans la continuité du travail effectué en 2nde, intervient alors : - la notion de fluctuation déchantillonnage, - lanalyse des trois approches dun problème : « Réaliser lexpérience », « Utiliser un modèle mathématique », « Simuler lexpérience », - la relative stabilité des fréquences lorsque lexpérience est répétée un grand nombre de fois.

23 Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples A propos de « pile ou face » Approche théorique 1. Approche théorique On peut considérer qu'une pièce est parfaite si les deux résultats « pile » et « face » sont équiprobables. On a alors une chance sur deux d'obtenir « pile » et une chance sur deux d'obtenir « face ». Contrôle statistique 2. Contrôle statistique Simulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un tableur. Pile – Face (voir fichier pf.xls)

24 Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples A propos de dés Lexpérience consiste à lancer deux dés « équilibrés » et à considérer la somme des deux faces supérieures. Estimer le nombre de chances de gagner suivant des règles fixées. 1. Approche théorique Introduction darbres ou de tableaux Définition dune loi de probabilité

25 Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples Somme obtenue Daprès le tableau ci-dessus ou larbre, il se conçoit que « la somme 7 » ait « 6 chances sur 36 » dêtre obtenue.

26 Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples Contrôle statistique 2. Contrôle statistique Simulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un tableur. Probabilité dévènements 3. Probabilité dévènements Règle du jeu : « Le joueur gagne si la somme obtenue est un multiple de 3 » Quelle est la probabilité que le joueur gagne ? Somme de deux dés (voir fichier somme.xls) La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses issues.

27 Conditionnement, probabilité, sachant B, de A : Déterminer P(AB) connaissant P B (A) et P(B). Probabilités Indépendance de deux événements : Caractériser lindépendance par chacune des égalités : Démontrer ou utiliser lindépendance de deux événements. En Terminale : Utiliser les tableaux et les arbres de probabilité pour calculer des probabilités et résoudre des problèmes. Déterminer P B (A) dans des cas simples : expériences aléatoires définies à partir de tableaux croisés deffectifs, cas de deux tirages successifs.

28 Le personnel dune entreprise est composé dhommes et de femmes qui sont cadres ou ouvriers. Approche de la notion de probabilité conditionnelle Fréquences conjointes CadresOuvriersTotal Femmes0,100,300,40 Hommes0,200,400,60 Total0,300,701 Peut-on calculer les fréquences conditionnelles ?

29 Fréquences conditionnelles CadresOuvriersTotal Femmes0,250,751 Hommes0,330,671 Total0,300,701 Fréquences conditionnelles CadresOuvriersTotal Femmes0,330,430,40 Hommes0,670,570,60 Total111 25% des femmes et 33% des hommes sont cadres 33% des cadres et 43% des ouvriers sont des femmes

30 On dispose dun tableau de fréquences conditionnelles. Peut-on calculer les fréquences conjointes ? 0,15 =0,25.x + 0,125.(1x) 0,125x = 0,025 x = 0,2 Fréquences conditionnelles CadresOuvriersTotal Femmes0,250,1250,15 Hommes0,750,8750,85 Total111 Fréquences conjointes CadresOuvriersTotal Femmes0,25.x 0,125.(1 x) 0,15 Hommes0,75.x 0,875.(1 x) 0,85 Totalx 1 x 1,00

31 x = 0,2 Fréquences conjointes CadresOuvriersTotal Femmes 0,25.x =0,05 0,125.(1 x) =0,1 0,15 Hommes 0,75.x =0,15 0,875.(1 x) =0,7 0,85 Totalx = 0,2 1 x = 0,8 1,00

32 Fréquences conjointes CadresOuvriersTotal Femmes0,0300,1200,150 Hommes0,1700,6800,850 Total0,2000,8001 Fréquences conditionnelles CadresOuvriersTotal Femmes0,150 Hommes0,850 Total111 f C (F)=f(F) f(F et C) = f(F)f(C)

33 Effet de structure Dans un même lycée : Classe A Taille moyenne Effectif Garçons1,7512 Filles1,6828 Total40 Classe B Taille moyenne Effectif Garçons1,7332 Filles1,668 Total40 Taille moyenne 1,70 1,72

34 Effet de structure Dans un même lycée : Classe A Taille moyenne Effectif Garçons1,7512 Filles1,6828 Total40 Classe B Taille moyenne Fréquence Garçons1,73t Filles1,66 1 t Total1,721 Taille moyenne 1,70


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