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Marie-Françoise BOURDEAU Jeanne-Marie DUMAS Autour des nombres en première L(option) et en terminale L (spécialité) Autour des nombres en première L(option)

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1 Marie-Françoise BOURDEAU Jeanne-Marie DUMAS Autour des nombres en première L(option) et en terminale L (spécialité) Autour des nombres en première L(option) et en terminale L (spécialité)

2 Écritures des nombres Arithmétique Dénombrement

3 Écritures des entiers naturels Écriture décimale des réels

4 Écritures des entiers naturels ( en 1ère L)

5 de 3000 à 2900 av. J-C. Apparition de la numération hiéroglyphique en Egypte 1900 à 1600 av. J-C. Premier système de numération de position chez les babyloniens (base 60 ) IIIe siècle av. J-C. Invention du zéro par les Babyloniens IVe/Ve siècle. Numération de position à base dix et apparition du zéro en Inde IXe siècle.Introduction du zéro en Espagne par les arabes XIIe siècle. Introduction du zéro en Europe occidentale. Les chiffres arabes sy stabilisent graphiquement pour donner naissance à la forme qu'ils ont actuellement Repères chronologiques

6 Les deux grands types de numération La numération de type additif (numération égyptienne, romaine...) La numération de position

7 La numération égyptienne Le système hiéroglyphique. Système additif non positionnel de base 10

8 19 X 23 = ( ) X 23 Le principe de base est la duplication 1 (1)23 2 (1) (0)92 8 (0) (1) = 437 Multiplication égyptienne

9 Multiplication égyptienne variante = 6 24 = 3 48 = (2 + 1) 48 =

10 Numération romaine 7 symboles une barre pour multiplier par mille Formation des nombres Par addition IIIVIXXVIIII Par soustraction IVIXCM

11 720 62

12 Le système décimal fait appel à deux principes fondamentaux que l'on retrouve dans toutes les bases de calcul. Le premier principe fondamental est le principe de position Le deuxième principe fondamental est le principe du zéro. Système décimal et autres bases

13 Numération à base quelconque

14 Pour écrire un nombre N en base b, on calcule le quotient q et le reste r de la division euclidienne de N par b puis le quotient et le reste de la division euclidienne de q par b, etc (475) base10 sécrit (1246) base 7 Disposition pratique

15 Algorithme du passage de la base 10 à la base b (b < 10)

16 Avec un tableur Pour une base b inférieure à 10 et N entier compris entre 0 et 2 ^41

17 La base 10 a été adoptée quasi universellement. Mais il reste néanmoins des exemples historiques et des traces d'utilisation d'autres bases.... base 5 base 12 base 20 base 60 Les bases 2, 8, 16 sont utilisées en informatique

18 Écriture décimale des nombres réels (en Terminale) Écriture décimale dun quotient dentiers Caractérisation dun nombre rationnel

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20 Écriture décimale dun réel positif

21 Écriture décimale dun quotient dentiers naturels Elle est obtenue à laide dun algorithme utilisant des divisions euclidiennes successives (voir fichier quotient.doc) Un tableur apporte ensuite le calcul des décimales successives (voir fichier decimales.xls)

22 Périodicité de lécriture décimale dun quotient dentiers

23 Réciproquement : Un nombre dont le développement décimal est périodique à partir dun certain rang est celui dun quotient de deux entiers (voir fichier fraction.doc)

24 Les nombres rationnels sont les nombres dont le développement décimal est périodique à partir dun certain rang Les nombres irrationnels sont les nombres dont le développement décimal nest pas périodique à partir dun certain rang

25 Arithmétique en première Nombres premiers Recherche des diviseurs dun naturel Diviseurs communs à deux naturels

26 THEOREMES Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet au moins un diviseur premier. Tout entier naturel composé admet au moins un diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée. Tout nombre naturel qui nadmet pas de diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée est un nombre premier Application : Crible dÉratosthène

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30 PGDD(a;b) Cest le dernier reste non nul dans (voir fichier euclide.xls)

31 Arithmétique en terminale Initiation au raisonnement par récurrence Division euclidienne dans N Multiples dun naturel dans Z Congruence dans Z compatibilité avec les opérations applications aux clés de contrôle critères de divisibilité par 3, 4, 9, 11.

32 Le raisonnement par récurrence

33 Congruence et division euclidienne Soient a et b deux relatifs et n un naturel. Il est équivalent de dire: a est congru à b modulo n a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n

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35 Dénombrement Le triangle de Pascal. O R K L Une approche possible : Les chemins sur quadrillage.

36 Triangle de Pascal

37 Lien entre le nombre de parties dun ensemble et le nombre de chemins sur un quadrillage O R E = {a ; b ; c ; d ; e} Le chemin jaune allant de O à R est associé au sous-ensemble {a ; c ; d}. A chaque chemin composé de 5 déplacements, dont trois horizontaux, on associe un unique sous-ensemble de E à trois éléments et réciproquement.

38 On note le nombre de parties à p éléments dun ensemble à n éléments. Cest aussi le nombre de chemins allant de O à M(p; n – p)

39 Propriétés des combinaisons et chemins sur quadrillage O UV T p n - p

40 Propriétés des combinaisons et chemins sur quadrillage O A B Il y a autant de chemins allant de O vers A que de chemins allant de O vers B donc On peut étendre cette propriété à un trajet composé de n déplacements dont p déplacements vers le haut

41 Formule du binôme et chemins sur quadrillage O a b a b a² b² ab + ba (a + b) 3 = aaa+aab+aba+baa+bba+bab+abb+bbb 3ab²

42 Calcul des Seule lutilisation de la formule pour des valeurs numériques données de p est exigible, lexpression à laide des factorielles ne lest pas. Cette formule peut résulter de la relation

43 Nombre de sous-ensembles dun ensemble Outre lutilisation de la formule du binôme, on peut également exploiter le texte de Pascal sur le triangle arithmétique. Le raisonnement de Pascal est le suivant Partant de la propriété Il en déduit que la somme des coefficients dune même ligne est le double de la somme des coefficients de la ligne précédente et achève sa démonstration par un raisonnement par récurrence.


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