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CALCUL LITTÉRAL Cycle central 5 è me -4 è me. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 Les programmes Voir Le document daccompagnement.

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1 CALCUL LITTÉRAL Cycle central 5 è me -4 è me

2 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Les programmes Voir Le document daccompagnement : Du numérique au littéral ( ). Le niveau Cinquième constitue le niveau fondamental pour lintroduction du calcul littéral. - travail sur les concepts, la construction du sens, avant même daborder la technique. - La lettre est un outil de preuve et de généralisation. Des jalons devront être posés régulièrement sur toute lannée de Cinquième.

3 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Différents statuts de la lettre Inconnue: Pour faciliter les calculs (équations) Indéterminée: Pour traduire des relations entre les nombres (formules, identités) Variable: Pour étudier lévolution dune situation en fonction des valeurs (fonctions)

4 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Activité : Tout un symbole ! Voici dix écritures mathématiques : a) Que peut-on dire de ces dix écritures ? - Quont-elles en commun ? - Quest ce qui les différencie ? b) Traduire par une phrase chacune de ces dix écritures - sans utiliser le mot « égal », - sans utiliser de symboles. Source : IREM de Rennes

5 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Une égalité: = Symétrie de légalité. Utilisation de chiffres, de lettres minuscules et majuscules. Différents statuts du signe « = ».

6 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Programmes de calcul Voici deux programmes de calcul : a) Appliquer les deux programmes de calcul en choisissant le nombre 1, puis le nombre 2, puis le nombre 3 et le nombre 4. b) Quelle conjecture peut-on faire? c) Cette conjecture est-elle vraie ? Daprès : Lalgèbre et en particulier le calcul littéral de la 6ème à la 2nde

7 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Présenter la notion de contre- exemple comme moyen simple dinvalider un résultat. Utiliser la lettre en tant que nombre généralisé. Introduire le calcul littéral comme outil de démonstration.

8 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Famille de maisons Les figures ci-dessous sont composées dun carré et dun triangle équilatéral dont le côté mesure 2 cm de plus que celui du carré : a) Dessiner une quatrième figure (figure ) sur le même modèle. b) Calculer le périmètre des figures,, et. c) Trouver un procédé permettant de calculer le périmètre des figures à partir de la longueur du côté du carré. d) Vérifier que ce procédé fonctionne pour les quatre figures. e) On veut construire une figure sur le même modèle qui a un périmètre de 42 cm. Quelle longueur choisir pour le côté du carré ? Daprès Stage Calcul littéral en 4ème 3ème (H. Colonna/ M.Chevallier), Académie de Rouen

9 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Intérêt de la lettre pour décrire un procédé répétitif. Utiliser la propriété de distributivité de la multiplication sur laddition avec le calcul littéral pour établir légalité entre différentes écritures dune même expression littérale. Initier à la notion déquations.

10 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Groupe 1 : a 3 + (a + 2) b a : côté du carré petit bout Groupe 2 : Groupe 3 : Deux côtés du triangle plus trois côtés du carré plus 2 cm. Groupe 4 : y (y + 2) 2 y : longueur du côté du carré Groupe 5 : Dès que nous avons trouvé un côté du carré, on le multiplie par 3. On y ajoute 1 cm de chaque côté. On reprend un côté du carré et on y ajoute 2 cm. Des réponses élèves :

11 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central VRAI/FAUX Tice Les énoncés mathématiques suivants sont-ils vrais ou faux ? 1) Pour tous les nombres x, x = 9 x 2) Pour tous les nombres x : x = 3(5 + x ) 3) Il existe un nombre x tel que : 80 x – 18,6 = 30(30 + x )

12 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Un contre-exemple permet de montrer que la première égalité est fausse pour un nombre, donc elle nest pas vraie pour tout x. On démontre que légalité est toujours vraie en utilisant la propriété de distributivité de la multiplication sur laddition Cest peut-être vrai, mais sil existe réellement un nombre qui rend cette égalité vraie, comment le trouver ? Et si un tableur pouvait nous aider ? tableur

13 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central EXEMPLES LIES AUX THEMES DE CONVERGENCE 1°) Santé Une personne, qui fume un paquet de cigarettes (20 cigarettes), par jour inhale 250 mL de goudrons par an. Une cigarette mesure 7 cm. a) Combien ce fumeur inhale-t-il de millilitres de goudrons en 2 années ? en 5 années ? en n année(s) où n est un nombre entier ? b) Quelle longueur (en cm) de cigarettes cette personne aura-t-elle fumée en 2 jours ? en 5 jours ? en p jour(s) où p est un nombre entier c) À partir de combien de jours, ce fumeur aura-t-il consommé léquivalent de la hauteur de la tour Eiffel si on mettait « bout à bout » et bien alignées toutes ses cigarettes ? d) Quelle longueur (en m) cette même personne aura-t-elle fumée en 1 année ? en 5 années ? en r année(s) où r est un entier positif non nul ? (on ne tiendra pas compte des années bissextiles) e) On met toutes les cigarettes que ce fumeur sapprête à consommer pendant toute sa vie bien alignées. La longueur obtenue dépasse-t-elle celle dun marathon ?

14 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central EXEMPLES LIES AUX THEMES DE CONVERGENCE 2°) Sécurité La distance de freinage en mètres dun véhicule sur route sèche dépend de la vitesse de ce véhicule. Des scientifiques ont admis quune bonne valeur de la distance de freinage est donnée par la formule suivante : où D est la distance de freinage en mètres, V la vitesse en km par h et k un paramètre calculé par les scientifiques. Sur route mouillée, il faut utiliser la formule suivante : où le coefficient k a changé par rapport à k. a) Pourquoi k est-il supérieur à k ? b) On donne pour la suite k = 203,2 et k =101,6. Calculer la distance de freinage dun véhicule roulant à 90 km par heure, 110 km par heure et 130 km par heure sur route sèche et sur route mouillée. On donnera les résultats arrondis au mètre et on organisera les résultats dans un tableau. Quelle conclusion peut-on en tirer ? c) Un chauffeur ne laisse devant lui quune distance de 20 mètres (à peine la distance entre deux bandes blanches consécutives sur route nationale). A quelle vitesse (en km/h, arrondie à lunité) peut-il rouler sans risquer un accident en cas de freinage brutal sur route sèche ? d) Avec cette même vitesse calculée, quelle distance doit-il maintenir avec le véhicule qui le précède sur route mouillée pour ne pas risquer également laccident ? Source: Exercice n° 100 page 112 du Bordas 5ème


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