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LES NOMBRES. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 Les différentes formes de calcul.

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1 LES NOMBRES

2 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Les différentes formes de calcul

3 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Programme de Cinquième : Partie 2 « Nombres et calculs » Toutes les activités numériques fournissent des occasions de pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes, utilisées en interaction : calcul mental, automatisé ou réfléchi, calcul posé, emploi dune calculatrice. Plusieurs objectifs : - prévoir des ordres de grandeur, - opérer en conservant lécriture fractionnaire, - utiliser le vocabulaire approprié.

4 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Programme de Quatrième : Partie 2 « Nombres et calculs » La pratique du calcul numérique (exact ou approché) sous ses différentes formes en interaction (calcul mental, calcul à la main, calcul à la machine ou avec un ordinateur) a pour objectifs : - la maîtrise des procédures de calcul effectivement utilisées, - lacquisition de savoir-faire dans la comparaison des nombres, - la réflexion et linitiative dans le choix de lécriture appropriée dun nombre suivant la situation.

5 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Les formes de calcul Calcul automatiséCalcul réfléchi Calcul mental Résultats mémorisés Procédures automatisées Résultats ou procédures reconstruites Calcul papier-crayon Techniques opératoires (calcul posé) Procédures reconstruites Calcul machineCalculs usuels Procédure adaptée / type de machine

6 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Nous nous intéressons ici au calcul mental.

7 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Le calcul mental est utile au quotidien indispensable pour acquérir des automatismes indispensable pour un calcul posé un moyen de vérification de calcul une aide à la mise en place de relations entre calculs et raisonnement nécessaire pour acquérir des représentations mentales de certaines notions

8 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Quels types de travaux en calcul mental ? calculs élémentaires : techniques opératoires. enrichissement des conceptions numériques des élèves. « calcul exact » – « calcul approché » : approximations, ordres de grandeurs… utilisation des propriétés de lalgèbre pour le traitement mental de calculs divers.

9 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central mémorisation des formules (algébriques, géométriques, liées aux grandeurs,...) mémorisation de situations dapprentissage qui ont donné naissance à de nouvelles techniques ou a de nouvelles notions : faciliter les images mentales utilisation du vocabulaire utilisation de la calculatrice à bon escient.

10 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Des problèmes en calcul réfléchi Des exemples en Cinquième 1) Léa collectionne des timbres. Elle en possède 140. Elle en donne 20 %. Combien lui reste-t-il de timbres ? 2) Simplifier la fraction suivante 3) Combien faut-il de carrés de 10 centimètres de côté pour recouvrir un carré de 30 centimètres de côté ? 4) Combien y a-t-il de tiers dans 15 unités ? 5) 3 cm + 65 mm = 6) Vrai ou faux ? a) La somme de trois quarts et de un huitième est supérieure à 1. b) La somme de deux entiers négatifs est toujours négative.

11 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central ) Quel nombre dois-je ajouter à -23 pour obtenir 12 ? 8) Que vaut x dans léquation : 3x = 17 ? (Le but est de revenir à la définition du nombre a/b) 9) On divise un nombre par 7. Le quotient est 4 et le reste 5. Quel est ce nombre ? 10) Alain a mangé un quart du gâteau, sa soeur Béatrice a mangé le tiers du reste. Qui en a mangé le plus ? 11) Écrire un nombre de deux chiffres divisible par 2 et par 3. 12) Écrire un nombre de deux chiffres divisible par 3 mais pas par 5. 13) Marie possède x euros. Jean en possède deux fois plus. Combien ont-ils deuros à eux deux ?

12 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central ) Que vaut le carré de 6 ôté du carré de 8 ? 2) Un carré a une aire de 81 cm 2, combien mesure son périmètre ? 3) Quel est le quotient de 6 2 par 3 2 ? 4) Que vaut 3a - 2b si a = 5 et b = 4 ? 5) Résoudre les équations 3 x = 7 ; 8 x = 60 (Lobjectif est de faire appel à la définition du nombre a/b) 6) Vrai ou faux ? a) Le quotient de deux entiers de signes contraires est toujours positif. b) Lorsquon double la mesure dun angle aigu on obtient la mesure dun angle obtus. c) La somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3. d) Il existe des nombres dont le carré est égal à leur double. e) Le carré dun entier pair est divisible par 4. Des problèmes en calcul réfléchi Des exemples en Quatrième

13 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Calcul mental à la maison. Un exemple de fiche auto-corrigée Classe de cinquième

14 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Calcul mental et calcul littéral 1)Si x = 5, calculer 3x ; 4x ; -6x ; 7 + x ; x/2 + x ; 5x – 2,4 2)Si a = -3 et b = 2, calculer ab ; b – a ; 5a + 3b ; 2b – 4b 3)Le labyrinthe Entrée Sortie (par le bas)

15 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Programme 1 :Programme 2 : 1. Choisir un nombre décimal 2. Le multiplier par 5 3. Ajouter 7 au produit obtenu 4. Soustraire le nombre de départ 5. Ajouter 3 à la différence obtenue 6. Annoncer le résultat 1. Choisir un nombre décimal 2. Le multiplier par 2 3. Ajouter 5 au produit obtenu 4. Multiplier la somme obtenue par 2 5. Annoncer le résultat 4)Programmes de calcul

16 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central a.Faire fonctionner les deux programmes avec les nombres 1 puis 2 puis 3. b.Que peut-on conjecturer ? Cette conjecture est-elle vraie ? c.Jai trouvé 118 avec les deux programmes. Quel nombre ai-je choisi au départ ? (On peut envisager un travail avec le tableur pour répondre aux questions)

17 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Calcul mental : périmètre et aire 1)Calculer laire et le périmètre de chacun des triangles ABC suivants quand cela est possible. 2)Calculer laire et le périmètre du parallélogramme suivant.

18 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Les écritures fractionnaires du cycle 3 au collège

19 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Programme Cycle 3 La fraction est liée au partage, au fractionnement dune grandeur. Le partage des longueurs peut se faire par pliage à laide dun réseau de droites parallèles équidistantes.

20 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Partage en 3 parties égales Partage en 5 parties égales Programme Cycle 3

21 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central est lu « sept tiers » et évoque ce qui est obtenu en partageant l'unité en 3 parties égales et en reportant 7 de ces parts. Programme Cycle 3

22 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Les fractions donnent du sens aux nombres décimaux. En partageant le mètre comme unité : 2,405 m = 2 m + 4 dm + 5 mm = 2 m mm Programme Cycle 3 On prépare l'approche du nombre : On encadre une fraction simple par deux entiers consécutifs.

23 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central est un nombre. On part dune situation problème, par exemple : On souhaite partager un segment de longueur 7 cm en 3 morceaux de même longueur. Quelle est la longueur dun morceau ? La longueur d'un morceau est « le tiers de sept ». Programme Sixième

24 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Programme Sixième Mais pourquoi « le tiers de sept » est-il égal à « sept tiers » ? 1 unité 7 unités sept tiersle tiers de sept

25 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Les nombres en écriture fractionnaire permettent notamment de résoudre certains problèmes de proportionnalité là où les nombres décimaux ne suffisent pas tout en gardant les mêmes procédures de traitement (généralisation du « nombre de fois ») 4 kg12 kg 15 ? 3 3 Programme Sixième

26 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central kg12 kg 7,23 ? Nombre qui, multiplié par 10, donne 12 1,2 ou Programme Sixième

27 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central kg12 kg 15,47 ? Nombre qui, multiplié par 7, donne 12 Programme Sixième

28 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Les égalités à trous a) 4 …… = 20 b) …… 7 = 7 c) 16 …… = 432 d) 15 …… = 48 e) 5 …… = 2 f) …… 2 = 1 g) 0 …… = 3 h) 3 …… = 4 Évaluation diagnostique en Cinquième

29 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central a) 4 …… = 20 b) …… 7 = 7 c) 16 …… = 432 d) 15 …… = 48 e) 5 …… = 2 f) …… 2 = 1 g) 0 …… = 3 h) 3 …… = 4 Utilisation des tables : 100% Réponse exacte : 85 % Les égalités à trous

30 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central a) 4 …… = 20 b) …… 7 = 7 c) 16 …… = 432 d) 15 …… = 48 e) 5 …… = 2 f) …… 2 = 1 g) 0 …… = 3 h) 3 …… = 4 Recours à la division : 35 % Essais successifsEssais successifs : 25 % Pas de réponse : 25 % Réponse exacte (3,2) : 20 % « Le nombre nexiste pas » : 25 %Le nombre nexiste pas Pas de réponse : 40 % Les égalités à trous

31 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central a) 4 …… = 20 b) …… 7 = 7 c) 16 …… = 432 d) 15 …… = 48 e) 5 …… = 2 f) …… 2 = 1 g) 0 …… = 3 h) 3 …… = 4 Réponse juste (quotient fractionnaire) : 0 % ImpossibleImpossible : 55 % Pas de réponse : 35 % Les égalités à trous

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36 Une puce se déplace sur la demi-droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA. Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la première fois sur un nombre entier, et quel est ce nombre ? Quelle égalité peut-on déduire du travail précédent ? 3 ? = 4 … Une remédiation

37 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Une puce se déplace sur la demi-droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA. Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la première fois sur un nombre entier, et quel est ce nombre ? Quelle égalité peux-tu déduire du travail précédent ? 3 ? = 4 … Réponse juste : (avec 3 bonds, elle tombe « sur le point dabscisse 4 » ): 85 % Un quart des élèves écrivent légalité 3 OA = 4 …Il reste à déterminer OA …. …Et à conclure : 3 = 4 ( 1 élève pense à lécriture fractionnaire) 1 élève Une remédiation

38 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Pour favoriser la réussite la technique de multiplication dun nombre entier par un nombre décimal : le raisonnement sur le dernier chiffre lordre de grandeur multiplication par un nombre plus petit que 1 Exemple Le concept dégalité Valeur exacte et valeur approchée dun nombre

39 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Entoure le résultat des opérations suivantes : 3,26 7 = ? 22,2822,8223,0322,83 4,7 23 = ? 2108,1708,1108,1207,1 36 0,93 = ? 36,4833,48360,48330,48

40 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Addition de nombres en écriture fractionnaire

41 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Étape Complète légalité Les élèves eux-mêmes vont démontrer, dès le début de lapprentissage, que lintuition première (additionner les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble) est incorrecte.

42 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Calcule 12 : : 2 11 : : 3 7 : : 6 Changer de stratégies selon les calculs proposés. Extension de la règle de distributivité de la multiplication sur laddition à la division : Pour tous les nombres a, b et k avec k 0 a : k + b : k = (a + b) : k Doù une remarque sur la nécessité davoir la division par un même nombre. Étape

43 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Fraction proportion

44 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central En cinquième Une écriture fractionnaire peut être utilisée pour désigner une proportion. Les écritures 6/ ,6 60% sont rencontrées pour désigner cette fréquence : elles permettent d'insister sur les diverses écritures d'un même nombre et de préciser leurs utilisations. exprime la relation entre une partie d'une population et la population totale (lien avec la fréquence statistique). Exemple: la proportion de filles dans le collège est

45 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central er exemple dexercice : Le collège de la ville voisine a un effectif de 735 élèves. 315 d'entre eux sont demi-pensionnaires. Le dernier bulletin du conseil général annonce que « 3 élèves sur 7 sont demi- pensionnaires ». Que penser de cette affirmation ? Dans un autre collège de 645 élèves, seulement 129 élèves sont demi-pensionnaires. Comment sera traduite cette information dans le bulletin ? Découverte de la notion de proportion Nombres en écriture fractionnaire égaux Écriture d'une proportion à partir de la donnée d'effectifs En cinquième

46 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central e exemple dexercice : Voici trois situations. Auxquelles peut-on associer la proportion 2 sur 3 ? 1) Dans la classe, 2 élèves sur 3 habitent à moins de dix minutes du collège. 2) Dans la classe, 2 filles et 3 garçons sont inscrits à lUNSS. 3) Dans la classe, 16 élèves sont demi-pensionnaires et 8 sont externes. En cinquième

47 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central e exemple dexercice : Le principal du collège a montré aux parents d'élèves le diagramme circulaire suivant concernant la première langue vivante des élèves de cinquièmes. Alexandre dit : « Trois élèves sur quatre font allemand en LV1» Béatrice dit : « 25% des élèves de 5ème font allemand en LV1» Carole dit : « La fréquence des élèves qui font anglais en LV1 est 0,75 » David dit : « La proportion d'élèves qui font anglais en LV1 est » Que peut-on penser de ces quatre affirmations ? Lecture et interprétation d'un diagramme circulaire. Différentes écritures d'une fréquence (décimale, proportion, %). En cinquième

48 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Introduction : Les nombres relatifs À partir du travail du groupe didactique de lIREM dAquitaine Brochure Entrées dans lalgèbre 6e et 5e, 2007

49 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Ie siècle : les Chinois utilisaient les négatifs pour des problèmes de comptabilité. XVe siècle : apparition des négatifs en Occident avec Nicolas Chuquet ; utilisés comme auxiliaires de calcul dans les résolutions déquations. Fin du XIXe siècle : En Occident, les négatifs ont un statut de nombre. Aperçu historique

50 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Différents contextes Contextes concrets : recettes et dépenses, gains et pertes, températures, altitudes, chronologie, ascenseur… Contexte de repérage : -3 est une variation Contexte interne aux mathématiques On résout des équations. -3 est un repère indiquant un état

51 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Il paraît plus fécond denvisager une approche plus théorique de ces nouveaux nombres, par exemple, comme le suggère le commentaire du programme de cinquième en cherchant des nombres qui rendent la soustraction toujours possible. Varier les situations pour aborder les différents contextes. Extrait du document daccompagnement – Les nombres au collège – Décembre 2006

52 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Exemple dintroduction Étape : Établir que (a + b) – c = a + (b – c) Exercice 1 : « Margot va à la librairie, elle achète deux articles : un cahier à 2,75 et un livre à 8,25. Le libraire lui fait une réduction de 0,50 sur le prix du livre. » Calculer le prix total que Margot doit payer de deux façons différentes et pour chacune, écrire les calculs en une seule ligne. Exercice 2 : Calculer la longueur AC de deux façons différentes et pour chacune, écrire les calculs en une seule ligne.

53 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Complète les pointillés 7 + … = …. = … = … = … = 4 Exemple dintroduction Étape : Introduction du nombre -2 comme convention pour 0 – 2 Cela permet de réactiver la soustraction et la visualisation suivante…

54 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Illustration de la résolution à laide de la demi- droite graduée ; la soustraction est perçue comme un déplacement vers la gauche. On arrive alors naturellement à la droite graduée.

55 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central La dernière égalité 6 + … = 4 Réponses des élèves : Impossible, 4/6, -2 mais aussi des élèves proposent de remplacer les pointillés par 4 – 6 ou par 2 – 4, ou 0 – 2 car 6 + (4 – 6) = (6 + 4 ) – 6 = 10 – 6 = – 6 = – 4 = – 2 = 4 Doù 4 – 6 = 2 – 4 = 1 –3 = ….. = 0 – 2 Le professeur explique alors que le nombre 0 – 2 sera désormais noté -2.

56 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Définition : Le nombre qui ajouté à 6 donne 4 est le nombre (4 – 6). Exercice : Écrire plusieurs égalités à trous ayant -2 comme solution. Notation : ce nombre est noté -2. Vocabulaire : -2 est un nombre négatif. Remarque : -2 = 0 – 2 = 1 – 3 = 4 – 6 = …. On a alors 6 + (-2) = 4

57 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central On redonne des additions à trous avec une solution positive ou négative, en variant la place du trou, et on glisse parmi ces exercices, légalité : …. + 5 = 0 Définition : Deux nombres sont opposés quand leur somme vaut zéro. Exemple : = 5 + (-5) = 0 Les deux nombres 5 et -5 sont opposés. Remarque : En plaçant les points dabscisse -5 et 5, des remarques sont faites sur la symétrie de ces points. Exemple dintroduction Étape : Nombres opposés

58 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central ) Effectuer les soustractions suivantes (on mélange les résultats positifs et les résultats négatifs). 35 – – 48 on utilise (23 – 23) – (48 – 23) = 0 – 25 = – 72 etc. 2) Effectuer les additions de nombres relatifs suivantes. additions dont le résultat est positif 7 + (-4) 12 + (-5) 54 + (-29) etc. Exemple dintroduction Étape : On opère avec certains nombres relatifs

59 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Exemple dintroduction Étape : On opère avec tous les nombres relatifs Exemples : = -7 + (7 – 3) = (-7 + 7) – 3 = 0 – 3 = (-15) = 9 + (0 – 15) = (9 + 0) – 15 = 9 – 15 = (-2) = -5 + (5 – 7) = (-5 + 5) – 7 = 0 – 7 = -7

60 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Exercices niveau 5 e Les nombres relatifs

61 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Exemples dexercices Lien avec dautres disciplines. Thèmes de convergence.

62 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Exercice 1 Thème abordé : Mathématiques et Histoire Objectifs : addition et comparaison de nombres relatifs, construction dune droite graduée.

63 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Un peu dHistoire au travers dune histoire dâge… Vercingétorix a 12 ans en – 60. Thalès a 20 ans en – 604. Euclide a 30 ans en – 300. Platon a 13 ans en – 414. Jules césar a 1 an en – 100. Pythagore a 20 ans en – 560. Charlemagne a 48 ans en 800. Attila a 18 ans en Charles Martel a 25 ans en Sénèque a 35 ans en – 10. Exercice 1

64 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central ) À partir des phrases suivantes, retrouver les dates de naissance de ces hommes célèbres. 2) Parmi ces hommes célèbres, quels sont ceux nés avant Euclide ? 3) En quelle année, Pythagore a-t-il fêté ses 12 ans ? 4) Construire une frise sur laquelle seront placées les dates de naissance trouvées. Reproduire cette droite graduée pour que 1 cm corresponde à 50 ans et placer les évènements le plus précisément possible 5) Vérifier ensuite les réponses à la question 2. Exercice 1

65 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Thème abordé : Mathématiques et sécurité routière. Objectifs : recherche décart entre des nombres relatifs et signification dun symbole « - » ( ici, le symbole moins nest pas celui propre aux nombres relatifs négatifs mais celui de la soustraction) Exercice 2

66 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Des chiffres qui font réfléchir : Le risque des « deux-roues » est important, puisquil représente 51 % des ans tués en deux-roues motorisé. Dans cette tranche dâge, le risque daccident à cyclomoteur culmine à 16 ans. EX : 43 tués et blessés en Il y a 5 fois plus de risque daccident à cyclomoteur quen voiture (à nombre de kilomètres parcourus égal). Plus d' 1 jeune cyclomotoriste tué sur 10 ne portait pas de casque. Loubli du port du casque en cyclomoteur aggrave les blessures en cas daccident. Il est souvent sanctionné par les forces de l ordre (Amende encourue : 38). Exercice 2

67 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Voici le nombre dinfractions de ce type répertoriés de 1995 à Exercice 2

68 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central Voici ce que lon peut trouver dans un article : « lévolution du bilan annuel a été – 7703 en 1996 et en 1997 » 1) Par quels calculs peut-on trouver ces valeurs ? 2) Pourquoi utiliser un nombre relatif négatif dans la phrase ? 3) De la même manière, construire des phrases illustrant lévolution en 1998 et Exercice 2


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