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Mercredi 9 mai 2012 Inspection de lEducation nationale Saint-André de lEure 09/05/20121La résolution de problèmes au cycle 2.

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1 Mercredi 9 mai 2012 Inspection de lEducation nationale Saint-André de lEure 09/05/20121La résolution de problèmes au cycle 2

2 QUELQUES DÉFINITIONS «Par problème, il faut entendre dans le sens large que lui donnent les psychologues, toute application dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités dexploration, dhypothèse, et de vérification pour produire une solution» (Gérard Vergnaud) «Un problème est une situation initiale avec un but à atteindre, demandant à un sujet délaborer une suite dactions et dopérations pour atteindre ce but. Il ny a que dans un rapport sujet / situation où la solution nest pas disponible demblée mais est possible à construire». (Jean Brun) En dautres termes, une réponse non disponible immédiatement, qui nécessite la construction dune représentation mentale, un cheminement permettant de coordonner des actions pour parvenir à la réponse. «Résoudre un problème exige une grande part dintuition, dimagination, de combat avec soi-même» (D.Dacunha Castelle, Science et Avenir) 09/05/20122La résolution de problèmes au cycle 2

3 Qu'est ce qu'un problème? La conception des élèves 09/05/20123La résolution de problèmes au cycle 2 La conception des élèves: *« Il faut faire des opérations, calculer, trouver un résultat, écrire la réponse en faisant une phrase... » * « On a répondu quand on a utilisé tous les chiffres » * « Le plus dur, c'est de trouver LA bonne opération »...

4 Ce que disent les programmes : 09/05/20124La résolution de problèmes au cycle 2

5 Er le socle commun : 09/05/20125La résolution de problèmes au cycle 2

6 – la compréhension de lénoncé (y compris le jeu symbolique, scolaire, qui consiste à semparer dun problème ; devenir élève de ce point de vue est essentiel); – la diversité des formes de présentation (variété des habillages) ; – la progressivité de lélaboration de procédures plus efficaces et de lautomatisation des procédures utilisées. Lapprentissage suppose dêtre attentif à différents points : 09/05/20126La résolution de problèmes au cycle 2

7 COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ? En variant les catégories de problèmes Première classification: à partir des formes dénoncés Deuxième classification: à partir des notions mathématiques Troisième classification: à partir des objectifs pédagogiques 09/05/20127La résolution de problèmes au cycle 2

8 Un problème pour apprendre à chercher (un problème ouvert) Un problème pour apprendre (situation-problème) Un problème dapplication et de réinvestissement dune notion connue Un problème de transfert A partir des objectifs pédagogiques 09/05/20128La résolution de problèmes au cycle 2

9 09/05/20129La résolution de problèmes au cycle 2 Des problèmes pour chercher Le rallye-Math du Cantal

10 Evaluations nationales CE1 – Mai 2011CircNatEcart 090 Calcul Résoudre des problèmes relevant de laddition, de la soustraction et de la multiplication Approcher la division de deux nombres entiers à partir dun problème de partage ou de groupements Problème faisant intervenir la soustraction Xavier a 225 images de fleurs et danimaux en tout. Il a 112 images danimaux. Combien a-t-il dimages de fleurs ? 48.7%48.8%-0.1% 091 Calcul Résoudre des problèmes relevant de laddition, de la soustraction et de la multiplication Approcher la division de deux nombres entiers à partir dun problème de partage ou de groupements Problème faisant intervenir la multiplication Un club de ping-pong achète 12 boîtes de 4 balles. Combien de balles a-t-il achetées ? 51.1%51.2%-0.1% 092 Calcul Résoudre des problèmes relevant de laddition, de la soustraction et de la multiplication Approcher la division de deux nombres entiers à partir dun problème de partage ou de groupements Problème faisant intervenir la division Trois enfants se partagent en part égale 75 images. Combien dimages auront-ils chacun ? 20.5%21.1%-0.6% 09/05/201210La résolution de problèmes au cycle 2

11 1. Recherche de létat final connaissant la transformation positive et létat initial. « Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo ? » 2. Recherche de létat final connaissant la transformation négative et létat initial. « Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo ? » 3. Recherche de létat initial connaissant la transformation positive et létat final. « Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo ? » 4. Recherche de létat initial connaissant la transformation négative et létat final. « Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait- il de billes ? » Les différentes catégories de problèmes additifs et soustractifs 09/05/201211La résolution de problèmes au cycle 2

12 5. Recherche de la transformation positive connaissant létat initial et létat final. « Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9 billes. Combien de billes Juliette a–t–elle données à Léo ? » 6. Recherche de la transformation négative connaissant létat initial et létat final. « Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de billes Léo a– t –il données à Juliette ? » 7. Recherche de la composée de deux états. « Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble? » 8. Recherche dun état connaissant un second état et la composée des deux états. « Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a– t–il de billes ? » 09/05/201212La résolution de problèmes au cycle 2

13 9. Recherche de létat à comparer connaissant létat comparé et la comparaison positive. « Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a–t–elle ? » 10. Recherche de létat à comparer connaissant létat comparé et la comparaison négative. « Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a–t–elle ? » 11. Recherche de létat comparé connaissant létat à comparer et la comparaison positive. « Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a–t–elle ? » 12. Recherche de létat comparé connaissant létat à comparer et la comparaison négative. « Léo a 9 billes.. Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette a–t–elle ? » 09/05/201213La résolution de problèmes au cycle 2

14 13. Recherche de la comparaison positive connaissant les deux états. « Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a–t–elle de plus que Léo ? » 14. Recherche de la comparaison négative connaissance les deux états. « Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a–t–elle de moins que Léo ? » 09/05/201214La résolution de problèmes au cycle 2

15 Types décrits : · Les écrits de référence · Les écrits de recherche et de travail · Les rédactions de solutions La place de lécrit 09/05/201215La résolution de problèmes au cycle 2

16 Les caractéristiques de l'énoncé de problème 09/05/201216La résolution de problèmes au cycle 2 Une des particularités de l'énoncé écrit de problème mathématique est que c'est un écrit exclusivement scolaire et sans auteur. Cap math CP ARP « J'apprends les maths CP L'énoncé est le plus souvent sous la forme narrative Cap math CP

17 Les caractéristiques de l'énoncé de problème 09/05/201217La résolution de problèmes au cycle 2 C'est un texte pour faire-faire, qui attend une ou plusieurs réponses et qui a donc une partie injonctive: -sous la forme d'une question explicite: Nicolas a-t-il assez d'argent pour acheter ce livre? -sous la forme d'une question semi-implicite: Quelle est la somme dépensée? -sous la forme d'une question implicite: Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? -sous la forme d'un ordre (à l'impératif): Range ces animaux du plus lourd au plus léger. Calcule le prix des 3 ballons Trace un carré à l'intérieur du rectangle.

18 Classification à partir des énoncés : en fonction de la présentation des données Énoncés sous forme dun texte écrit Une partie des informations présentées sous forme organisée (tableau, diagramme, …) Énoncés qui associent texte et image (photo, BD, dessin…), lillustration est source ou non dinformations pour résoudre le problème Énoncés associant texte et document authentique (publicité, extrait de tarif…) Autres formes : informations données oralement Conséquences pour lélève: stratégies de lecture diverses CATÉGORIES DE PROBLÈMES 09/05/201218La résolution de problèmes au cycle 2

19 09/05/201219La résolution de problèmes au cycle 2

20 09/05/201220La résolution de problèmes au cycle 2 Difficultés de lecture -Faire des tris de textes pour apprendre à identifier un énoncé de problème -Donner un énoncé avec des phrases dans le désordre et demander de reconstituer lénoncé. -Donner des morceaux de différents énoncés mélangés et demander de reconstituer les différents énoncés. -Donner des énoncés « à trous » qu' il faut compléter (avec ou sans propositions de réponses). - Faire, de temps en temps, « une vraie séance de lecture » à partir dun énoncé de problème quon résout ensuite. - De façon plus générale, faire pour chaque problème un « petit travail » en amont sur les difficultés que le maître aura repérées a priori dans lénoncé - Travail plus ponctuel sur un point particulier (travail concernant la partie informative et la partie injonctive dun énoncé, lutilisation des phrases interrogatives dans les énoncés de problèmes, lutilisation des pronoms, etc.) (Faire entourer la (ou les ) questions, la tâche à accomplir.) - Résolution de problèmes dont les énoncés comportent peu ou pas de « français » Comment venir en aide aux élèves en difficultés?

21 09/05/201221La résolution de problèmes au cycle 2 Comment venir en aide aux élèves en difficultés? Support image: Ce matin, le marchand avait 21 ballons. Regarde sur le dessin le nombre de ballons qu'il lui reste à midi? Combien de ballons a-t- il vendus? Texte long: Ce matin, en arrivant à la Saint-Urbain, Benjamin a vu un marchand de ballons, il avait 21 ballons attachés au bout de petites ficelles. Quand Benjamin est reparti, après avoir fait des tours de manège, il est repassé devant le marchand qui n'avait plus que 12 ballons dans la main. Combien de ballons ont été vendus? Texte court: Ce matin, le marchand avait 21 ballons. A midi, il lui en reste encore 12. Combien en a-t-il vendus?

22 09/05/201222La résolution de problèmes au cycle 2 Comment venir en aide aux élèves en difficultés? Travail sur les consignes: Travailler sur les significations différentes que peut prendre un même verbe selon quon est en mathématiques ou pas (Exemple : comparer) Etudier les différentes formes que peut prendre une consigne : Calculer la somme dargent … Calcule la somme dargent … Tu calculeras la somme dargent … Quelle est la somme dargent ? Combien a-t-il dépensé? Quel est le montant de la dépense? ( calculer) Quel est le côté le plus long ? ( citer) PolysémieLexique_des_problemes_numeriques.docLexique_des_problemes_numeriques.doc Faire une liste des verbes utilisés dans les consignes en mathématiques (par exemple en consultant les exercices déjà faits en classe) et les regrouper en fonction de leur signification. Calculer, ajouter, … on me demande de calculer Tracer, dessiner, reproduire, … on me demande de faire un dessin, une figure Expliquer, dire pourquoi, … on me demande de donner une explication

23 09/05/201223La résolution de problèmes au cycle 2 Comment venir en aide aux élèves en difficultés? Difficultés de représentation de la situation et de conceptualisation: *Jouer la situation, la mettre en scène. *La raconter avec ses mots, comme une histoire, à un camarade. *Manipuler avec les objets qui correspondent à l'énoncé. *Manipuler avec des jetons. Il faut cependant se convaincre que ce nest pas la manipulation dun matériel qui constitue lactivité mathématique, mais les questions quelle suggère. *Schématiser

24 Un exemple de mise en œuvre : recherche de létat initial à partir dune transformation positive (cas numéro 3) Objectif : automatiser lutilisation de la soustraction pour la résolution dun problème relevant de cette structure. Comprendre la situation Dissocier cette situation dautres déjà rencontrées Élaborer une première procédure Identifier cette nouvelle catégorie de problème et commencer à construire lassociation soustraction / nouvelle procédure de résolution Situation de réinvestissement Le passage de la situation à lénoncé Automatiser lutilisation de la soustraction pour la résolution dun problème 09/05/201224La résolution de problèmes au cycle 2

25 Problèmes de multiplication et de division au cycle 2 Cadre du socle commun de connaissances et de compétences Des approches concrètes et pratiques des mathématiques […] aident les élèves à comprendre les notions abstraites. […] Les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne. […] La maîtrise des principaux éléments de mathématiques sacquiert et sexerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. Principales compétences attendues à la fin du CE1 (premier palier) dans le champ multiplicatif : – calculer une multiplication ; – diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient exact est entier) ; – restituer et utiliser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; – calculer mentalement en utilisant des multiplications simples ; – résoudre des problèmes très simples. 09/05/201225La résolution de problèmes au cycle 2

26 La progressivité des séances denseignement se conçoit selon deux axes : lidentification des catégories de problèmes et le choix des variables didactiques au sein dun même type de problèmes. Différentes catégories de problèmes Problèmes de multiplication et de division Les situations proposées dans un contexte de distribution, de partage et de groupement relèvent de problèmes de multiplication et de division. 09/05/201226La résolution de problèmes au cycle 2

27 Deux types de problèmes sont à distinguer dans le cadre de la multiplication : ceux qui font appel à une addition réitérée Exemple : il y a 4 élèves. La maîtresse distribue 3 jetons à chaque élève. Combien distribue– t – elle de jetons en tout ? et ceux qui mettent en jeu un produit de mesures. Exemple : quel est le nombre de carreaux de chocolat que contient une tablette de 3 sur 4 ? 09/05/201227La résolution de problèmes au cycle 2

28 Exemple : la maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe délèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a– t –il délèves ? Deux types de problèmes sont à distinguer dans le cadre de la division : Problèmes de division quotition Problèmes de division partition Exemple : la maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves. Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de jetons a chaque élève ? Nombre délèves Nombre de jetons 13 ?12 Nombre délèves Nombre de jetons 1? /05/201228La résolution de problèmes au cycle 2

29 sont autant de variables qui peuvent moduler le niveau de complexité du problème proposé dans le cadre dune pédagogie différenciée. Identification et choix des variables La taille des nombres La relation entre les nombres (double, moitié…) Lhabillage de la situation La présentation de lénoncé (écrit, oral, dessin, schéma, matériel…) 09/05/201229La résolution de problèmes au cycle 2

30 Objectifs des programmes 2008 La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans lactivité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et sexerce à tous les stades des apprentissages. La résolution de problèmes fait lobjet dun apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Cest le cours préparatoire qui installe le symbolisme (signes des opérations, signe « égal ») et les techniques. Principales compétences attendues à la fin du cours préparatoire dans le champ multiplicatif : – connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20 ; – connaître la table de multiplication par 2 ; – résoudre des problèmes simples à une opération. CP : des problèmes de multiplication 09/05/201230La résolution de problèmes au cycle 2

31 Objectifs des programmes 2008 La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans lactivité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et sexerce à tous les stades des apprentissages.10 Elle fait lobjet dun apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Principales compétences attendues à la fin du cours élémentaire première année dans le champ multiplicatif : – connaître les doubles et moitiés de nombres dusage courant ; – mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; – connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des produits ; – connaître une technique opératoire de la multiplication et lutiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre ; – diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier) ; – résoudre des problèmes relevant de la multiplication ; – approcher la division de deux nombres entiers à partir dun problème de partage ou de groupements. CE1 : des problèmes de groupements et de partage pour une approche de la division 09/05/201231La résolution de problèmes au cycle 2

32 09/05/201232La résolution de problèmes au cycle 2 Travail sur les procédures et sur les erreurs

33 09/05/201233La résolution de problèmes au cycle 2 La rédaction de la solution Dans les fichiers, rédiger la réponse revient généralement à compléter une phrase « à trous »: Produire un texte complet est une tâche difficile au cycle 2. Par sa brièveté, sa structure et son contenu, lécrit mathématique peut savérer un support intéressant pour entrer dans un apprentissage progressif de lécriture. Au CP : Ecrire la solution dun problème revient à produire une phrase simple dont la structure est la suivante (exemples tirés de Maths CP, Hachette, 2001, p.90-91) : P = GN + GV

34 09/05/201234La résolution de problèmes au cycle 2 La rédaction de la solution Extraits du fichier MATH CP (Hachette) (page 90) ( "Rédiger la solution")

35 09/05/201235La résolution de problèmes au cycle 2 Conclusion Lapprentissage de la résolution de problèmes doit sinscrire dans la durée. Proposer un « parcours résolution de problèmes » Travailler la typologie des problèmes et donner aux élèves les clés pour les reconnaître, et ce quel que soit leur habillage, cest leur permettre de sautoriser à sengager dans une démarche de recherche.

36 09/05/201236La résolution de problèmes au cycle 2 Merci de votre attention


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