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LIRRATIONNALITE DE Démontrer par labsurde : Enigme « A bas les profs ! » Activité : est irrationnel 1.2.3.5.4.6. Le point sur les nombres Le point sur.

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1 LIRRATIONNALITE DE Démontrer par labsurde : Enigme « A bas les profs ! » Activité : est irrationnel Le point sur les nombres Le point sur les nombres Un peu dhistoire… Un peu dhistoire…

2 Démontrer par labsurde : Enigme : A bas les profs ! Enigme : A bas les profs ! Quatre élèves sont restés dans la classe pendant la récréation ; lun deux a écrit : A bas les profs ! au tableau noir. Lorsque le professeur rentre en classe, il demande : Qui a écrit ça ?

3 Paul, qui porte des lunettes : Cest une fille. Jacques qui na pas de lunettes : Cest quelquun qui porte des lunettes. Marie qui ne porte pas de lunettes : Ce nest pas moi. Françoise qui porte des lunettes : Cest quelquun qui ne porte pas de lunettes Le ( ou la ) coupable a menti. Les trois autres ont dit la vérité. Qui a écrit au tableau noir ?

4 Supposons que le coupable soit Paul : Jacques qui na pas de lunettes : Cest quelquun qui porte des lunettes. Marie qui ne porte pas de lunettes : Ce nest pas moi. Françoise qui porte des lunettes : " Cest quelquun qui ne porte pas de lunettes. Paul ment et les autres disent la vérité. une contradiction Il y a une contradiction entre ce que disent Jacques et Françoise. Donc Paul nest pas le coupable.

5 Supposons que le coupable soit Jacques: Paul, qui porte des lunettes : Cest une fille. Marie qui ne porte pas de lunettes : Ce nest pas moi. Françoise qui porte des lunettes : " Cest quelquun qui ne porte pas de lunettes. Jacques ment et les autres disent la vérité. une contradiction Il y a une contradiction car Marie dit que ce nest pas elle. Donc Jacques nest pas le coupable. Daprès Paul et Françoise, le coupable est une fille qui ne porte pas de lunettes donc cest Marie.

6 Supposons que la coupable soit Marie : Paul, qui porte des lunettes : Cest une fille. Jacques qui na pas de lunettes : Cest quelquun qui porte des lunettes Françoise qui porte des lunettes : " Cest quelquun qui ne porte pas de lunettes Marie ment et les autres disent la vérité. une contradiction Il y a une contradiction entre ce que disent Jacques et Françoise. Donc Marie nest pas la coupable.

7 Toutes les informations données par Paul, Jacques et Marie confirment que Françoise est la coupable. Supposons que la coupable soit Françoise : Françoise ment et les autres disent la vérité. Paul, qui porte des lunettes : Cest une fille. Jacques qui na pas de lunettes : Cest quelquun qui porte des lunettes. Marie qui ne porte pas de lunettes : Ce nest pas moi. Françoise qui porte des lunettes : Cest quelquun qui ne porte pas de lunettes.

8 Un peu dhistoire… Au 5ème siècle avant J.C, au sud de l'Italie Pythagore et ses disciples qui formaient une secte mathématique et religieuse croyaient que les entiers et les fractions pouvaient expliquer tous les phénomènes du monde. L'harmonie de l'univers reposait sur ces nombres qui suffisaient à leur bonheur. En conséquence chaque longueur aurait dû s'écrire sous la forme d'un entier ou d'une fraction.

9 Or le théorème de Pythagore montre que la diagonale d'un carré de coté 1 est un nombre de carré 2, aujourd'hui noté. Certaines racines carrées sont des nombres bien connus : par exemple = 3. Mais d'autres, comme, ne « tombent pas juste ». On s'est alors demandé si pouvait s'écrire sous la forme d'une fraction.

10 Le but de ce travail est de prouver qu'il est impossible d'écrire sous la forme d'une fraction. Pour cela, on suppose que peut s'écrire sous forme de fraction irréductible, et on montre que l'on aboutit à une contradiction. Activité : est irrationnel Activité : est irrationnel

11 Supposons que est égal à une fraction irréductible, cest à dire que : PGCD(a ; b) = 1 1. Montrer que l'on aurait alors : donc soit encore : Doù :

12 2. En déduire que l'on aurait 2 b² = a². donc Doù en effectuant les produits en croix : En particulier, 2b² et a² devraient avoir le même chiffre des unités le même chiffre des unités.

13 3. Le chiffre des unités de a peut être 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou... ou 9, celui de b aussi. Compléter les tableaux suivants : Chiffre des unités de a Chiffre des unités de a² Chiffre des unités de b Chiffre des unités de b² Chiffre des unités de 2b²

14 4. Entourer en rouge les chiffres qui convien- nent et barrer ceux qui ne conviennent pas le chiffre des unités de a² peut être : le chiffre des unités de 2 b² peut être : Chiffre des unités de 2b² Chiffre des unités de a²

15 5. En déduire que a devrait se terminer par 0 et que b devrait se terminer par 0 ou Chiffre des unités de a Chiffre des unités de a² Chiffre des unités de b Chiffre des unités de 2b² Donc a devrait se terminer par 0. et b devrait se terminer par 0 ou 5.

16 6. En déduire que l'on pourrait simplifier la fraction par 5. Quelle est la contradiction ? Conclure. Daprès la question 5., a devrait se terminer par 0 et b devrait se terminer par 0 ou 5. Donc a et b sont divisibles par 5. une contradiction Ce qui aboutit à une contradiction. Or, on a supposé est égal à une fraction irréductible, cest à dire que : PGCD(a ; b) = 1 Autrement dit, a et b ont 5 comme diviseur commun.

17 On en conclut que ne peut pas sécrire sous la forme dune fraction. irrationnel On dit que est un nombre irrationnel. 6.Conclure.

18 Irrationnels Le point sur les nombres : Entiers Décimaux 1,5 0,75 -6,4 Rationnels

19 FIN !


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