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Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 20051 Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Philippe.

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1 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Philippe Rabiller 2005

2 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Plan du cours ch.1 Introduction ch.2 Vecteurs et champs ch.3 Champ et Potentiel électrostatiques ch.4 Champ Magnétique ch.5 Induction électromagnétique ch.6 Propagation des ondes électromagnétiques ch.7 Rayonnement électromagnétique

3 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Chapitre 4: Champ Magnétique 4.1Champ magnétique, loi de Biot et Savart 4.2 Force magnétique exercée sur un conducteur 4.3 Le potentiel vecteur 4.4 Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère 4.5 Utilisation du théorème dAmpère 4.6 Dipôle Magnétique 4.7 Matériaux Magnétiques 4.8 … 4.9 … 4.10 …

4 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Champ magnétique, loi de Biot et Savart Nous avons vu que la conclusion de notre exploration rapide du monde de la relativité restreinte concernant la transformation dune force lorsquon lobserve depuis un repère immobile (1) ou depuis un repère animé dun mouvement rectiligne uniforme (2) conduisait à: k 1 i j 2 V

5 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Champ magnétique, loi de Biot et Savart Soit deux charges immobiles dans le repère (2): Q à lorigine et q à la position. Les vitesses v 2x, v 2y et v 2z sont nulles et les forces sécrivent: k 1 i j 2 V q r Q

6 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Champ magnétique, loi de Biot et Savart Appliquons maintenant les transformations de Lorentz aux coordonnées. Pour simplifier on prend les deux charges dans le plan (x,y). k 1 i j 2 V q r Q Cette expression peut se mettre sous la forme vectorielle:

7 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes V k 4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart Nous pouvons donc résumer ainsi les conséquences de la relativité restreinte: La force exercée par une particule chargée sur une autre particule, perçue par un observateur dans un repère fixe - alors que les deux charges sont au repos dans un deuxième repère mobile animé dune vitesse de translation V – ne peut plus sexprimer simplement par une force radiale. Il est nécessaire dajouter une composante perpendiculaire à la première et proportionnelle à la vitesse V. Tout se passe donc comme si on ajoutait un champ supplémentaire: le champ magnétique. Dans le repère où les charges sont mobiles F = q ( E + V B ) E = 4 o r 1 3 Q r 1 B = 4 r 1 2 o Q V sin( ) k F = q EE = Q r 2 4 o r 2 3 Dans le repère où les charges sont au repos q Q 2 r o o =c 2 Force de Lorentz

8 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Remplaçons la charge ponctuelle Q par un petit élément de longueur dl dun circuit électrique dans le plan (x,y) parcouru par un courant I. Ce courant est un débit de charges, cest à dire une quantité de charge par unité de temps (exprimé en ampères, 1A=1Cs -1 ). I dl 4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart Voyons à présent comment calculer le champ magnétique créé, non pas par une charge ponctuelle en mouvement, mais par un courant de charges en mouvement. I dl = Q V La quantité de charge comprise dans lélément de circuit est Q = n e S dl et le courant I donné par dQ/dt vaut donc: I = n e S (dl/dt). Donc en tenant compte du fait quen tout point du conducteur dl et V sont parallèles on peut aussi écrire ceci sous la forme : Supposons que la section S du conducteur électrique est constante sur toute la longueur et que n est la densité homogène de charges mobiles (de charge élémentaire e). S n Or dl/dt représente la vitesse V des charges en écoulement. V

9 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Champ magnétique, loi de Biot et Savart La vitesse des électrons dans les bons conducteurs électriques peut atteindre plusieurs milliers de kilomètres par seconde, mais reste néanmoins très petite devant la vitesse de la lumière. On peut donc remplacer par 1 dans la suite du cours. Dautre part langle est langle compris entre la direction de r et la direction de V donc de dl. Ces deux vecteurs étant dans le plan (x,y) ils sont perpendiculaires au vecteur unitaire k. On a donc: Q V sin( ) k = I dl r sin( ) k / r = r I dl r Et lélément de champ magnétique dB créé par lélément de circuit dl est alors donné par: dB =dB = 4 o r3r3 I dl r Il sagit de la loi de Biot et Savart. Dans le système international le champ magnétique sexprime en Tesla (T), le courant électrique en ampères (A) et les longueurs en mètres (m). La constante o vaut alors Le vecteur r donne la position de lendroit où on calcule le champ, par rapport à lélément de circuit qui est la source de ce champ. !

10 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes V Et la loi de Biot et Savart se généralise de la manière suivante pour un circuit où le courant électrique I est réparti dans lespace avec une densité de courant j (r). B ( r ) =B ( r ) = 4 o r3r3 j (r ) r (r ) d 3 r V r r (r ) 4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart Boucles de courants microscopiques dans certains matériaux « MAGNETIQUES » AIMANTS Le courant I passant à travers une section dS, peut être écrit sous la forme du produit de cette section par une densité de courant j: I = j · dS. Ainsi pour un élément de circuit de longueur dl et de section dS, le produit I dl prend la forme (j·dS) dl = j d 3 r où d 3 r représente un élément de volume du circuit générateur de champ magnétique.

11 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes On exprime dl, sin( ) et r en fonction de et. I 4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart Quelques cas modèles de calcul du champ magnétique à partir de la loi de Biot et Savart Fil rectiligne infini Symétrie axiale + fil infini B ne dépend que de la distance au fil. x y z dBdB 4 o I dl sin( ) r2r2 |dl r| = dl r sin( ) dB = Elément dl // Oz dl r // plan Oxy. r dl · l / = tg( ) dl = d cos 2 · sin = cos · r = cos dB = cos( ) d B = [ sin( ) ] = 4 o I 4 1 =- /2 2 o I 2 = /2

12 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes « Règle du tire-bouchon » Si on regarde dans le sens du courant, les lignes de champ sont: dans un plan perpendiculaire à lélément de courant et au point où on calcule le champ dirigées dans le sens de rotation des aiguilles dune montre. 4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart Rappelons lexpression de la loi de Biot et Savart: dB =dB = 4 o r3r3 I dl r On peut donc retrouver la direction des lignes de champ en utilisant la règle du tire-bouchon: « le courant avance comme le tire-bouchon tourne dans les sens des lignes de champ». I

13 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes = B o sin 3 ( ) Spire circulaire: calcul sur laxe de symétrie 4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart 4 r 2 o I 2 a B z = cos( ) B z = 2(a 2 + z 2 ) 3/2 o I a 2 Par symétrie, B x = B y = 0 4 r 2 o I dl dB z = cos( ) Projection sur direction z Au centre de la spire: B o = 2a o I x y z I a dB z dBdB r

14 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Force magnétique exercée sur un conducteur Plaçons un élément de circuit électrique, de longueur dl et parcouru par un courant électrique I, dans un champ magnétique B. Nous supposons que le champ électrique ambiant est nul et ne nous intéressons donc quà la composante de la force magnétique. La force totale exercée par le champ magnétique sur lélément de longueur dl est la somme de toutes les forces de Lorentz exercées individuellement sur toutes les charges élémentaires, en nombre N = n S dl. I dl B Ici le champ magnétique et lélément de circuit qui est soumis au champ sont au même endroit. ! F = N q V B = Q V B F = I dl B

15 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Le champ crée par un circuit est lintégrale (la somme) du champ crée par un élément infinitésimal en sommant sur la totalité du circuit. 4.2 Force magnétique exercée sur un conducteur De même, la force exercée par un champ magnétique sur un circuit rigide est lintégrale de la force exercée sur tout élément infinitésimal et en sommant sur la totalité du circuit. B =B = 4 o I r3r3 dl r F = I dl B Ainsi la force sexerçant mutuellement entre deux circuits rigides parcourus par des courants I et I est donnée par: F = r3r3 dl ( dl r ) 4 o I I I I r dl dFdF dl r Il peut également sexercer un couple ! Moteurs rotatifs

16 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes ( A) = Le potentiel vecteur De même que le champ électrique dérive dun potentiel électrostatique scalaire, le champ magnétique dérive dun potentiel vectoriel: le potentiel vecteur. Si lintérêt de manipuler un champ scalaire plutôt quun champ vectoriel est évident dans le cas de lélectrostatique, lintérêt de manipuler un potentiel vecteur lest moins à priori, mais permet dune part de faire un parallèle entre électrostatique et magnétisme et recouvre tout son sens lorsquon traite par exemple linteraction rayonnement matière dans le cadre de la mécanique quantique. Rappelons quatre identités vectorielles. Soit deux vecteurs A et B et une fonction scalaire f. ( A B) = B ( A) - A ( B) (fA ) = ( f ) A + f ( A) ( fA ) = ( f ) A + f A

17 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Le potentiel vecteur Divergence du champ magnétique : Calculons la divergence du champ magnétique à partir de lexpression généralisée de la loi de Biot et Savart: Nous avons pu inverser lopérateur Nabla et lintégrale car ces deux opérations agissent sur des coordonnées différentes (Nabla sur « r » et lintégrale sur « r »). Appliquons ensuite la deuxième identité vectorielle au terme de droite de léquation: Le premier terme de droite de léquation est nul car agit sur des fonctions de r et j ne dépend que de r. 0 j = j - j r r3r3 r r3r3 r r3r3 B = 4 o r3r3 j (r ) r (r ) d 3 r ( A B) = B ( A) - A ( B)

18 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Le potentiel vecteur Divergence du champ magnétique : Plaçons nous dans un repère cartésien: r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = r r3r3 y z r3r3 z y r3r3 z x r3r3 x z r3r3 x y r3r3 y x r3r3 y z r3r3 = y z (x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 = r3r3 -3zy z y r3r3 = z y (x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 = r3r3 -3yz + permutations circulaires = 0 r r3r3 Pour calculer le second terme, rappelons que agit sur des fonctions de r, indépendamment de r. On peut donc, pour simplifier, faire le calcul pour la valeur particulière r=0.

19 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Le potentiel vecteur Divergence du champ magnétique : Finalement, nous venons de montrer que la divergence du champ magnétique est nulle. B = 0 Potentiel vecteur : Nous voyons que nous pouvons toujours définir le champ magnétique comme étant le rotationnel dun autre vecteur que nous appellerons Potentiel Vecteur. Le potentiel vecteur nest défini quà un vecteur près dont le rotationnel est nul ! On parle alors de choix de jauge. ( + ) AC = AC + = A C = 0 si Rappelons maintenant la première des identités vectorielles ( A) = 0

20 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Le potentiel vecteur Potentiel vecteur : Pour calculer le potentiel vecteur, nous repartons de lexpression générale du champ magnétique et utilisons la troisième identité vectorielle: (fA ) = ( f ) A + f ( A) B ( r ) =B ( r ) = 4 o r3r3 j (r ) r (r ) d 3 r Mais avant, faisons apparaître le terme sous une forme différente : r r3r3 1 r - 1 r = x 1 (x 2 +y 2 +z 2 ) 1/2 y 1 (x 2 +y 2 +z 2 ) 1/2 z 1 (x 2 +y 2 +z 2 ) 1/2 = - x r3r3 y r3r3 z r3r3 r r3r3

21 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Le potentiel vecteur Potentiel vecteur : On peut donc écrire le champ magnétique sous la forme: B ( r ) = j (r ) d 3 r 4 o 1 r 0 Or 1 r j = j r - 1 r j (r ) B ( r ) = d 3 r 4 o r j (r ) Ce qui conduit pour le champ magnétique à: A ( r ) = d 3 r 4 o r j (r ) On aboutit donc à la définition du potentiel vecteur (après inversion de « Nabla » et du « Signe Somme »:

22 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Le potentiel vecteur Parallèle avec le potentiel électrostatique : V( r ) = 1 4 o ( r)d 3 r | r - r | A ( r ) = d 3 r 4 o | r - r | j ( r ) - V( r ) = E( r ) A( r ) = B( r ) r r - r r + Scalaire !!! Vectoriel !!! Replaçons nous dans la même géométrie que celle adoptée pour létude du potentiel électrostatique: Ces lois ne sont vraies, sous cette forme, que dans le cas statique. Nous verrons quil faut les compléter en électrodynamique… !

23 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère En électromagnétisme il y a le théorème de Gauss qui relie le flux du champ électrique à travers une surface fermée à la charge électrostatique totale contenue dans le volume délimité par la dite surface. De la même manière il existe un autre théorème que nous allons démontrer - le théorème dAmpère - qui relie la circulation du champ magnétique le long dun contour au courant total traversant la surface sappuyant sur ce contour. = E·dS = = q i o Q total o S C = B·dl = o I i = o I total L V Q E dSdS SVSV S B dldl I

24 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Par symétrie: (on remplace r par r) = - 1 | r - r | = | r - r | 3 1 | r - r | r - r 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère Pour mener à bien la démonstration nous avons besoin de calculs préliminaires. r r - r r + Montrons que = - 1 | r - r | 1 | r - r | | r - r | = ( (x-x) 2 + (y-y) 2 + (z-z) 2 ) 1/2 V x = - · ((x-x) 2 +(y-y) 2 +(z-z) 2 ) 3/2 2(x-x) 2 1 V x = - x-x | r - r | 3 1 | r - r | V = 1 | r - r | = - | r - r | 3 r - r Ici, gradient dans le monde « sans prime »

25 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère Montrons à présent que ·A = 0 pour une distribution de charge statique. · A ( r ) = · d 3 r 4 o | r - r | j ( r ) · =·j ( r ) + j ( r ) · | r - r | j ( r ) 1 | r - r | 1 Remplaçons le gradient en « r » par son homologue en « r». · = ·j ( r ) + j ( r ) · | r - r | j ( r ) 1 | r - r | | r - r | 1 Et utilisons légalité: = - 1 | r - r | 1 | r - r | ( fA ) = ( f ) A + f A 0

26 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère Nous obtenons alors: · | r - r | j ( r ) | r - r | 1 · = | r - r | j ( r ) ·j ( r ) - · A ( r ) = d 3 r - d 3 r 4 o · | r - r | j ( r ) | r - r | 1 ·j ( r ) 4 o ·j ( r ) exprime la loi de conservation de la charge et vaut donc -d (r )/dt. On a donc : A ( r ) = d 3 r · o | r - r | ( r) 4 o 1 t = c2c2 V ( r ) t V d 3 r = d V V = d V /d 3 r V = j [j] = charge/unité de temps/unité surface d j /d 3 r (charge /unité volume )/unité de temps Théorème de la divergence intégrale de surface contenant tous les courants. A la surface le courant est alors nul ou tangent à la surface. Donc lintégrale est nulle.

27 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes A ( r ) + = 0 · c2c2 1 V ( r ) t 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère Nous retrouvons, via les potentiels vecteur et électrostatique, que magnétisme et électrostatique sont bien deux grandeurs liées, ce que nous avait appris lintroduction à la relativité restreinte. Dans le cas de courants continus, ou régime stationnaire, le potentiel électrostatique ne dépend pas du temps et la divergence du potentiel vecteur est nulle, ce que nous cherchions à démontrer. A ( r ) = 0 · V ( r ) t = 0 Nous allons, une nouvelle fois, utiliser une identité que nous ne démontrerons pas ici (mais que vous pouvez vérifier vous même). Rotationnel du champ magnétique : B = ( A) ( A) = ( ·A) - 2 A vecteur0 2 A x 2 A y 2 A z

28 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère Reprenant lexpression du potentiel vecteur trouvée précédemment et notant encore une fois que lopérateur Nabla nagit que sur les coordonnées en « r », on peut donc écrire le rotationnel du champ magnétique sous la forme: d 3 r 4 o j ( r ) | r - r | B = - 2 A = - 2 j ( r ) d 3 r 4 o B = - 2 A = - | r - r | 2 1 Il faut donc calculer | r - r | 2 1 = · 1 R 1 Où pour alléger lécriture nous posons: = (x-x) 2 + (y-y) 2 + (z-z) 2 1/2 = X 2 + Y 2 + Z 2 1/2 | r - r | R = Et donc les opérations de dérivées seront en " / X " etc.

29 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère Calculons la composante suivant X de R 1 R 1 X = X 2 + Y 2 + Z 2 1/2 1 X = X 2 + Y 2 + Z 2 3/2 - (1/2) 2X = R3R3 -X On aurait pu déduire les deux dernières expressions par permutations circulaires... Le laplacien est alors donné par la divergence du vecteur que nous venons de trouver: | r - r | 2 1 = · R 1 = + X R3R3 -X Y R3R3 -Y + Z R3R3 -Z R 1 Y = X 2 + Y 2 + Z 2 1/2 1 Y = X 2 + Y 2 + Z 2 3/2 - (1/2) 2Y = R3R3 -Y R 1 Z = X 2 + Y 2 + Z 2 1/2 1 Z = X 2 + Y 2 + Z 2 3/2 - (1/2) 2Z = R3R3 -Z De même pour les composantes suivant Y et Z de R 1

30 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère Calculons la composante suivant X du laplacien : X 2 + Y 2 + Z 2 3/2 X X X R3R3 X - = - X 2 + Y 2 + Z 2 3 X 2 + Y 2 + Z 2 3/2 - X (3/2) 2X X 2 + Y 2 + Z 2 1/2 = - R5R5 2X 2 - Y 2 - Z 2 = X R3R3 X - Et par permutation circulaire : | r - r | 2 1 = R5R5 2X 2 - Y 2 - Z X Y 2 - Z X 2 - Y 2 +2 Z 2 | r - r | 2 1 = 0 Sauf pour r = r !!!

31 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère En conclusion cette expression du rotationnel du champ magnétique, sous forme intégrale, na de sens que localement, cest à dire pour r r !!! Soit alors un petit volume Ventourant r et suffisamment petit pour considérer j( r) homogène sur ce volume - donc égal à j( r) - et qui peut être sorti de lintégrale. | r - r | 2 1 = - | r - r | 2 1 Comme nous lavions vu pour le gradient de 1/|r-r|, nous avons légalité suivante pour les laplaciens dans les mondes en « r » et « r»: j ( r ) d 3 r 4 o B = - 2 A = - | r - r | 2 1 On a alors pour le rotationnel du champ magnétique: 4 o j ( r ) B = d 3 r | r - r | 2 1 V En « r » V tend vers zéro autour de la position r où on regarde le champ magnétique B !

32 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère Appliquons le théorème de la divergence à léquation obtenue: 4 o j ( r ) B = d 3 r | r - r | 2 1 V 2 1 = · | r - r | 1 S | r - r | 1 ·dS·dS S ·dS·dS | r - r | 3 ( r - r ) S est une petite surface entourant r. On peut donc prendre une sphère et R = r-r est parallèle à dS 4 o j ( r ) B = S dSdS R2R2 Or dS en coordonnées sphériques est égal à R 2 sin( )d d. Donc lintégrale vaut 4.

33 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ magnétique - théorème dAmpère On aboutit donc après ces quelques étapes de calcul à lexpression locale du théorème dAmpère: B( r ) = o j ( r ) Expression valable uniquement en régime stationnaire et pour des matériaux non magnétiques !!! ! Nous pouvons alors intégrer le rotationnel du champ magnétique, ainsi que la densité de courant sur toute une surface: B( r ) ·dS = o j ( r ) dS S S B( r )·dl = o I C Théorème de Stokes Courant traversant la surface S Théorème dAmpère

34 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Utilisation du théorème dAmpère Long cylindre conducteur : Soit un long cylindre conducteur parcouru par un courant I o de densité homogène j sur toute la section du cylindre de rayon R : I o = R 2 j I(r) = r 2 j Pour un cylindre de rayon r R : 2 r B = o I(r) B(r R ) = o I o r 2 R 2 Pour un cylindre de rayon r R : I(r) = R 2 j = I o 2 r B = o I o B(r R ) = o I o 2 r Symétrie axiale B ne dépend que de r !!! B( r )·dl = C Rr B(r) Le champ magnétique pénètre linéairement dans un milieu conducteur parcouru par un courant homogène Si on considère « long » comme « infini », on sait que par symétrie seule la composante azimutale est non nulle. On prend comme contour adapté à la symétrie un cercle perpendiculaire à laxe du conducteur.

35 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes I z 4.5 Utilisation du théorème dAmpère Long solénoïde: Par symétrie B ne dépend ni de z ni de x y z BrBr B BzBz z Composante radiale B B·dS = + B z ·dS = + z B·dS = + B ·S·l B·dS = - B z ·dS = - z Ceci est vrai que le cylindre soit à lintérieur ou à lextérieur du solénoïde. B = 0 Comme, alors le flux de B à travers une surface fermée est nul. B = 0

36 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes I z 4.5 Utilisation du théorème dAmpère Long solénoïde: Le contour C est traversé une fois par le courant I et donc à lextérieur du solénoïde la composante azimutale est donnée par (sauf si le pas de lhélice est nul, auquel cas le contour nest traversé par aucun courant) : Composante azimutale B La circulation du champ magnétique le long dun contour du type C (de rayon ) où C donne: C C B·dl = 2 B C A lintérieur du solénoïde, le contour C nest traversé par aucun courant et donc B =0 partout à lintérieur. B = o I /2 à lextérieur

37 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes I z 4.5 Utilisation du théorème dAmpère Long solénoïde: Vu de loin ( ), le solénoïde ressemble à un fil infini et B z ( ) = 0, donc B z =0 partout à lextérieur. Le contour, de longueur h=1 suivant « z » est traversé par un courant N I où N est le nombre de spires par unité de longueur du solénoïde. La circulation de B le long de ce contour vaut B z ·h = B z = o N I où B z est alors la seule composante non nulle de B à lintérieur du solénoïde. B z = o N I à lintérieur Composante axiale B z Comme en dehors du conducteur, on a donc à lintérieur comme à lextérieur du solénoïde: B( r ) = o j ( r ) = 0 B z = 0 ( B = 0 et B =cste ) Cest à dire que B z est constant et peut prendre au plus deux valeurs distinctes à lintérieur ou à lextérieur du solénoïde.

38 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Utilisation du théorème dAmpère Long solénoïde: Résumé et Lignes de champ B = 0 B z = o N I à lintérieur B = o I /2 à lextérieur I z = 0 si hélice à pas nul !!!

39 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle Magnétique De même que la notion de développement multipolaire est importante et en particulier celle de dipôle électrique car souvent utilisée pour modéliser le comportement de la matière au point de vue électrique, il est important également de faire apparaître la notion de dipôle magnétique, dautant que les « monopôles » magnétiques nexistent pas. Comme dans le cas électrique, la notion de dipôle magnétique fait référence à une situation où lobservation du champ magnétique ou du potentiel vecteur se fait loin du circuit qui leur donne naissance. Cette description est tout à fait adaptée lorsquon sintéresse par exemple aux propriétés magnétiques des atomes où les électrons gravitant autour des noyaux constituent des boucles microscopiques de courant (diamagnétisme et paramagnétisme électronique).

40 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Le plan xOz est un plan de symétrie et pour tout élément dl à lazimut, il existe un autre élément à lazimut – de telle sorte que les composantes du potentiel vecteur sajoutent suivant y et sannulent suivant x. z x y Intéressons nous à la boucle de courant ci dessous, r 4.6 Dipôle Magnétique dldl a r A (x,0,z) et plus particulièrement au calcul du potentiel vecteur au point (x,0,z). Soit e le vecteur unitaire parallèle à dl pour lazimut. A =A = 4 o I e r a cos d 0 2 A ( r ) = d 3 r 4 o r j (r ) j(r)d 3 r = I dl = I a d e

41 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle Magnétique z x y r dldl a r A (x,0,z) dune part r 2 = r 2 + a 2 – 2ar cos. dautre part r >> a r r cos a2a2 2r 2 a r le produit scalaire r·a sécrit ra cos ou xa cos a cos d cos a2a2 2r 2 ax r2r2 A =A = 4 r o I e 0 2 or x = r sin I a 2 x r3r3 A =A = 4 o e I a 2 r3r3 A =A = 4 o e r sin expression que lon peut mettre sous la forme: r3r3 A =A = 4 o m r Il faut exprimer r en fonction de r et.

42 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle Magnétique z x y r A m r3r3 A =A = 4 o m r le potentiel vecteur sexprime donc sous la forme dun produit vectoriel: la quantité m = I S est le dipôle magnétique associé à la boucle de courant. Son module est donné par le produit du courant par la surface sappuyant sur la spire de courant jusquà présent supposée plane. Pour une boucle non plane, on peut généraliser la notion de moment dipolaire (cf. moment inertie en mécanique) : + r dldl m = r Idl 1 2

43 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle Magnétique r3r3 A =A = 4 o m r Calculons à présent le champ magnétique: B( r ) = A( r ) z x y r B m ici r est quelconque

44 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle Magnétique

45 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes z x y r m 4.6 Dipôle Magnétique On peut remettre cette expression du champ magnétique sous forme vectorielle indépendante dun choix de repère. On voit apparaître une composante le long du vecteur r et une deuxième dans la direction opposée au moment dipolaire magnétique. BmBm 4 o r3r3 Bm =Bm = -m B r5r5 B =B = 4 o 3(m · r ) · r - r 2 m BrBr r5r5 Br =Br = 4 o 3(m · r ) r

46 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle Magnétique Analogie avec le champ électrique créé par un dipôle électrique. r5r5 B =B = 4 o 3(m · r ) · r - r 2 m BmBm z x y r m B BrBr EpEp z x y r p E ErEr r5r5 E =E = 4 o 1 3(p · r ) · r - r 2 p

47 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Matériaux Magnétiques Dans les substances « magnétiques » il existe des « boucles de courant microscopiques » qui donnent naissance à des dipôles magnétiques. Ces dipôles peuvent sajouter de façon constructive et la matière devenir ainsi « aimantée ». M = N m Si N est la concentration en dipôles magnétiques m par unité de volume, on définit alors laimantation M par unité de volume par : Le potentiel vecteur produit par un élément de volume d 3 r est alors donné par: dA = 4 o M d3rd3r | r - r |3| r - r |3 ( r - r ) Le potentiel vecteur total vaut: A ( r ) = d 3 r 4 o M | r - r || r - r | 1 r - r 1 | r - r | = | r - r | 3 Et comme on a déjà montré que:

48 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Matériaux Magnétiques ( A B) = B ( A) - A ( B) (fA ) = ( f ) A + f ( A) Pour cela on va utiliser des identités, devenues familières (ou presque) : A ( r ) = d 3 r + d 3 r 4 - o | r - r || r - r | M 4 o | r - r || r - r | M La première nous permet la séparation en deux intégrales: A ( r ) = d 3 r 4 o M | r - r || r - r | 1 On peut ramener la précédente intégrale en volume en une somme de deux intégrales, lune de surface et lautre en volume faisant apparaître des densités équivalentes de courant en surface e et volume j e :

49 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Matériaux Magnétiques Dans la deuxième intégrale de la partie droite de léquation, on reconnaît la forme de la définition générale du potentiel vecteur, à condition de poser: ( M C) = C ( M ) - M ( C) Pour faire apparaître une expression similaire pour la première intégrale on utilise lidentité suivante, où le vecteur C est un vecteur constant et le vecteur M = M/|r-r|: j e = M 0 Le théorème de la divergence nous permet de passer dune intégrale de volume à une intégrale de surface:

50 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Matériaux Magnétiques A ( r ) = dS + d 3 r 4 o | r - r || r - r | e 4 o | r - r || r - r | jeje e et j e sont des densités de courants dits « Ampériens », à ne pas confondre avec les courants « libres » générés par la mise en mouvement des porteurs de charge libres sous laction dun champ électrique externe. Ceci doit être vrai quelque soit le vecteur C constant, donc les deux intégrales entre parenthèses sont égales: On a donc finalement, en posant: e = M n où n est le vecteur normal à la surface en tout point

51 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Matériaux Magnétiques Champ magnétique auxiliaire: sil existe simultanément des courants de charges libres et des courants équivalents ampériens (matière aimantée), le théorème dAmpère est toujours applicable. Dans la version « locale », avec j l et j e les densités de courant libre et équivalente, le théorème dAmpère sécrit donc: B( r ) = o ( j l ( r ) + j e ( r ) ) En rappelant lexpression de la densité de courant équivalente en fonction de laimantation on aboutit à: j e = M B( r ) = o ( j l ( r ) + ( r ) ) M ( ) = j l ( r ) - M B( r )B( r ) o Nous introduisons alors la quantité que nous appellerons champ magnétique auxiliaire. H = - M- M o B

52 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Matériaux Magnétiques Le théorème dAmpère prend donc une forme nimpliquant que les courants de charges libres lorsqueil est exprimé en fonction du champ magnétique auxiliaire: H( r ) = j l ( r ) H( r )·dl = I l Et sans rentrer dans le détail de lorigine microscopique des dipôles magnétiques, on peut traiter laimantation dun matériau aimanté dans le cadre de la Réponse Linéaire, cest à dire quon écrit que la réponse « Aimantation » est proportionnelle à lexcitation « champ magnétique »: B = o (H + M) M = m H B = H = o (1+ m ) H = o r H m sappelle la susceptibilité magnétique et r la perméabilité relative.

53 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Cas des milieux isolants (diélectriques) Dans les milieux isolants, les charges ne sont pas libres de se déplacer « indéfiniment » lorsquelles sont soumises à un champ électrique. Elles sont liées à des « centres attracteurs » et ne peuvent sécarter plus dune certaine distance de ces attracteurs, entraînant cependant localement la formation de petits dipôles électriques. Supposons un matériaux homogène de volume donné où ces dipôles de moment dipolaire p sont en concentration n. Le moment dipolaire total P ou Polarisation Electrique de léchantillon « par unité de volume » vaut: P = np Le potentiel électrostatique créé par unité de volume est alors donné par : dV( r ) = d 3 r P·(r - r) 4 o |r - r| 3 valable « loin » du diélectrique !!! P d3rd3r V( r ) rr -

54 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes dV( r ) = d 3 r P· (1/r) 4 o 3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques) On peut transformer cette expression en introduisant le gradient de la fonction 1/r où r ( r) = |r - r| : Par intégration sur tout le volume de diélectrique on obtient : r 1 V( r ) = P· d 3 r 1 4 o Expression que lon peut transformer en tenant compte de lidentité : ( fA ) = ( f ) A + f A P d3rd3r V( r ) rr -

55 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Cas des milieux isolants (diélectriques) En posant f= 1/r on obtient : V( r ) = · d 3 r - d 3 r 1 4 o r P1 ·P r intégrale de volume intégrale de surface V( r ) = - d 3 r 1 4 o 1 ·P r P·dS r Or on a déjà vu que le potentiel est de la forme V(r) = (1/ 4 o ) dq/r Donc si N est le vecteur normal à la surface: P·N représente une densité de charge surfacique de charges liées, tandis que - ·P représente une densité de charge volumique. Si la polarisation est constante dans lespace, alors seule la densité de charge surfacique existe. Un diélectrique parallèlépipédique où la polarisation serait perpendiculaire à deux faces se comporte comme un condensateur plan !

56 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Cas des milieux isolants (diélectriques) La conservation de charge, implique que si la distribution de charge volumique (de charges liées) est non nulle, il existe un courant de polarisation associé: ·j pol = - = liée t ·P t Lorsquon applique léquation de Poisson reliant champ électrique et charge, il faut prendre la charge totale, cest à dire la somme des charges libres et liées. j pol = P t ·D = libres D = o E + P On introduit alors une nouvelle grandeur, appelée Déplacement Electrique que lon note D et qui est définie par: On peut également dire quà lintérieur dun diélectrique le champ électrique est la somme de deux contributions: une contribution associées aux charges libres D/ o et une contribution associée aux charges liées -P/ o.

57 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Cas des milieux isolants (diélectriques) Sans rentrer dans le détail de lorigine microscopique des dipôles, on peut traiter la polarisation électrique dun diélectrique dans le cadre de la Réponse Linéaire, cest à dire quon écrit que la réponse « Polarisation » est proportionnelle à lexcitation « champ électrique »: P = E D = o (1+ )E = o r E = E est la susceptibilité électrique r est la permittivité électrique relative du milieu est la permittivité électrique ou constante diélectrique du matériau Dans le vide =0 et r =1. La plupart des matériaux ont une permittivité relative comprise entre 2 et 5. Cependant on peut trouver des matériaux où cette permittivité relative peut dépasser 10 5 !

58 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes P = E M = m H 4.7 Matériaux Magnétiques Parallèle avec la polarisation électrique: On peut établir un parallèle entre électrostatique et magnétostatique: B = o (H + M) H = j l j e = M B = o j tot ·D = libres j pol = P t ·E = tot o D = o E + P H = B - M o cham p dans le vide champ auxiliaire dans la matière Réponse de la matière « Dans le vide on voit toutes les charges et les courants » « Mais dans la matière les charges et les courants libres sont différents»


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