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Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 20051 Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Philippe.

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1 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Philippe Rabiller 2005

2 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Plan du cours ch.1 Introduction ch.2 Vecteurs et champs ch.3 Champ et Potentiel électrostatiques ch.4 Champ Magnétique ch.5 Induction électromagnétique ch.6 Propagation des ondes électromagnétiques ch.7 Rayonnement électromagnétique

3 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Chapitre 5: Induction électromagnétique 5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice 5.2 Champ électrique induit en fonction du potentiel vecteur 5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement 5.4 Inductance mutuelle, self-inductance 5.5 Force exercée sur un circuit 5.6 Energie emmagasinée dans un champ magnétique 5.7 Résumé 5.8 … 5.9 … 5.10 …

4 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ électrique – force électromotrice Reprenons les expressions du champ électrique et du champ magnétique obtenues dans le cadre de notre exploration rapide du monde de la relativité, en généralisant au cas où la charge test q nest pas forcément dans le plan (x,y). E = 4 o [ 2 [(x- V t) 2 +y 2 +z 2 ] 3/2 Q[(x- V t) i + yj + zk] B = 4 [ 2 [(x- V t) 2 +y 2 +z 2 ] 3/2 o Q V [-zj + yk] Nous allons montrer quil existe une relation entre le rotationnel du champ électrique et la dérivée par rapport au temps du champ magnétique: E = - B t Dans le repère où les charges sont mobiles 1 V k q Q 2 r i j

5 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes [ 2 [(x- V t) 2 +y 2 +z 2 ] Pour alléger lécriture on note [ ] la quantité Calculons en premier lieu le rotationnel de E. - y z [ ] 3/2 z y [ ] 3/2 ( ) E x = ( ) E z y E y z - = Q 4 o ( ) - x x - V t [ ] 3/2 y z [ ] 3/2 E z = ( ) E y x E x y - = Q 4 o ( ) - z x - V t [ ] 3/2 x z [ ] 3/2 E y = ( ) E x z E z x - = Q 4 o = Q (x - V t) [ ] 5/2 ( 2 -1) z = Q 4 o (x - V t) [ ] 5/2 (1 - 2 ) y = Rotationnel du champ électrique – force électromotrice

6 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Calculons ensuite la dérivée par rapport au temps de B. = Q 4 o (x - V t) [ ] 5/2 ( 2 -1) [+z j - y k ] E = B t = o Q V 4 -z [ ] 3/2 t j + y [ ] 3/2 t k = o Q V 4 V (x - V t) [ ] 5/2 [ -z j + y k ] = Q 4 o (x - V t) [ ] 5/2 [ -z j + y k ] B t V c2c2 Or ( 2 - 1)/ 2 = ( V /c) 2 E = - B t 5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice

7 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Nous pouvons ensuite utiliser le théorème de Stokes pour trouver une équation intégrale équivalente (circuit fermé): E·dl = - t B·dS t = Rotationnel du champ électrique – force électromotrice Dimension dune tension mesurée en volts Soppose à la variation du flux du champ magnétique Variation du flux du champ magnétique Force électromotrice dinduction Loi dinduction de Faraday En labsence de variation de flux comme stipulé par les lois de lélectrostatique sans effet relativiste. E·dl = 0

8 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ électrique – force électromotrice De nombreux exemples de montages ont été proposés par Faraday au début du XIXème mettant en évidence les phénomènes dinduction. En voici un pédagogique. Un circuit électrique formé dun premier conducteur en « U » sur lequel un deuxième conducteur rectiligne peut glisser ou rouler est placé dans un champ magnétique homogène. B udtudt Par unité de temps le flux magnétique balayé est égale à = l u B t l I Les électrons de conduction de charge –e vont subir une force de Lorentz parallèle au conducteur et donc générer un courant I F = -e( u B ) Supposons que le conducteur mobile se déplace à la vitesse u. u

9 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes E·dl = - t B·dS t = - = - l u B 5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice La loi dinduction de Faraday sécrit donc: Si le circuit était ouvert (conducteur rectiligne seul), la force exercée tendrait à écarter les charges positives et négatives vers les extrémités du fil. Cette séparation créerait un champ électrique qui sopposerait à la séparation des charges. Cest précisément la force électromotrice. u I F = -e( u B ) B udtudt l

10 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ électrique – force électromotrice F = -e( u B ) = -e E Localement on a donc: u I F = -e( u B ) B udtudt l - t E·dl = ( u B ) ·dl = Et de façon intégrale:

11 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Rotationnel du champ électrique – force électromotrice Cours de Physique de Berkley, 2. Electricité et Magnétisme E.M.Purcell. Dynamo Le principe inverse est possible aussi Moteur Mesure de champ magnétique (Imagerie médicale, disques durs, etc. Applications

12 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Champ électrique induit en fonction du potentiel vecteur E = - B t B = A E + A t = 0 Puisque le rotationnel de lexpression entre parenthèses est nul, cette expression doit donc être égale à un gradient (gradient dun potentiel scalaire, facile à vérifier…). Il sagit du potentiel électrostatique en présence de champ magnétique. E = - - V A t Champ magnétique variable Accumulation de charges Dans les deux cas le champ électrique engendré soppose au phénomène qui lui donne naissance. On peut écrire le champ électrique en fonction du potentiel vecteur pour montrer que le champ électrique ne dérive pas que du seul potentiel électrostatique.

13 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes C a (t) 5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement Soit un système en mouvement, éventuellement déformable, tel quun contour fermé C, repérable dans ce système, passe du contour C a au temps t au contour C b au temps t+dt. Supposons également que le champ magnétique varie dans lespace et dans le temps. C b (t+dt) udt P Soit P un point du contour C a au temps t qui subit un déplacement udt, où u est la vitesse du point P. La force électromotrice est toujours donnée par le taux de variation du flux magnétique à travers le contour C. Il faut donc calculer la différence entre le flux total du champ magnétique « B b » à travers C b au temps t+dt et celui du champ « B a » à travers C a au temps t.

14 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Force électromotrice dans un circuit en mouvement C a (t) C b (t+dt) udt P La variation du flux à travers la surface sappuyant sur le contour fermé C pendant le temps dt est donc donnée par: Nous pouvons utiliser le fait que la divergence du champ magnétique à un instant donné est nulle en tout point de lespace pour trouver une relation entre les champs « B a » et « B b » au temps « t+dt ». Nous chercherons ensuite une relation entre le flux du champ « B a » aux temps « t » et « t+dt ».

15 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Force électromotrice dans un circuit en mouvement C a (t) dS = (dl u )dt dldl C b (t+dt) udt P Calculons le flux sortant du champ magnétique à travers la surface délimitant le volume V balayé par le contour C entre les temps t et t+dt et écrivons que le résultat est nul ( La divergence de B est nulle, donc le flux à travers une surface fermée aussi). En plus des surfaces sappuyant sur les contours C a et C b, nous devons tenir compte de la surface latérale, dont un élément infinitésimal dS est donné par le produit vectoriel du déplacement du contour udt par un déplacement infinitésimal dl le long du contour C a. surface sappuyant C b surface sappuyant C a surface latérale, intégration uniquement suivant dl à u fixée.

16 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Force électromotrice dans un circuit en mouvement Par le théorème de Stokes, nous pouvons ramener lintégrale sur le contour fermé C a à une intégrale de surface sur la surface S a sappuyant sur C a. Pour trouver la relation entre le flux du champ « B a » aux temps « t » et « t+dt », nous écrivons la différentielle du produit scalaire « B.dS » En reportant ces relations dans lexpression du taux de variation du flux magnétique d /dt à travers le contour C entre les instants t et t+dt on aboutit finalement à: Dans la limite où dt tend vers zéro, il ny a plus de différence entre S a et S b. +

17 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Force électromotrice dans un circuit en mouvement On peut à nouveau appliquer le théorème de Stokes pour la circulation du champ électrique: Cette égalité doit être vraie quelque soit le contour et donc la surface sappuyant sur ce contour. Les quantités sous les intégrales doivent donc être égales:

18 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Inductance mutuelle, self inductance. Lorsquun circuit électrique C 1 parcouru par un courant I 1 « voit » un autre circuit électrique C 2, il produit dans ce deuxième circuit un flux magnétique. Si ce flux magnétique est variable, alors une force électromotrice fem sera induite dans le deuxième circuit. Et si r est la résistance du circuit C 2, un courant i = fem / r circulera dans C 2. C1C1 I1I1 C2C2 Calculons le flux 12 produit par le courant I 1 dans le circuit C 2 en passant par le potentiel vecteur et en utilisant le théorème de Stokes. E·dl = - t B·dS t = -

19 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Inductance mutuelle, self inductance. r C1C1 I1I1 C2C2 dl1dl1 dl2dl2 Introduisons maintenant la définition du potentiel vecteur. Ce que lon peut mettre sous la forme : Inductance mutuelle Fromule de Neumann

20 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Inductance mutuelle, self inductance. Le produit scalaire étant commutatif, linductance mutuelle est indépendante du choix de la numérotation des deux circuits et M 12 = M 21. La force électromotrice fem 2 induite dans le circuit C 2 par le courant I 1 sécrit alors: De même la force électromotrice fem 1 induite dans le circuit C 1 par un courant I 2 sécrirait: Il sagit là du principe de fonctionnement des transformateurs électriques

21 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Inductance mutuelle, self inductance. Lorsque le circuit C C 2 est le circuit C 1 lui même, il est traversé par son propre flux. C I La force électromotrice induite, qui soppose à la variation de courant, sajoute aux « tensions » présentes dans le circuit. La quantité L M 11 sappelle la self-inductance. Elle se mesure, comme linductance mutuelle, en « Henry » dans le système international. Une variation de 1 ampère en 1 seconde induit une force électromotrice de 1 volt dans un circuit dont la self-inductance est de 1 Henry.

22 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Inductance mutuelle, self inductance. Exemple du long solénoïde. lN spires R A lintérieur du solénoïde, le champ magnétique est quasiment constant et dirigé suivant laxe du solénoïde. Le flux pour une spire est donné par: Varie ~ N Pour N spires le flux total à travers le solénoïde est N et la self inductance: Varie ~ N 2

23 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Inductance mutuelle, self inductance. Exemple du long solénoïde. le flux par spire dans le deuxième solénoïde est le même, et le flux total N. Doù on déduit linductance mutuelle: lN spires R Si on place à lintérieur du solénoïde, un deuxième solénoïde de N spires, de diamètre voisin du premier et de longueur l< l,

24 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Force exercée sur un circuit. Revenons au calcul de la force exercée sur un élément de circuit électrique plongé dans un champ magnétique pour faire apparaître une relation entre travail et variation de flux magnétique. I Idl F B Si aucune autre force ne compense la force de Lorentz, lélément de circuit se déplace sous laction de la force. Pour un déplacement élémentaire, le travail de la force sécrit: Le travail élémentaire dépend de deux variables Invariance par permutation circulaire dr dl dS Aire balayée

25 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Force exercée sur un circuit. Le produit B·dS nest autre que le flux élémentaire à travers la surface balayée élémentaire. On parle de flux coupé. La puissance absorbée (travail par unité de temps) peut se mettre sous une forme qui vous est familière « P = U·I ». Pour un circuit RIGIDE qui effectue un déplacement macroscopique donné, on peut relier le travail fourni à la variation de flux à travers le circuit avant ( S 1 ) et après ( S 2 ) le déplacement (et non plus au flux au travers la surface balayée S b ). S1S1 S2S2 SbSb

26 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes SbSb 5.5 Force exercée sur un circuit. S1S1 S2S2 Si on applique la règle du trièdre direct pour le produit vectoriel dr dl, la surface balayée S b est dirigée vers lintérieur. Les surfaces sappuyant sur le circuit initial S 1 et final S 2 sont orientées dans le même sens (règle du tire- bouchon), donc vers lintérieur pour S 1 et vers lextérieur pour S 2. Puisque la divergence du champ magnétique est nulle en tout point, le flux à travers une surface fermée est nul également. Donc le flux coupé (à travers la surface balayée) b peut sécrire en fonction des flux initial et final à travers le circuit: b = 2 - 1

27 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Force exercée sur un circuit. Lorsque le circuit « démarre », le flux coupé est nul. Le travail total au cours du déplacement est donc: W = I( b - 0 ) = I ( ) W = I circuit Si le circuit se déplace, cest que le travail « moteur » est positif, donc circuit > 0. Si au cours du déplacement le flux est maximal, ensuite tout circuit consécutif serait négatif et donc tout déplacement spontané impossible. Règle: Un circuit électrique indéformable est en équilibre stable dans un champ magnétique constant lorsque le flux magnétique qui le traverse est maximal.

28 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Force exercée sur un circuit. On peut alors trouver une nouvelle manière de calculer la force ou le couple qui sexerce sur un circuit indéformable: Pour la force: dW = F.dr = Id F = I = I ie. x = I d /d si rotation // Ox Pour le couple: dW = F.dr = F·(d r ) = d ·( r F ) = · d = Id On peut également retrouver le moment magnétique dune spire: N B = BS cos( ) d = - BS sin( ) d x x = I d /d = -IS B sin( ) = - M B où M = I S Moment dipolaire magnétique de la spire

29 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Energie emmagasinée dans un champ magnétique. Pour calculer lénergie emmagasinée dans un champ magnétique, repartons de la définition de la puissance électrique P=UI. Supposons un petit élément de circuit de section dS et de longueur dl, parcouru par un courant électrique I. I= j ·dS U= E ·dl La puissance dissipée par unité de volume est donnée par: E = - - V A t Or nous avons vu que le champ électrique est donné de manière très générale par: Dautre part, le théorème dAmpère donne pour la densité de courant: B = o j

30 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Energie emmagasinée dans un champ magnétique. Expression que lon peut transformer à laide dune identité mathématique: Il y a donc une partie de la puissance dissipée liée au champ magnétique: On peut ensuite intégrer sur tout le volume et utiliser le théorème de la divergence pour transformer lintégrale du deuxième membre de droite en une intégrale de surface:

31 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Energie emmagasinée dans un champ magnétique. Le champ magnétique varie en 1/r 3, le potentiel vecteur en 1/r 2 et la surface en r 2. On a donc la primitive dune fonction en 1/r 3 à calculer pour r. Lintégrale est donc nulle et il ne reste que : Que lon peut transformer en: On en déduit donc lénergie par unité de volume liée au champ magnétique: Expression à rapprocher de

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