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Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 20051 Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Philippe.

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1 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Philippe Rabiller 2005

2 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Plan du cours ch.1 Introduction ch.2 Vecteurs et champs ch.3 Champ et Potentiel électrostatiques ch.4 Champ Magnétique ch.5 Induction électromagnétique ch.6 Propagation des ondes électromagnétiques ch.7 Rayonnement électromagnétique

3 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Chapitre 6: Propagation des ondes électromagnétiques 6.1 Introduction 6.2 Equations de Maxwell 6.3 Equations de propagation dans le vide 6.4 Ondes électromagnétiques 6.5 Energie transportée par une onde électromagnétique 6.6 Réflexion - Réfraction aux interfaces 6.7… 6.8 … 6.9 … 6.10 …

4 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Introduction Dans les chapitres traitant délectrostatique et de magnétostatique, nous avons obtenu des équations locales qui régissent les champs électrique et magnétique statiques en fonction des potentiels scalaire et vecteur (statiques) et des densités de charge ou de courant (stationnaires). Sur la route du théorème dAmpère, nous avions entrevu en calculant le rotationnel du champ magnétique (ch.4.4), linter-dépendance entre le potentiel vecteur et le potentiel scalaire: Théorème dAmpère : E et B dérivent de potentiels : (2) Théorème de Gauss : (1) Condition de Lorentz : (L)

5 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Introduction Enfin en abordant linduction électromagnétique nous avons trouvé une première relation locale liant les comportements dynamiques des champs électrique et magnétique: Rappelons également quil existe une relation de conservation reliant les densités de courant et de charge. Conservation de la charge :(C) Loi de Faraday :(3) (3b) Accumulation de charge Flux de charge sortant

6 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Equations de Maxwell Les équations locales (1) (2) et (3) sont trois des quatre équations de Maxwell qui unifient la théorie de lélectromagnétisme. La quatrième équation que nous allons démontrer ici donne la dépendance dynamique du rotationnel du champ magnétique. Calculons à nouveau le rotationnel du champ magnétique en introduisant sa définition à partir du potentiel vecteur, la condition de Lorentz (L) et léquation de Maxwell (3b). (L) (3b)

7 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Pour calculer le laplacien du potentiel vecteur - qui est donc un vecteur - nous allons procéder par analogie à partir du laplacien du potentiel scalaire. Injectons léquation (3b) dans léquation (1) puis la condition de Lorentz (L). 6.2 Equations de Maxwell V( r ) = 1 4 o ( r )d 3 r | r - r | Or nous savons que la définition générale du potentiel est la suivante : De même la définition générale du potentiel vecteur est : | r - r | A ( r ) = d 3 r 4 o j ( r ) Est solution de

8 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Equations de Maxwell Cest à dire que chacune des composantes du potentiel vecteur A x, A y, A z satisfait une relation de la forme : | r - r | A x ( r ) = d 3 r 4 o j x ( r ) En faisant lanalogie V A x, j x et 1/ o o on voit que les expressions sont en tous points similaires pour les deux potentiels. La composante A x du potentiel vecteur est donc également solution de léquation: Cest-à-dire que le potentiel vecteur lui-même satisfait une équation du même type : La quatrième équation de Maxwell est finalement donnée par: dimension dune densité de courant

9 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Equations de Maxwell En résumé, les quatre équations de Maxwell dynamiques relient localement les divergences et rotationnels des champs électrique et magnétique aux champs électrique et magnétique eux-mêmes, ainsi quaux sources de charges et de courants statiques ou dynamiques. (2)(2) (1)(1) (3)(3) (4)(4) Maxwell - Gauss Maxwell - Faraday Maxwell - Ampère

10 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Equations de Maxwell En statique: (2) (1) (3) (4) En labsence de charge et courant : (2) (1) (3) (4)

11 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Equations de propagation dans le vide. Dans le paragraphe précédent, nous avons vu que le potentiel scalaire et les composantes du potentiel vecteur sont solutions déquation différentielles similaires: Nous pouvons montrer quil en est de même pour les champs électrique et magnétique. Nous utilisons encore ici lidentité mathématique qui relie le rotationnel du rotationnel dun vecteur au laplacien et au gradient de la divergence de ce même vecteur:

12 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Equations de propagation dans le vide. 0 (4) (3) (3), (4)(1)

13 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Equations de propagation dans le vide. On voit que ces équations sont toutes les mêmes dans le vide, i.e. en labsence de charge et de courant. Equation de dAlembert dans le vide

14 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Ondes électromagnétiques. Ces équations admettent des solutions complexes, combinaisons linéaires de fonctions du type qui sont des fonctions représentant une onde plane, cest à dire une grandeur physique oscillant avec la fréquence = /2 et se propageant dans la direction du vecteur donde k avec une vitesse de propagation c = / | k |. La quantité sappelle la pulsation de londe. (k) |k| La relation entre la pulsation et le vecteur donde sappelle relation de dispersion.

15 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Ondes électromagnétiques. Une telle onde présente une double périodicité dans le temps et dans lespace. La période temporelle T (mesurée en secondes) est linverse de la fréquence (mesurée en Hz) T=1/. La période spatiale ou longueur donde est inversement proportionnelle au module du vecteur donde = 2 | k |. Supposons quau temps t = 0 et à la position r = 0, la phase initiale soit nulle, alors à chaque fois que le temps t est un multiple de la période T, ou que la projection du vecteur position r sur la direction de propagation k / |k | est un multiple de la longueur donde, lamplitude de la fonction donde |S(r,t)| passe par un maximum |S o |. temps T=1/ espace = 2 | k |

16 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dans le cas où la grandeur physique est un champ vectoriel, la fonction donde est un vecteur. La fonction donde est alors définie non seulement par une amplitude, une pulsation, un vecteur donde, mais également par une direction particulière appelée polarisation de londe, à ne pas confondre avec la direction de propagation (représentée par le vecteur donde). Pour une onde sinusoïdale on aura: Les grandeurs physiques observables étant réelles, la solution physique S est donc donnée par la partie réelle de la fonction donde complexe. S ( r, t) = Re{ S( r, t) } = ½ {S + c.c.} complexe conjugué 6.4 Ondes électromagnétiques. amplitude pulsationvecteur donde polarisation

17 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Un nombre complexe Z peut sécrire de deux façons: Ainsi une fonction donde réelle sécrira S ( r, t) = S o cos ( t - k·r + ) e o Soit en coordonnées cartésiennes: S x ( x,y,z, t) = S o cos ( t – [k x x+k y y+k z z] + ) e ox S y ( x,y,z, t) = S o cos ( t – [k x x+k y y+k z z] + ) e oy S z ( x,y,z, t) = S o cos ( t – [k x x+k y y+k z z] + ) e oz Par exemple pour une onde de pulsation polarisée suivant la direction Oy et se propageant à la vitesse c = /k dans la direction Ox on écrira: S y ( x, t) = S o cos ( t – kx + ) 6.4 Ondes électromagnétiques.

18 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Soit S la fonction donde définie par S(r,t) = S o e j( t-k·r ). La fonction S satisfait donc bien à léquation de d Alembert si |k|·c =. 6.4 Ondes électromagnétiques. Vérifions à présent que ces fonctions sont bien solutions de léquation de dAlembert. ?

19 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Par commodité effectuons les calculs pour une fonction réelle 1D à phase initiale nulle (choix de la direction Ox suivant celle de k et de lorigine telle que S(0,0)=S o ): S(x,t) = S o cos ( t - kx) Pour quun état donné de S(x,t) se retrouve également en un point x=x+dx au temps t=t+dt, il faut que la phase de londe " t - kx" soit conservée: = t - kx = t - kx. 6.4 Ondes électromagnétiques. Montrons à présent que c représente bien la vitesse de propagation. Pour que cette phase soit constante (on parle alors donde stationnaire) il faut que d = 0, soit d = dt - kdx = 0. La quantité dx/dt = /k = c représente une vitesse instantanée. Il sagit de la vitesse de propagation dun état de londe - correspondant à une phase donnée -, cest pourquoi on lappelle vitesse de phase.

20 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Remarque: Nous verrons plus tard que les ondes électromagnétiques véhiculent de lénergie. Or nous savons quau travers de la matière, une partie de cette énergie peut être absorbée et les ondes atténuées. Dans ce cas il faut ajouter un terme datténuation dans la fonction donde (en r ou en t). Le terme sappelle coefficient damortissement (loi de Beer Lambert). 6.4 Ondes électromagnétiques. S(x) x

21 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Ondes électromagnétiques. Appliquons ces notions dondes aux champs électrique et magnétique, qui sécrivent alors sous la forme: Calculons les deux membres de léquation de Maxwell-Faraday (3) à partir de ces expressions.

22 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Ondes électromagnétiques. De même, pour tout couple ( ) et : Dautre part, on a pour la dérivée par rapport au temps du champ magnétique: Le champ magnétique se propage perpendiculairement au champ électrique et à la direction de propagation (dans le vide). On en déduit donc, la relation suivante pour la propagation des champs électrique et magnétique dans le vide: vecteur unitaire dans la direction de propagation

23 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes k E B Le champ électrique se propage perpendiculairement au champ magnétique et à la direction de propagation. noeud ventre 6.4 Ondes électromagnétiques. Par analogie, on trouve le même type de relations à partir de léquation de Maxwell-Ampère (4) : En tout point le rapport des modules | E | / | B | dans le vide est constant et égal à la vitesse de la lumière c.

24 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Energie transportée par une onde électromagnétique. En électrostatique et magnétostatique, nous avons montré quon pouvait associer localement dans le vide des densités dénergie potentielle (i.e. « récupérable » par une charge test au point considéré sous forme de travail de la force de Lorentz): Energie électrostatique : Energie magnétostatique : Nous allons montrer que la puissance par unité de volume dissipée localement par une onde électromagnétique dans le vide est donnée par la divergence du vecteur de Poynting :

25 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Puissance rayonnée à travers la surface 6.5 Energie transportée par une onde électromagnétique. La divergence du vecteur de Poynting est donc égale à lopposé du taux de variation de la densité locale dénergie électromagnétique. En utilisant le théorème de la divergence, on trouve que la puissance dissipée à travers une surface est donnée par lopposé du flux du vecteur de Poynting:

26 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Réflexion – Réfraction aux interfaces. Discontinuité du champ électrique aux interfaces : Revenons un peu en arrière et regardons ce qui se passe à une interface entre milieux isolants ou conducteurs parfaits (ie. dans lesquels aucune densité de charge nexiste en volume). 1 2 N Comme nous nous intéressons à ce qui se passe à linterface, nous pouvons donc considérer celle-ci comme un plan infini séparant deux milieux (1) et (2), qui peut être chargé avec une densité surfacique de charges. Nous pouvons appliquer le théorème de Gauss sur une petite surface cylindrique qui est coupée par le plan perpendiculairement au cylindre. Nous pouvons rendre le cylindre aussi petit que lon veut de sorte que le champ soit homogène sur toute la surface de part et dautre du plan. Nous pouvons décomposer le champ en deux composantes, lune normale au plan, lautre tangentielle. Une interface chargée superficiellement donne lieu à une discontinuité de la composante normale du champ électrique.

27 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Réflexion – Réfraction aux interfaces. Discontinuité du champ électrique aux interfaces : 1 2 N etet dldl L Considérons à présent la circulation du champ électrique le long du contour fermé, que lon peut également rendre aussi petit que lon veut. Une interface même chargée superficiellement nentraîne pas de discontinuité de la composante tangentielle du champ électrique. Appliquons ensuite le théorème de Stokes qui permet de passer dune intégrale sur un contour fermé à une intégrale sur une surface sappuyant sur ce contour:

28 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Réflexion – Réfraction aux interfaces. Discontinuité du champ magnétique aux interfaces : Nous pouvons appliquer le mêmes considérations au champ magnétique en considérant que le plan est parcouru par une densité de courant. en utilisant le théorème dAmpère sur le contour 1 2 N etet dldl L e en calculant le flux du champ magnétique à travers une petite surface cylindrique fermée perpendiculaire au plan. 1 2 N une interface parcourue par une densité de courant superficielle ne donne pas lieu à une discontinuité de la composante normale du champ magnétique. une interface parcourue par une densité de courant superficielle entraîne une discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique.

29 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes E t, B t onde transmise 6.6 Réflexion – Réfraction aux interfaces. Discontinuité du champ magnétique aux interfaces : Pour la discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique, puisque la composante normale est continue on peut mettre la dernière équation trouvée sous la forme: La normale est dirigée du milieu (1) vers le milieu (2). ! Réflexion - Réfraction : Lorsquune onde incidente rencontre une interface (changement de milieu (1) vers (2)), on observe quune partie de londe est réfléchie (miroir) et une autre partie est transmise à travers linterface en étant plus ou moins déviée. On parle dans ce dernier cas de réfraction. onde incidente E i, B i E r, B r onde réfléchie

30 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Réflexion – Réfraction aux interfaces. Réflexion - Réfraction : Il y a donc 4 inconnues vectorielles quil faut trouver en utilisant les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday dans les milieux « homogènes » (1) et (2), et les conditions de continuité à linterface. Cette relation est vraie sil ny a pas dabsorption. Le rapport c/v nest autre que lindice de réfraction n du milieu matériel (que lon utilise dans les lois de Snell-Descartes en optique géométrique). Dans beaucoup de matériaux la perméabilité relative r est très proche de 1 et la constante diélectrique dun matériaux correspond donc approximativement au carré de lindice de réfraction (si on néglige labsorption): n = c/v ~ r. Dans le vide la vitesse de phase dune onde plane est la vitesse de la lumière c. Par contre dans la matière, cette vitesse est plus lente. On sait que dans le vide la vitesse de la lumière c est liée aux constantes o et o par la relation: Dans la matière la permittivité du vide o est remplacée par la permittivité du milieu r o et la perméabilité magnétique o par = r o. On en déduit donc intuitivement que la vitesse de phase dune onde plane électromagnétique dans la matière est du type :

31 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes rnrn 6.6 Réflexion – Réfraction aux interfaces. Réflexion - Réfraction : conditions générales Dautre part, une onde électromagnétique est générée par des sources de charges électriques, dipôles électriques, dipôles magnétiques oscillant à une fréquence, ou pulsation, donnée. Cela correspond donc à un système doscillations forcées pour lequel la pulsation est imposée par le générateur. Les pulsations des ondes électromagnétiques incidente, réfléchie et transmise sont donc toutes les mêmes. Les ondes incidente, réfléchie et transmise sont donc du type: Les relations liant, en un point de linterface, ces différents vecteurs ne doivent pas dépendre de la position choisie dans le plan ( de linterface. Faisons apparaître la composante r du vecteur position r = r + r n qui est dans le plan. Nous pouvons mettre les vecteurs ci dessus sous la forme: r r

32 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Réflexion – Réfraction aux interfaces. Réflexion - Réfraction : conditions générales Ecrire que les relations liant ces différents vecteurs en un point de linterface ne dépendent pas de la position choisie dans le plan de linterface revient donc à écrire léquation suivante : De la première équation ci-dessus on tire : En notant que |k i |= v i / où v i est la vitesse de phase de londe incidente et en appelant u i le vecteur unitaire dans la direction de k i, cela revient à dire que : Le vecteur u i - u r est perpendiculaire à linterface et donc les angles que font les rayons incidents (vecteur donde incident) et réfléchis avec la normale N au plan sont égaux. On retrouve la loi de la réflexion. Les vecteurs u i u r et N définissent le plan d incidence. N u i - u r uiui urur i r

33 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Réflexion – Réfraction aux interfaces. Réflexion - Réfraction : conditions générales Pour interpréter la deuxième partie de léquation dinvariance le long de linterface, introduisons les indices de réfraction n 1 et n 2 des milieux (1) et (2). On retrouve la loi de réfraction de Snell-Descartes. N uiui utut i (1) (2) r

34 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Réflexion – Réfraction aux interfaces. Réflexion - Réfraction : conditions générales Enfin il reste à écrire les conditions de continuité à linterface pour les amplitudes des composantes normales et tangentielles des champs électrique et magnétique en présence déventuelles densités superficielles de charge ou de courant: Certaines contraintes supplémentaires viennent de la nature des matériaux. Par exemple dans un conducteur parfait E=0. Dans un matériaux diamagnétique la susceptibilité magnétique est égale à –1 et B = o (H+M) = o (1+ ) H = 0 …


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