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M.E.F : T.Tison 2004 1 Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base l'analyse des structures L'objectif de l'analyse des structures est de déterminer.

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1 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base l'analyse des structures L'objectif de l'analyse des structures est de déterminer les deux champs inconnus : champ de déplacements et de contraintes pour une structure quelconque. On appelle structure, tout système mécanique en équilibre sous l'action de forces de surface ou de volume (en régime élastique). Structure Mécanisme DéformationsContraintes (création d'énergie de déformation) La théorie de l'élasticité permet d'exprimer les relations qu'il existe entre les différents champs inconnus.

2 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base Classification des systèmes physiques Un système physique est caractérisé par un ensemble de variables qui peuvent dépendre des coordonnées d'espace et du temps. Certaines variables (d) sont connues, d'autres variables (u) sont inconnues propriétés physiques dimensions du système sollicitations conditions aux limites … Un modèle mathématique du système permet d'écrire des relations entre u et d en utilisant des lois physiques. Ces relations constituent un système d'équations en u qu'il s'agit de résoudre. Le nombre de degrés de liberté (d.d.l) du système est le nombre de variables nécessaires pour définir u à un instant t donné. ? déplacements ? vitesses ? températures ? contraintes ? …

3 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base Le système est dit : discret si il possède un nombre fini de degrés de liberté, continusi il possède un nombre infini de degrés de liberté. L'analyse d'une structure (qu'il s'agisse d'un système discret ou continu) peut-être menée de la façon suivante : 1- Idéalisation du système pour le rendre analysable (discrétisation) 2- Formulation des équations constitutives (équations d'équilibre) 3- Résolution des équations 4- Interprétation des résultats

4 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base Pour certains problèmes, la première étape (idéalisation) est (presque) évidente. Hangar construit à partir déléments préfabriqués en béton armé pour laviation italienne, 1940 Centre Georges Pompidou à Paris, 1977 Théâtre national de Mannheim, 1953 Structure réelleStructure discrétisée Le comportement du système discret est représenté par un système d'équations algébriques. Résolution exacte (au sens de la discrétisation)

5 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base Pour d'autres structures, l'idéalisation n'est pas aussi immédiate (assemblage de plaques ou de coques. On est alors amené à exploiter des techniques d'approximation appropriées. Dans le cas de la M.E.F, le modèle est basé sur une subdivision du domaine continu en sous domaines de formes géométriques simples appelés éléments. Les éléments sont interconnectés entre eux par des points appelés nœuds. Structure réelle Structure discrétisée élément nœud Transformation des équations pour obtenir un système d'équations algébriques solution approchée

6 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base Démarche d'analyse d'un système discret (méth. matricielle des déplacements) Idéalisation Ecriture des équations d'équilibre pour chaque élément en fonction des déplacements Assemblage des caractéristiques élémentaires Calcul de la solution Calcul élémentaire Calcul global Cette étape est menée en utilisant des conditions de continuité des déplacements et d'équilibre des forces aux nœuds des éléments étape 1 étape 2 étape 3 étape 4

7 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 Analyse statique d'un système constitué de 3 chariots rigides 123 k1k1 k2k2 k3k3 k4k4 k5k5 P1P1 P2P2 P3P3

8 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 Etape 1 : idéalisation k2k2 k3k3 k4k4 k5k5 k1k1 P 1 u 1 P 2 u 2 P 3 u Bilan : 3 nœuds 3 ddl : 1 ddl/nœud (u 1,u 2,u 3 ) 5 éléments Système de 3 équations à 3 inconnues

9 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 Etape 2 : Ecriture des équations d'équilibre pour chaque élément Elément n°1 k1k1 F 1 (1) u 1 (1) 1 k 1 u 1 (1) =F 1 (1) U i (j), F i (j) n° élément n° nœud Elément n°2 k2k2 21 F 2 (2) u 2 (2) F 1 (2) u 1 (2) / u 1 k 2 u 1 (2) - k 2 u 2 (2) = F 1 (2) / u 2 k 2 u 2 (2) - k 2 u 1 (2) = F 2 (2) ou sous forme matricielle :

10 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 Elément n°3 k3k3 21 F 2 (3) u 2 (3) F 1 (3) u 1 (3) Elément n°4 k4k4 31 F 3 (4) u 3 (4) F 1 (4) u 1 (4) Elément n°5 k5k5 32 F 3 (5) u 3 (5) F 2 (5) u 2 (5)

11 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 Etape 3 : Assemblage des caractéristiques élémentaires k2k2 k3k3 k4k4 k5k5 k1k1 P 1 u 1 P 2 u 2 P 3 u F 1 (1) F 1 (2) F 1 (3) F 1 (4) F 2 (2) F 2 (3) F 2 (5) F 3 (4) F 3 (5) 1.Equilibre des forces aux nœuds (équilibre statique de l'ensemble) 3 )5( 3 )4( 3 2 )5( 2 )3( 2 )2( 2 1 )4( 1 )3( 1 )2( 1 )1( 1 PFF PFFF PFFFF

12 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 En substituant les équations d'équilibre élémentaires 2.Continuité des déplacements : 3 )5( 3 )4( 3 2 )5( 2 )3( 2 )2( 2 1 )4( 1 )3( 1 )2( 1 )1( 1 PFF PFFF PFFFF 3 )5( 3 )4( 3 2 )5( 2 )3( 2 )2( 2 1 )4( 1 )3( 1 )2( 1 )1( 1 uuu uuuu uuuuu

13 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 On obtient donc le système d'équations recherché Pukkukuk Pukukkkukk Pukukkukkkk P P P u u u kkkk kkkkkk kkkkkkk

14 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 Autre solution : écriture des matrices élémentaires avec l'ensemble des ddl. élément 1 élément 2 élément 3 élément 4 élément 5

15 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1 Dans ce cas, on obtient la matrice de rigidité globale à partir de l'expression : 5 1 )( e e G KK matrice de rigidité élémentaire tenant compte de la connectivité Cette expression est valable quel que soit le problème et le nombre d'éléments (à condition de travailler avec des ddl compatibles au niveau des matrices de rigidité élémentaires) Etape 4 : Résolution du problème Les rigidités et les forces externes étant connues, il suffit de résoudre le système linéaire obtenu. Remarque : lorsque les déplacements sont connus, on peut éventuellement calculer les efforts internes à partir des équations d'équilibre élémentaires.

16 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 Analyse d'un élément de tuyauterie L 2L 0.5L La tuyauterie doit être capable de résister à une charge importante P lorsque celle-ci est appliquée accidentellement. Analysez le problème p

17 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 Etude simplifiée : on s'intéresse au calcul du déplacement transverse au point d'application de la force. Cette force est supposée quasi-statique. modélisation par des éléments de type poutre / barre / ressort. analyse statique. Etape 1 : idéalisation L 2L 0.5L e 1 : E I e 2 : 8E I e 3 : k t e 4 : E S

18 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Matrices élémentaires Matrice de rigidité élémentaire d'une barre en traction - compression dans le plan E:module d'Young (N/m 2 ) – S:section (m 2 ) – L:longueur(m) Matrice de rigidité élémentaire d'une poutre en flexion dans le plan (type Bernoulli : pas de cisaillement transverse) E:module d'Young (N/m 2 ) – I:inertie de flexion (m 4 ) – L:longueur(m) vivi i vjvj j E, I L x y uiui ujuj E, S L x y

19 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 Le modèle devient : u1u1 u2u2 u3u3 u4u4 u5u5 u6u6 u7u Bilan : 4 éléments : 2 poutres, 1 ressort de torsion, 1 barre 4 nœuds 7 ddl

20 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 Etape 2 : Ecriture des matrices de rigidité élémentaires pour chaque élément Elément 1 : poutre – (EI,L) Elément 2 : poutre – (8EI,2L)

21 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 Etape 2 : Ecriture des matrices de rigidité élémentaires pour chaque élément (suite) Elément 3 : ressort de torsion – (k t ) Elément 4 : barre – (E,S,0.5L)

22 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 Etape 3 : Assemblage des matrices élémentaires

23 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Exemple 2 Etape 4 : Résolution du problème La solution est obtenue en résolvant le système d'équations linéaires : avec après avoir appliqué les conditions aux limites (conditions de déplacements imposés) : u1u1 u2u2 u3u3 u4u4 u5u5 u6u6 u7u GGG PUK PP uuuuuuuU T G T G uuu

24 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Propriétés matrice K On appelle matrice de rigidité d'une structure, la matrice K permettant d'exprimer l'énergie de déformation sous une forme quadratique des déplacements. Les valeurs propres de la matrice de rigidité sont obtenues en résolvant le problème : On peut écrire : i : i ème valeur propre i : i ème vecteur propre si i est tel que : Les valeurs propres d'une matrice de rigidité représentent à un coefficient près l'énergie de déformation mise en jeu par les modes de déformation propres de la structure. KUUE T def 2 1 iii K i T i i T i i K defi T ii EK2 1 i T i

25 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Propriétés matrice K Cas des structures libres (ou avec mécanisme) Dans ce cas, il existe un certain nombre ( 3 pour les problèmes 2D, 6 pour les problèmes 3D) de valeurs propres nulles. Elles correspondent à des modes de déplacement d'ensemble pour lesquels l'énergie de déformation est nulle. On les appelle des modes de corps rigide ou modes rigides. La matrice de rigidité d'une structure libre est donc semi définie positive Exemple : barre en traction - compression mode de corps rigide mode de compression pure

26 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Conditions sur U Prise en compte des conditions de déplacements imposés, 3 possibilités : Méthode de pénalisation Multiplicateurs de Lagrange Méthode de la partition application d'un "poids" numérique sur les coefficients de la matrice de rigidité Le système d'équation (KU=P) est complété par des équations de contrainte

27 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Méthode de partition Principe : Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés. On obtient un système de la forme : Le vecteur des déplacements est décomposé (partition) suivant : On applique cette partition sur le vecteur chargement et la matrice de rigidité : déplacements libres (inconnus) : déplacements imposés (connus) : forces correspondant aux déplacements libres (connues) : forces correspondant aux déplacements imposés (inconnues) réactions GGG FUK b a G U U U b a G F F F bbba abaa G KK KK K

28 M.E.F : T.Tison En développant les équations d'équilibre, on obtient : Le premier système d'équations permet d'obtenir les déplacements libres (U a ) : Les déplacements libres étant connus, on obtient les réactions avec le second système d'équations : Cas particulier : TOUS les déplacements imposés sont nuls (U b =0) Méthode matricielle des déplacements – Méthode de partition ou RUKUK FUKUK bbbaba ababaaa ou RF F U U KK KK b a b a bbba abaa babaaaa UKFUK babaaaa UKFKU 1 bbbaba UKUKR aaaa FUK aaaa FKU 1 aba UKR

29 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition Illustration sur une structure de type "poutre en flexion" Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés. On utilise le modèle : Bilan : 1 élément "poutre en flexion" 2 nœuds avec 2 ddl/nœud 4 ddl L E,I P 12 1 v1v1 v2v v v U G M F M F F G

30 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 126L -12 6L 4L 2 -6L 2L L 12 -6L 6L2L 2 -6L 4L v v 3 L EI K G Assemblage de la matrice de rigidité globale : 1 élément immédiat Partition entre déplacements libres (U a ) et déplacements imposés (U b ). Partition du vecteur second membre en efforts appliqués et réactions. v1v1 v2v2 1 2 P 2 2 v U a v U b P M F F a 1 1 M F RF b

31 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 Partition de la matrice de rigidité globale 126L -12 6L 4L 2 -6L 2L L 12 -6L 6L2L 2 -6L 4L 2 2 v 1 v L EI K G 2 v 1 v 2 1 K aa KabKab K ba KbbKbb K G 126L 4L L -6L 2L L 6L2L L 4L 2 2 v 1 v L EI K G 2 v 1 v 2 1

32 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 Calcul des déplacements libres (ici tous les déplacements imposés sont nuls) aaaa FUK 12 -6L 4L 2 0 -P 2 2 v 3 L EI Calcul des réactions. aba UKR 3 L EI P L LL LEI L v EI -PL EI -PL v EI -PL EI -PL L -6L 2L M F R PL P M F L LL L L P M F

33 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1 Vérification des résultats Visualisation des résultats EffortsMoments 0 PP actionréaction 0 PL actionréaction P EI PL 3 3 EI PL v Déplacements Effort tranchant Moment fléchissant -P P 0 PL

34 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 L E,I M L Structure de type "poutre en flexion" v1v1 v2v2 v3v Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés. On utilise le modèle : Bilan : 2 éléments "poutre en flexion" 3 nœuds avec 2 ddl/nœud 6 ddl v v v U G M F M F M F F G

35 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 Assemblage de la matrice de rigidité globale : v1v1 v2v2 v3v L -12 6L 4L 2 -6L 2L L L2L 2 0 8L L 00 6L 2L L -6L2L L 4L v v v 3 L EI K G 126L -12 6L 4L 2 -6L 2L L 12 -6L 6L2L 2 -6L 4L v v 3 L EI K (1) 126L -12 6L 4L 2 -6L 2L L 12 -6L 6L2L 2 -6L 4L v v 3 L EI K (2)

36 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 Partition entre déplacements libres (U a ) et déplacements imposés (U b ). v1v1 v2v2 v3v a U v v v U b Partition du vecteur second membre en efforts appliqués et réactions v v v U G M F M F M F F G M M M F a F F M F RF b

37 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 Et finalement, partition de la matrice de rigidité globale. K aa KabKab K ba KbbKbb K G L-12 6L4L 2 -6L -12-6L L 2L L 0 0 6L -6L 6L2L L -6L 8L 2 2L 2 4L v 2 v 1 v v 2 v 1 v 1 126L -12 6L 4L 2 -6L 2L L L2L 2 0 8L L 00 6L 2L L -6L2L L 4L 2 3 v 2 v 1 v v 2 v 1 v L EI K G 3 L EI K G

38 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 Calcul des déplacements libres (tous les déplacements imposés sont nuls). aaaa FUK 8L 2 2L 2 4L M L EI L 2EI M EI ML Calcul des réactions. 6L 2L L 0 0 6L -6L aba UKR 3 L EI F F M F R EI ML L L M F F M F

39 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition M MMM MLFLFM Réactions Action F3F3 Visualisation des résultats (déplacements) Vérification des résultats L L M F F M F On peut vérifier, pour les forces et les moments que : Réactions Action FFF EI ML -M 7 F1F1 F2F2 M M 7EI 2ML 14EI -ML

40 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application partition 2 Visualisation des résultats (diagrammes) Effort Tranchant Moment Fléchissant F1F1 F2F2 F3F3 9M 7L -3M 7L M -M 7 F1F1 F2F2 F3F3 2M 7 -M L L M F F M F

41 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices L'objectif est d'établir la matrice de rigidité élémentaire d'un élément lorsque son orientation est différente de celle définie dans le repère de référence. La démarche est illustrée sur un élément de type barre. Dans le repère local R1, la matrice de rigidité de l'élément est donnée par : x*x* ui*ui* uj*uj* On souhaite formuler la matrice de rigidité de cet élément dans le cas où la barre à une orientation quelconque dans le plan (repère global R 2 ) x*x* x y ui*ui* uiui vivi uj*uj* ujuj vjvj L ES K R j i u u U * ? 2 R K j j i i v u v u U

42 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices On peut écrire les relations entre les déplacements dans les 2 systèmes d'axes par : ou encore sous forme matricielle : x*x* x y ui*ui* uiui vivi uj*uj* ujuj vjvj U * = T U Dans le repère local, l'énergie de déformation est donnée par : Dans le repère global, l'énergie (identique) est donnée par : sincos sincos * * jjj iii vuu vuu j j i i j i v u v u u u sincos00 00sincos * * ** UKUE R t p UKUE R t p 2 2 1

43 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices En substituant l'expression de U * en fonction de U dans Expression que l'on compare à On en déduit TKTK R t R 12 ttt TUU * TUU * ** UKUE R t p TUKTUE R tt p UKUE R t p 2 2 1

44 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices Pour l'élément barre, on obtient : ou encore : avec x y uiui vivi ujuj vjvj Attention : pas de ddl de rotation donc liaison pivot aux nœuds implicite L ES K R sincos00 00sincos T sin cossin cos sincos sincos sin cossin cos sincos sincos L ES K j j i i v u v u U AA AA L ES K 2 2 sin cos sincos A

45 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse On considère le treillis plan représenté ci-dessous. Il est modélisé par des éléments de type "barre". Les caractéristiques matérielles sont identiques pour toutes les barres (E, S). Les nœuds 1 et 2 sont encastrés. 1.Établir la matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements sans tenir compte de la barre n°4 2.Calculer le déterminant de cette matrice, conclusions. 3.Calculer et représenter la déformée de la structure complète (barre 4 prise en compte). 4.Calculer et représenter les réactions aux encastrements. 5.Calculer les contraintes dans chaque élément. 45° barre 1 barre 4 barre 3 barre 2 X Y L LL L YXNoeuds

46 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse Calcul des matrices de rigidité élémentaires Élément 1 : Élément 2 : Élément 3 : Élément 4 :

47 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse Matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements (SANS barre n°4) ddl imposés : ddl libres : La structure n'est pas statiquement stable (présence de pivots implicites aux nœuds). La représentation devrait être :

48 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse Matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements (AVEC barre n°4) ddl imposés : ddl libres : °

49 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse La résolution du système linéaire donne les déplacements recherchés aaaa FUK ES PL v u v u

50 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse nœuds 1- 4 nœuds 2- 3 nœuds 1- 3 Calcul des réactions aux encastrements aba UKR 4 v 4 u 3 v 3 u 2 v 2 u 1 v 1 u

51 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse La résolution R=K ba U a donne : forces suivant x forces suivant y (aux erreurs d'arrondi près) Vérification

52 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse Calcul des contraintes D'après la théorie de l'élasticité, on sait que et Dans le cas de la barre, on a : D =E et La déformation locale étant identique sur toute la longueur de la barre, on peut l'assimiler à la déformation moyenne soit : Dans le repère local :où sous forme matricielle : Dans le repère global : j j i i v u v u sincossincos 1 xx L

53 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse Élément 1 : Élément 2 :

54 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse Élément 3 : Élément 4 : S P S P

55 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse Visualisation des résultats : déformée et réactions ES PL v u v u P R R R R y x y x

56 M.E.F : T.Tison Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse Visualisation des résultats : contraintes S P


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