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Ab initio (TD)-DFT liaisons fortes champ moyen approx. type jellium dynamique dans lespace des phases éq. de Vlasov …etc... Hydrodynamique Approches statistiques.

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1 ab initio (TD)-DFT liaisons fortes champ moyen approx. type jellium dynamique dans lespace des phases éq. de Vlasov …etc... Hydrodynamique Approches statistiques Physique du Solide ….etc cinétique des populations éqs. de Boltzmann spectre des phonons couplage e-ph taille finie perturbation (?) taille approche dépend de : taille ( + faisabilité ) élément propriété physique étudiée statique dynamique classique quantique recoupements pertinents si les limites de validité et approximations sont connues quantitatif ou évolution en fonction de …. (et expérience acquise) Bi N sur C amorphe

2 Processus optiques et dynamique de relaxation électronique dans les agrégats métalliques Agrégats de métaux « simples » (alcalins, métaux nobles …) Gros agrégats M N typiquement N>200 R>1nm Description de type jellium de la distribution des ions Description phénoménologique des électrons de cœur ( d ( ), m ( )..) Régime de faible perturbation (linéaire) T e =T 0 + T avec T qq 10 2 K (D=3 nm, un photon VIS T 500 K) Processus dynamiques internes aux temps courts (fil conducteur: exp. pompe-sonde) Excitation et relaxation du plasmon de surface ( 10 fs ) Thermalisation électronique ( qq 10 2 fs ) Thermalisation électron-phonon ( qq ps ) Excitation des modes de vibration acoustiques (« breathing » modes) ( autres canaux de relaxation : fragmentation, évaporation…ionisation directe ou thermique, émission de corps noir,….)

3 DFT-Kohn-Sham état fondamental TDDFT polarisabilité dynamique complexe ( ) spectre dabsorption ( ) Im[ ( )] Transformée de Fourier ( ou largeur ) Dynamique du dipôle (relaxation du plasmon de surface) Thermalisation électronique et électron-phonon (« collisions ») Dynamique moléculaire, TD-DFT, Car-P. etc Dynamique des ions ( Hellmann-Feynman ) Gros agrégats Approches statistiques de la Physique de la Matière Condensée Cinétique des populations Equations de Boltzmann Lien entre les observables et les populations : la fonction diélectrique Compréhension des processus dans la phase massive utile (couplage e-ph, écrantage..) Cas spécifique des agrégats : confinement, vibrations de surface, symétrie ( règles de sélection ), plasmons (recherches en cours, résultats controversés) ( ) E 0 e -i t Approches théoriques

4 Plasmon de surface Théorie classique (Mie) Approximation dipolaire Polarisabilité dynamique p(t)= ( )E(t) Section efficace dabsorption métal simple (modèle de Drude) r(t)=r 0 e -i t P(t) = -qnr(t) D= 0 [1+ ( )]E(t) = 0 ( )E(t) ( ) : condition de résonance 1 +2 m 0 alcalin métal noble (Ag) [ ( )= Dru + d ] E=E 0 e -i t k ( )= 1 +i 2 E int m R

5 Image classique du plasmon de surface E(t)=E 0 cos( t) - + r < R r > R F=-m M 2 r Hyp. Électrons sphère rigide incluse dans le jellium oscillateur harmonique ( M ) « spillout » des électrons force de rappel plus faible red-shift de la fréquence plasmon déplacement, déformation par un champ statique plus aisés polarisation statique plus faible Oscillateur harmonique forcé

6 Réponse linéaire formalisme TDLDA ( optique) Résumé 0, E 0 : état fondamental m, E m : état excités (r): opérateur densité en r p(t) = -q r 1 (r)dr e -i t+ t = ( ) E(t) Polarisabilité dynamique H=H 0 +H 1 (t) H 1 (t)=-D.E 0 e -i t+ t 0 (r) 0 (r)+ 1 (r,, ) e -i t+ t solution (statique) DFT-Kohn-Sham : Susceptibilité complexe non-locale, fonction de corrélation densité-densité, etc… V ext =qE 0 z D=-q i R i

7 E(t)=E 0 e -i t Résultats TDLDA (modèle simple : jellium sphérique) susceptibilité non locale R=1.25 nm Mie 0 Fragmentation du plasmon de surface (excitation collective des électrons) oscillateur faiblement amorti dispersionabsorption

8 force doscillateur (élément de matrice de transition) 2 expression classique déduite de (oscillateur ( m ) amorti en régime forcé) TDLDA m et f m p(t) = -q r 1 (r)dr e -i t+ t = ( ) E(t) Lien avec la description classique V ext (r)=qE 0 z

9 Règles de somme Règle de Thomas-Reiche-Kuhn f m : force doscillateur autres paramètres à prendre en compte masse effective pseudopotentiels polarisation des cœurs effets de taille finie Na 440 (DFT) polarisabilité statique pulsation plasmon (métal simple)

10 Excitation TDLDA Excitation TDLDA >0 Exemple : excitation instantanée évolution du dipôle (réponse linéaire) réponse spectrale dynamique « TF »

11 Dynamique du dipôle [ excitation instantanée E 0 (t) ] oscillateur amorti + figure de battements entre les différentes raies de fragmentation (Landau damping) T 0 (fs) =4.14 / E (eV) T 2 (fs) =1.32 / E (eV)

12 0, E 0 : état fondamental m, E m : état excités (r): opérateur densité en r : Susceptibilité complexe non-locale réponse à une excitation instantanée en (t) d interférences, battements fonction « saut » densité induite dipôle réponse à une excitation harmonique en exp(-i t+ t)

13 Relaxation du dipôle Au Na Ga p(t) temps (fs) Corrélation entre le temps de décohérence de lexcitation collective et la largeur de la bande plasmon. temps dautant plus court que le rayon est petit (image classique diffusion sur la surface) temps de relaxation de lordre de qq fs excitation instantanée (t)E 0 T 2 (fs) =1.32 / E (eV)

14 r < R r > R Dans un potentiel externe harmonique le mouvement du centre de masse est totalement découplé de celui des degrés de liberté internes [ la forme de v(r 1 -r 2 ) ] n=0 n=1 n=2 0 continuum de H int Relaxation du plasmon effets de surface et structure ionique

15 calculs précédents (modèle du jellium) toutes les conditions sont réunies pour assurer une relaxation lente du plasmon Facteurs contribuant à la décohérence du plasmon surface (unique facteur dans le modèle du jellium) perte de la symétrie sphérique structure discrète du réseau ionique défauts effets non linéaires couplages dynamiques « collisions » électron-électron ( thermalisation) « collisions électron-phonon » ( thermalisation) Facteurs statiques anharmonicités du potentiel extérieur (comme dans limage classique) durée de vie -largeur- des niveaux ( via ) les excitations collectives sont couplées à un quasi continuum, dès les petites tailles [DOS(élec. et ph.)] + moyenne densemble sur létat initial ( T 0 ) battements, récurrences inobservables interaction avec lextérieur non strictement nulle irréversibilité de la dynamique (matrice) et grand nombre de degrés de liberté au-delà du champ moyen

16 Comparaison avec léquation de Vlasov condition initiale n(r,0)=n 0 (r-R 0 u z ) avec R 0 =0.2 a 0 (régime linéaire) structure ionique fixée (Na 55 + ) (sphère) jellium standard D(t)=p(t)/N e V ps (r) [Thèse J. Daligault (2001)]

17 Prise en compte de la structure ionique discrète agrégat Na 55 + icosaédrique 0,6 eV Na icosaèdreNa 196 amorphe 0,66 eV 0,74 eV Influence de la structure 3D décohérence diffusion des électrons sur les ions (dépend de v ps )

18 limites de lapproche semi-classique : illustration densité détats électroniques dans un puits de potentiel ayant une « surface rugueuse » somme sur les orbites fermées classiques « lélectron quantique ( 0) est insensible aux détails trop fins » DOS semiclassique DOS quantique

19 Na 93 + [modèle de photo-fragmentation/ionisation] T 2 10 fs [Schlipper PRL 80 (1998)] Ag N déposés [STM (e - lumière induite)] hom 0,15-0,3 eV [Nilius, PRL 84 (2000)] + effets de taille attendus Au N (R=6-13 nm) [spectral hole burning] T fs [Ziegler CPL 386 (2004)] Au N (R 20 nm) [champ proche, effet dantenne] T 2 8 fs [Klar PRL 80 (1998)] Au N (oblate) [SHG THG, autocorrélation] T 2 <10 fs [Lamprecht PRL (1999)] hole burning (Ziegler) STM émission induite par les électrons émis par la pointe (Nilius) T fs hom (R) Near-field transmisssion spectra (Klar) sample Mie

20 Quelques exemples illustratifs expérience en jet : spectroscopie de photoévaporation analyse de la distribution des fragments ( agrégats chauds) (Bréchignac PRL (1992) Calculs TDLDA absorption Mie =50 meV et 5 meV déviation dans un gradient de champ électrique Knight PRB (1985)

21 Dynamique du système couplé électrons - ions Ex. : interaction avec un champ potentiel scalaire idem pour les ions approximations nécessaires Dynamique classique Kohn-Sham TD-DFT Détermination des densités Système déquations couplées

22 Équations de Kohn-Sham (électrons) Représentation en espace de phase de la M.Q. représentation de Wigner équation de Vlasov (limite semi-classique des équations de Kohn-Sham) opérateur densité n(t) h KS [n](r,t) Transformation de Wigner de lopérateur n(t) équation dévolution de n(t)équation dévolution de f(r,p,t) (Crochets de Poisson) eq. Liouville Limite semi-classique : on ne conserve que le terme dordre 0 en équation de Vlasov Hamiltonien semi-classique

23 f N (r 1,p 1,..,r N,p N,t)dr 1 dp 1 …dr N dp N proba davoir 1 particule en (r 1,p 1 ) [dans dr 1 dp 1 ] à t etc. N normalisation : f N (..r i,p i,…t)dr 1 dp 1 …dr N dp N =N! léquation de Vlasov classique La « hiérarchie » BBGKY (Bogoliubov, Born, Green, Kirkwood, Yvon) f n (r 1,p 1,..,r n,p n,t)dr 1 dp 1..dr n dp n : proba davoir 1 particule en (r 1,p 1 )[dans dr 1 dp 1 ] à t etc. 1. n f n (r 1,p 1,..,r n,p n,t)=[1/(N-n)!] f N (r 1,p 1,..,r N,p N,t)dr n+1 dp n+1 …dr N dp N (fct. de répartition réduite) normalisation f n dr 1 dp 1..dr n dp n =N!/(N-n)! et f n+1 dr n+1 dp n+1 =(N-n)f n N particules indiscernables espace de phases (r 1,p 1 )(r 2,p 2 ),…(r N,p N ) f N satisfait léquation de Liouville loi de conservation ds lespace de phases f 1 (r,p,t) : densité de particules en (r,p) à t (fct. de répart. à 1 corps) Hamiltonien

24 équations dévolution des fonctions de répartition f n (r 1,p 1,..,r n, p n,t) équation de Liouville pour f N équation dévolution de f 1 (r 1,p 1,t) Hypothèse : on néglige les corrélations dans f 2 force extérieure Champ moyen

25 Equation(s) de Boltzmann (éqs. de transport) : généralités Initialement appliquée à un gaz monoatomique dilué ( théorème H) : construction générique fonction de répartition à 1 particule f(r,p,t): dN=f d 3 rd 3 p : nombre moyen de particules dans le volume d 3 rd 3 p à t Espace des phases à une particule (6 dimensions) processus sortant (out) processus entrant (in) p3p3 p2p2 p p1p1 p 2 +p 3 p+p 1 p p1p1 p2p2 p3p3 p+p 1 p 2 +p 3 « choix » pour F et I coll plusieurs formes possibles équation bilan transport « ballistique » dans lespace de phase (comme léquation de Liouville habituelle définie dans lespace de phases (..q i …p i ) de N particules intégrales de collision («chaos moléculaire »)

26 équation bilan p3p3 p2p2 p p1p1 p 2 +p 3 p+p 1 p p1p1 p2p2 p3p3 p+p 1 p 2 +p 3 I in et I out dépendent des populations f(p) dune loi de probabilité équation de Boltzmann Lois de conservation locales (nombre de particules, impulsion, énergie) ne conserve pas lentropie

27 Équation de Boltzmann Dynamique des électrons : équation de transport de la Physique du Solide Les forces induites par le système non perturbé sont incluses via la structure de bande Espace de phases à 1 (quasi)électron (r,k) distribution f(r,k,t) transport « ballistique » dans lespace des phases écarts à la périodicité du réseau (défauts, impuretés, ….) distributions hors équilibre (électrons et phonons) « forces imposées » « crystal momentum » pseudo-moment périodicité du réseau électrons libres électrons de Bloch bandes, k 1 ère ZB m / k i k j

28 Construction générique du terme de collision : bilan des processus qui peuplent et dépeuplent le « volume » de lespace des phases (comme les termes « ballistiques ») Ex : processus impliquant 1 seul électron (impureté) et f : proba. doccupation de létat k Espace de phases à 1 électron (r,k) distribution f(r,k,t) (proba. doccupation) écarts à la périodicité du réseau (défauts, impuretés, phonons) distributions hors équilibre (électrons et phonons) Approximation du temps de relaxation (grossier) E. de B. intégrable dans des cas simples P k k : probabilité par unité de temps associée au processus (Hyp: règle dOr de Fermi) + application du principe dexclusion de Pauli Analogue à léquation maîtresse de la Physique Statistique

29 Calcul de la distribution f(E,t) ( éventuellement N(q,t) ) Condition initiale : électrons et phonons à la température T 0 =300 K Calcul des différents termes de collision de léquation de Boltzmann expressions dans le cadre de modèles simples simulation de la dynamique des populations comparaison avec lexpérience Milieu homogène Dynamique des populations f(E,t)Lien avec la dynamique des observables

30 Dynamique de relaxation décrite par des processus « collisionnels » r i : électrons R n : ions Hamiltonien modèle interaction e-laser (collisions à 3 corps) absorption assistée par un phonon ou un second électron,etc.. H elec états électroniques états de Bloch, ondes planes modes de vibration dans lapproximation harmonique (phonons) champ laser interaction de Coulomb entre e - responsable de la thermalisation interne du gaz délectrons de conduction (collisions e-e) couple les électrons et les phonons thermalisation globale du système électrons + phonons (collisions e-ph) (interaction de Coulomb, pseudopotentiels potentiel de déformation,…)

31 Principe dune expérience résolue en temps de type pompe-sonde lasers fs sonde pompe délai échantillon détecteur chopper détection synchrone modélisation de léchantillon (substrat + film composite) T( ( ), m ( )..,d,D. ) et R(..) régime de faible perturbation strictement (,q) mais q 0 (photon) La fonction diélectrique dépend des populations f bande (k) (Lindhard) EFEF Bande d Ex: métal noble (Ag, Au, Cu) Drude q 0

32 Processus dynamiques aux temps courts (agrégats métalliques; régime de faible perturbation) excitation du plasmon excitations e-h (amortissement Landau ) distribution électronique athermale thermalisation des électrons thermalisation électrons+ions 10 fs 300 fs 1 ps temps Capacités calorifiques C ion >> C e T ion T 0 T exci K matrice ee e-ph f(E) E ee : temps de thermalisation des électrons e-ph : temps de thermalisation électrons/réseau sonde au seuil interbande sonde dans lIR Calcul de la distribution f(E) ( éventuellement N(q) )

33 Simulation de la dynamique des populations f(E) Argent : E F 5,5 eV d 3,7 r s 3 a.u. Seuil interbande ib 3,9 eV Caractéristiques du pulse pompe dexcitation Durée totale 80 fs Largeur à mi-hauteur 20 fs Énergie du photon pp 1,45 eV Température dexcitation équivalente 100 K (régime de faible perturbation) EFEF Bande d Bande de conduction «parabolique » (ondes planes)

34 distribution de Fermi-Dirac (électrons)distribution de Bose-Einstein (phonons) Argent structure de bande simplifiée bande de conduction parabolique, isotrope f(k, =1/2)= f(k, =-1/2)=f(E) simplifications nécessaires branches acoustiques isotropes (T et L) sphère de Debye modèle de Debye Processus Umklapp négligés conservation de k qDqD

35 Calcul de dans le cadre dun modèle simple « Collisions » électron-électron k k1k1 k2k2 k3k3 k+k 1 k 2 +k 3 Expression de la durée de vie des états puis calcul de

36 ,,, k, k k1k1 k2k2 k3k3 k+k 1 k 2 +k 3 Collisions électron-électron terme déchange ( = 1 ) Durée de vie de létat |k > ondes planesconservation de k est le vecteur donde échangé (q) : fonction diélectrique

37 Contributions proviennent de la zone dénergie E E F F[E F,E F,E F ] F en facteur intégrale sur les populations. Distribution thermalisée expression analytique ondes planes distribution isotrope f(E) expression analytique avec les ingrédients suivants E+E 1 =E 2 +E 3 durées de vie 1/(E-E F ) 2 dépendance approximative en importance de lécrantage « Théorie des liquides quantiques de Fermi » k k1k1 k2k2 k3k3 k+k 1 k 2 +k 3

38 Collisions électron-électron : dynamique des populations f(k) Nécessité de simuler la dynamique p3p3 p2p2 p p1p1 p 2 +p 3 p+p 1 p p1p1 p2p2 p3p3 p+p 1 p 2 +p 3 populations f(E i,t)

39 Thermalisation des électrons de conduction ( échelles différentes ) t=100 fs t=80 fs (fin du pulse) t=60 fs t=40 fs t=1 ps t=800 fs t=600 fs t=400 fs f(E) Energie t= 20 fs t=200 fs contraction extrêmement rapide de la distribution athermale autour de E F [ durées de vie en (E-E F ) -2 ] thermalisation non instantanée effective en qq 10 2 fs simulation avec blocage du couplage avec les ions

40 Thermalisation des électrons de conduction température équivalente du gaz électronique T e (t) « températures des états électroniques » T k (t) temps t T e (t) fin du pulse pompe Energie t=100 fs t=200 fs 500 fs t=600 fs t= 1 ps Thermalisation stricte extrêmement lente à cause « du blocage de Pauli »

41 40 fs 60 fs 100 fs délai 1000 fs 400 fs 200 fs f (E) E (eV) Influence du terme déchange durées de vie plus longues thermalisation plus lente effet négligeable sur la thermalisation électron-ion simulation avec blocage du couplage avec les ions trait discontinu : prise en compte de léchange trait plein : sans le terme déchange

42 Calcul de dans le cadre dapproximations usuelles « Collisions » électron-phonon k k+qk+q -q Expression du Hamiltonien H e-ph puis calcul de

43 Hamiltonien dinteraction électron-phonon » (approche usuelle) q : vecteur dans la première zone de Brilloin Q j,q : modes propres de vibration du réseau correspondent à des mouvements du type s n =R n -R n eq, n=1..N H e-ph : responsable du couplage entre les électrons et les phonons incorporé au Hamiltonien électronique pour définir les états de Bloch approximation harmonique 3N oscillateurs indépendants H e-ph somme de processus élémentaires où un électron change détat via la création ou lannihilation dun phonon s n : combinaisons linéaires des H e-ph : somme dopérateurs à 1 électron H ph H e-ph

44 dans sa forme la plus simple (une bande, ondes planes, processus Umklapp négligés, couplage nul avec les modes transversaux..), on obtient Evolution des populations simulation de la dynamique Probabilités de transition H e-ph k k+qk+q -q k q k+qk+q composante de Fourier du pseudopotentiel v ps M(q)

45 évolution en exp(-t/ e-ph ) CiCi C e (T e ) g Échanges dénergie entre les électrons et les ions connexion avec « le modèle à 2 températures » hypothèse de thermalisation T i (t) T 0 gros système isotropie des distributions T D

46 énergie E(eV) Évolution des populations électroniques f(E,t) f(E,t) EFEF t=100, 80 60,40, 20 fs t=1000, , fs échelle différente collisions e-e seules EFEF collisions e-e et e-ph f(E,t) transfert dénergie aux phonons

47 Énergie électrons phonons e-ph Transfert de lénergie des électrons aux phonons Conditions expérimentales idéales pour mesurer e-ph photons pompe et sonde dans lIR Extraction de e-ph aux temps longs (décroissance exponentielle) distribution athermale transfert plus lent (confirmé expérimentalement)

48 Evolution temporelle des populations des phonons N(q,t) Température équivalente T eq (K) temps (fs) 0,1 0,2 x=0,5 0,6 x=1 E(q) (meV) t=100 fs t=500 fs t=300 fs évolution régulière des populations N(q,t) distribution fortement athermale phonons de grande énergie sont les plus « chauds » couplage e-ph : création de phonons de grande valeur de q nécessité dinclure les « collisions » ph-ph pour assurer la thermalisation des ions pas dinfluence sur le temps e-ph Modèle de Debye 1 ère zone de Brillouin du réseau réciproque sphère de rayon q D T D =215 K pour Ag

49 Calcul de « Collisions » électron-photon absorption de la lumière modèle de Drude force visqueuse taux de collision transitions interbandes ( bande d s-p ) transitions intrabandes absorption intrabande « collisions » à 3 corps (absorption assistée par….) et Umklapp collision électron-électron (H e-las et H ee ) collision électron-phonon (H e-las et H e-ph ) électron-défaut électron-surface (loi en 1/R) un électron libre ne peut pas absorber un photon k E

50 EFEF s < ib T/T négatif s > ib T/T positif si Im[ d ( s )] domine Temps de thermalisation électronique Sensibilité maximale lorsque s ib Le photon pompe (IR) excite sélectivement le gaz des électrons de conduction Expérience ? EFEF Bande d s pompe

51 Thèse C. Voisin (2001), groupe de F. Vallée Structure de bandes, au seuil, incluse EFEF Bande d photon pompe dans lIR photon sonde au voisinage de ib 4 eV reflète la thermalisation des électrons reflète la thermalisation électrons-ions signal dominé par ib ( s ) interbande expériencesimulation film dargent

52 Corrélation croisée pompe-sonde Film dargent T exci =75 K s =3,96 eV échauffement global du film B<

53 Régime de forte perturbation ee : augmentation du nombre détats finals accessibles lors des processus de diffusion, réduction de leffet de « blocage de Pauli » e-ph : C e (T) augmente simulation en bon accord avec lexpérience décroissance non exponentielle, la thermalisation se déroule sur une échelle de temps plus longue Th. A. Arbouet Th. C. Voisin ee e-ph film dor s =2,5 eV T exci =15 K T exci =1300 K Ag N (D=9 nm); matrice de verre pp =1,6 eV; s =3,2 eV

54 observation de processus transitoires film dargent T exci =18 K pp =1,45 eV s =2,9 eV Th. C. Voisin niveaux très excités : durée de vie très courte (E-E F ) -2 pic transitoire ( s ) T ph (t) bande d E-E F (eV) pp s pp + s > ib

55 Cas des nanoparticules : effets de taille finie, de surface Lorsque R augmente les temps de relaxation mesurés « saturent » vers ceux mesurés pour les films ( 25 nm dépaisseur) film métal massif ? Les courbes T/T et R/R sont similaires -qualitativement- à celles obtenues pour les films Temps mesurés indépendants de lenvironnement Propriétés intrinsèques Décroissance des temps de relaxation lorsque la taille diminue Grosses tailles Mécanismes de relaxation similaires Effets perturbatifs ? Nouveaux processus ? R film Plus dinvariance par translation (surface, défauts) Modification des états électroniques Spectre de phonons modifié (modes de surface) Modification de lécrantage Niveaux discrets, etc….. facteurs impliqués

56 Cas des nanoparticules : effets de taille finie Th. C. Voisin Ag Au PRB 69, p (2004) sonde au seuil interbande sonde < seuil interbande Les temps de thermalisation électronique et électron-phonon diminuent lorsque la taille diminue

57 Cas des nanoparticules : effets de taille finie PRB 69, p (2004) taux de collision moyen ee R=94 bohr ee dépendance approximative du taux de collision e-e importance de lécrantage Modèle phénoménologique nécessité dune modélisation plus approfondie

58 Cas des nanoparticules : effets de taille finie e-ph interprétation non résolue à lheure actuelle problème complexe, même dans la phase massive Couplage avec les modes capillaires de surface ? g=g b +g cap (R) min =(2) 1/2 d ٱ Ag Au + Cu Th. A. Arbouet

59 Oscillations acoustiques des nanoparticules Confinement modification des phonons acoustiques de grande longueur donde Observation des modes radiaux isotropes (l=0) l=k=0 : mode « de respiration » Ag N /verre D=26 nm contrôle de loscillation cohérente harmonique k=1 observable efficacité de lexcitation (théorie de Lamb; milieux continus, élastiques, homogènes) modes (k, l, m) (g=2m+1) l,k sphéroïdaux torsionnels modes

60 Modes sphéroïdaux et torsionnels (théorie de Lamb; milieux continus, élastiques, homogènes) modes (k, l, m) (g=2m+1) pulsation (transfert dénergie acoustique vers la matrice) amortissement homogène calcul amortissement homogène et inhomogène (du à la distribution de tailles)


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