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Théorie de linformation pour les systèmes finis: processus hors équilibre et transitions de phase n Physique statistique des systèmes finis u En taille.

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1 Théorie de linformation pour les systèmes finis: processus hors équilibre et transitions de phase n Physique statistique des systèmes finis u En taille u En temps u Longue portée (chargés) n Transitions de phase u Inéquivalences densembles u Observables u Applications en physique nucléaire

2 Exemples n Collisions dions lourds rélativistes Excitation Energy (MeV) Temperature (MeV) Yb Siem-PRC65(2002) n Superfluidité dans les noyaux Schmidt et al, PRL 79(1997)99 Temperature (K) Heat Capacity (eV/K) n Transition solide-liquide dans les agrégats n Lensemble évaporatif Brechignac et al, PRL81(98)4612 Z = Tr e – H (?) A.Ono, PRC 59(98)853

3 Physique statistique pour les systèmes infinis « Equilibrium is a macroscopic phenomenon….equilibrium is an unchanging state » (S.K.Ma, Statistical Mechanics) « If a closed macroscopic system is in a state such that in any macroscopic subsystem the macroscopic physical quantities are to a high degree of accuracy equal to their mean value, the system is said to be in statistical equilibrium (or thermal equilibrium) » (L.D.Landau, Statistical Physics) Un système infini est un ensemble de sous-systèmes infinis une réalisation (événement) peut être en équilibre Z = Tr e – H

4 Physique statistique pour les systèmes finis Les interfaces ne sont pas négligeables dans les systèmes finis une réalisation (événement) ne peut pas être en équilibre Nécessité dun ensemble de repliques

5 n Mixing u Conditions initiales inconnues Valable à un temps défini p q p q -> t p q n Stochastique u Dynamique inconnue n Complexe / min info (Jaynes – Balian) u Un nombre limité dobservables pertinentes => variables détat (conservées ou non) Valable à tous les temps; Variables détat arbitraires p q p q p q n Ergodique u <>temps = <>espace des phases Conditions aux bords? Etats dans le continuum? Variables détat: lois de conservation (E, J, P …) Physique statistique pour les systèmes finis

6 n Minimum bias : min I sous contrainte u Multiplicateurs de Lagrange Probabilité pour chaque état Fonction de partition Contraintes = EOS u Ensemble statistique: u Information (Shannon): u Observables: Théorie de linformation pour les systèmes finis

7 n Pouvoir prédictif ? u Léquilibre est difficile à démontrer (ergodicité/reduction de linformation) u Léquilibre nest jamais rigoureusement réalisé en nature u La distance de léquilibre est une observable Tr(DA)-Tr(D eq A) 0 moyennes exactes par construction Tr(DA 2 )-Tr(D eq A 2 ) 0 réalisation au niveau des variances Tr(DlnD) Tr(D eq lnD eq ) estimation macroscopique Tr(DD eq )-1 0 estimation microscopique Théorie de linformation pour les systèmes finis p (E) exp(- E – gaussian ensemble exp q (- E) = (1+(q q/(q-1) Tsallis R.S.Johal et al.PRE(2003)

8 Théorie de linformation et ensembles statistiques n Contraintes (ext) n Lois de conservation n Observations (time odd) n Echantillonage Microcanonique E Canonique Isobare Déformé En expansion Grand En rotation Isochore V

9 Inéquivalence entre ensembles R. Balian « Statistical mechanics » n Canonique : u Fonc. de partition = Laplace tr.: u Energie moyenne (EOS) u Entropie = Legendre tr.: ! n Mais S c ( )canonique S(E) microcanonique u => EOS canonique EOS microcanonique n Microcanonique : u Shannon = Boltzmann: u Température (EOS):

10 Transitions de phase dans les systèmes infinis Ordre de la transition: discontinuité dans Ehrenfests definition EOS Premier ordre: R. Balian, Springer (1982) L.E. Reichl, Texas Press (1980) Potentiel thermodynamique non analytique pour Energy Temperature ßtßt E1E1 E2E2 Caloric curve Temperature ßtßt Log Z Thermodynamical potential

11 inéquivalence des ensembles: Lagrange contrôlé: paramètre dordre contrôlé: Transitions de phase dans les systèmes finis Z analytique: transition arrondie Energy Temperature ßtßt Caloric curve Energy Temperature ßtßt Caloric curve Energy Temperature ßtßt Caloric curve

12 Inéquivalence n Distribution canonique u entropie micro Canonical Canonical (Most Probable) Lattice-gas Model Energy Distribution Liquid Gas Microcanonical Entropy Lattice-Gas Temperature F. Gulminelli & Ph. Chomaz., PRE 66 (2002) n Bimodale: inéquivalence n Monomodale u Le plus probable: u Moyenne: u EOS can EOS micro. L G u u Le plus probable: coéxistence interdite

13 Vers les systèmes finis: le théorème de Yang Lee Origine des non analyticités C.N. Yong, T.D.Lee Phys.Rev.1952 sin cos analytique Premier ordre La transition de phase est univoquement définie par la distribution des zéros de la fonction de partition

14 Yang Lee et Bimodalité Binder Landau 1984 K.C..Lee 1996 sin cos Fonction de partition et distribution de probabilité Distribution normale: pas de zéros Distribution bimodale P = P 1 +P 2 : double approximation de point selle E1E1 E2E2 ß E distribution at Energy E1E1

15 Bimodalité dans la distribution des observables O.Lopez et al. 2001, B.Tamain et al Z1Z1 Z2Z2 "reservoir" T 197 Au Au+Au 80 A.MeV data paramètre dordre: asymétrie de charge Z big -Z small Z 1 -Z 2 Z1Z1

16 n Pente inversée dans léquation détat associée au paramètre dordre Une transition de phase correspond à une susceptibilité négative Bimodalités et susceptibilités négatives Probabilité Température énergie D.J.Wales R.S.Berry 1994 Lagrange controlé paramètre dordre controlé

17 Melby et al, PRL 83(1999)3150 Décroissance : densité de niveaux X( 3 He, 3 He )X * T 1 log W E Excitation Energy (MeV) Microcanonical T (MeV) Er 162 Dy 172 Yb Heat Capacity(k B ) T(MeV)

18 Susceptibilités négatives et fluctuations anormales (1),(2) indépendants J.L.Lebowitz 1967 Lagrange contrôlé « canonique » paramètre dordre contrôlé « microcanonique » A=cst

19 Susceptibilités négatives et fluctuations anormales fluctuation estimation exact Lattice-Gas Model Ph.Chomaz F.Gulminelli V.Duflot 2001,F.Gulminelli 2005 A=E tot A 1 =E k A=A tot A 1 =A max

20 Fragmentation Nucléaire Multics-Miniball Indra-Aladin Indra Xe+Sn central Au+Au QP, Au+X central Isis E900A all one source Isis Au Au+Au QP

21 Conditions aux bords / Etats du continuum (x,y,z) = 0 u Etats liés: conditions aux bords non relevantes u Systèmes piégés: Hamiltonien modifié u En général, H necessite des conditions aux bords => la thermo nest pas définie sans conditions aux bords => Ex: Entropie S(E)= log W(E) non définie => Introduction dune surface S : (n) =0 sur S

22 n Ensemble statistique => thermodynamique modifiée => information infinie non physique => ensemble microcanonique W(E,N,V) non physique n Équation aux valeurs propres => énergetique modifiée Projecteur sur la surface n Conditions aux bords contraintes spatiales ex: = => Ensemble isobare Conditions aux bords / Etats du continuum Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004)

23 Dépendance du temps n Contraintes Lois de conservation D change au cours du temps n Exemple: TDHF

24 n Observables connues au temps t l ; système observé au temps t Max S au temps t avec contraintes déterminées au temps antérieur t l = t - t l u Evolution de D de t l à t u Heisenberg picture: u => observables time odd Ensembles statistiques dépendant du temps Balian, Al-Hassid & Reinhardt, An. Phys. (1987); Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004)

25 n Extension aux temps finis u Minimum bias au temps t avec contraintes effectives au temps t 0 u Nouvelles contraintes et multiplicateurs de Lagrange cas Hamiltonien u Cas particulier: algèbre fermée information finie à tous les temps! Ensembles statistiques dépendant du temps Balian, Al-Hassid & Reinhardt, An. Phys. (1987); Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004)

26 1 particule à 1D couplée à un thermostat à u Observable: énergie cinétique t0 u Algèbre fermée u Solution exacte à tous les temps équilibre avec une température dépendante du temps Exemple: mouvement Brownien Caldeira Legget d=2m fluctuation -dissipation

27 n Système préparé au temps t 0 et en expansion libre pour t>t 0 u fini au temps t 0 : potentiel externe équilibre dans un piège 0 r 2 u Evolution successive: => flot radial u Gaz parfait: solution exacte à tous les temps Exemple: la dynamique de lexpansion

28 n Contrainte additionnelle: flot radial u Lagrange additionnel h(r) u expansion auto similaire h =cst Traitement statistique du flot radial x z Expansion Thermal distribution in the moving frame Negative pressure Isobar ensemble h

29 Gulminelli, Chomaz, Nucl. Phys A (2004) n Gaz sur réseau en expansion (Meme énergie totale, flots différents) u Distribution des fragments modifiée closest neighbor interaction Only thermal Thermal+expansion Fragment yields Fragment masses Traitement statistique du flot radial Lattice-Gas Model

30 IV Conclusion n Systèmes finis => Théorie de linformation u Différents ensembles - inéquivalences n Transitions de phase => Bimodalités Courbures inversées Fluctuations anormales n Boundary (continuum) => Contraintes de volume u S(E,N,V) non définie n Transient => ensemble stat. dépendant de t u Equilibre sous flot u freeze-out multiples n Longue portée => Multicanonique


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