Introduction à la Théorie des Graphes

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1 Introduction à la Théorie des Graphes
Olivier Nocent

2 http://nocent http://leri.univ-reims.fr/~nocent
C’est déjà Noël GRATUIT Le cours « Introduction à la Théorie des Graphes » (au format PowerPoint et Acrobat Reader) est disponible sur l’intranet du Département Informatique IUT de Reims-Châlons-Charleville

3 Un peu d’Histoire… La ville de Koeninsberg (aujourd’hui Kaliningrad) est traversée par la Pregel, qui coule de part et d’autre de l’île de Kneiphof, et possède sept ponts. Question posée à Euler en 1736 : Peut-on visiter tous les quartiers de la ville en traversant chaque pont qu’une seule fois ? a b d c IUT de Reims-Châlons-Charleville

4 Applications Cartographie Réseau routier, réseau internet, …
Économie – Gestion Planning de livraisons, gestion de flots, ordonnancement, … Chimie – Biologie Modélisation de molécules, ADN, … Sciences Sociales Généalogie, phénomènes de masse, conflits, … Linguistique Grammaire, Compilation, … Intelligence Artificielle Comportement, … IUT de Reims-Châlons-Charleville

5 Théorie des ensembles [D1] Un ensemble est une collection d’objets. Un ensemble fini se définit à partir de l’énumération de ses éléments. X = {x1,x2 , … ,xn} L’ensemble vide est noté . [D2] La cardinalité d’un ensemble X, notée |X| ou Card X, est le nombre des éléments de X. Pour un ensemble infini X, |X| = ∞. [D3] P(X) est l’ensemble des parties (sous-ensembles) de X. [E1] X = {a,b,c} P(X) = { ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} } [T1] Cardinalité de P(X) : |X| = n  |P(X)| = 2n. IUT de Reims-Châlons-Charleville

6 Théorie des ensembles A  B  x  A  x  B A = B  A  B et B  A
[D4] La formule x  X signifie que x appartient à l’ensemble X. La formule x  X signifie que x n’appartient pas à l’ensemble X. [D5] Soient A,B  P(X). A est inclus dans B, noté A  B, si tous les éléments de A sont des éléments de B. A  B  x  A  x  B A est égal à B, noté A = B, si A est inclus dans B et B inclus dans A. A = B  A  B et B  A IUT de Reims-Châlons-Charleville

7 Opérations ensemblistes
[D6] Soient A,B  P(X). On peut construire de nouveaux éléments de P(X) à l’aide des opérations suivantes : La réunion de A et B A  B = { x  X : x  A ou x  B } L’intersection de A et B A  B = { x  X : x  A et x  B } La différence de A et B A - B = { x  X : x  A et x  B } X – A est aussi appelé le complémentaire de A dans X. IUT de Reims-Châlons-Charleville

8 Parties de X à k éléments
[D7] Pk(X) est l’ensemble des parties (sous-ensembles) de X à k éléments. [E2] X = {a,b,c} P1(X) = { {a},{b},{c} } P2(X) = { {a,b},{a,c},{b,c} } P3(X) = { {a,b,c} } [T2] Réunion des parties de X à k éléments : |X| = n  P(X) =   P1(X)  P2(X)  …  Pn(X) IUT de Reims-Châlons-Charleville

9 Produit cartésien d’ensembles
[D8] Soient A,B  P(X). On définit le produit cartésien de A et B, noté A  B, de la façon suivante : A  B = { (a,b) : a  A et b  B } Un élément de l’ensemble A  B est appelé un couple. Par abus de notation, l’ensemble X n est le résultat de n produits cartésiens de X. [E3] X 2 = X  X X 3 = X  X  X X 4 = X  X  X  X A B A  B a b (a,b) IUT de Reims-Châlons-Charleville

10 Application sur X [D9] Une application univoque  sur X associe à tout élément x de X un unique élément (x) de X. ( : X  X) [E4] La fonction x  sin x est une application univoque sur . [D10] Une application multivoque  sur X associe à tout élément x de X un sous-ensemble (x) d’éléments de X. ( : X  P(X)) [E5] Si X est l’ensemble des personnes d’une même famille. L’application qui à un individu x associe l’ensemble de ses enfants est une application multivoque sur X. IUT de Reims-Châlons-Charleville

11 Graphe [D11] Un graphe G est défini par : Un ensemble de sommets X.
Une application multivoque  sur X qui, à chaque sommet x, associe le sous-ensemble (x) des sommets atteignables depuis x. (x) est l’ensemble des successeurs de x. On utilise alors la notation : G = (X, ) [D12] L’ordre du graphe G, noté |G|, est le nombre de sommets du graphe. (|G| = |X| ) IUT de Reims-Châlons-Charleville

12 Lien entre successeurs et prédécesseurs
A partir de l’ensemble des successeurs de chaque sommet x de X, on peut définir l’ensemble des prédécesseurs de x : [D13] Un sommet y est un prédécesseur du sommet x si x appartient à l’ensemble des successeurs de y. L’ensemble des prédécesseurs de x est donné par la formule suivante : -1(x) = { y  X : x  (y) } [E6] X = {a,b,c,d,e} (a) = {d} -1(a) = { x  X : a  (x) } = {b,e} (b) = {a} -1(b) = { x  X : b  (x) } = {e} (c) = {e} -1(c) = { x  X : c  (x) } = {d} (d) = {c,e} -1(d) = { x  X : d  (x) } = {a} (e) = {a,b} -1(e) = { x  X : e  (x) } = {c,d} IUT de Reims-Châlons-Charleville

13 Graphe non orienté [D14] Un graphe G = (X, ) est non orienté si :
Pour tout sommet x de X, chacun de ses successeurs y a x pour successeur.  x  X : y  (x)  x  (y) [E7] Soit X l’ensemble des étudiants présents. (x) est l’ensemble des voisins de l’étudiant x sur la même rangée. (x) = {w,y} (y) = {x,z} x z w y arête {x,y} Dans un graphe non orienté, les relations bilatérales entre sommets sont décrites par les arêtes de A  P2(X). On note alors G = (X,A). IUT de Reims-Châlons-Charleville

14 Graphe orienté [D15] Un graphe G = (X, ) est orienté si il n’est pas non orienté. [E8] Soit X l’ensemble des étudiants présents. (x) est l’ensemble des voisins de droite de l’étudiant x sur la même rangée. (x) = {y} (y) = {z} z y w x arc (x,y) Dans un graphe orienté, les relations unilatérales entre sommets sont décrites par les arcs de U  X 2. On note alors G = (X,U). [D16] Dans un arc (x,y) de U, x est l’extrémité initiale et y est l’extrémité terminale. IUT de Reims-Châlons-Charleville

15 Illustration [E9] X = {a,b,c,d,e,f} (a) = {d} (b) = {a} (c) = {e} (d) = {c,e} (e) = {a,b} (f) =  Graphe orienté ou non orienté ? a d b f e c X = {a,b,c,d,e,f} U = { (a,d) , (b,a) , (c,e) , (d,c) , (d,e) , (e,a) , (e,b) } IUT de Reims-Châlons-Charleville

16 xi adjacent à xk  xi  (xk) ou xk (xi)
Adjacence de sommets [D17] Deux sommets xi et xk de X sont adjacents si xi est un successeur de xk ou si xk est un successeur de xi. xi adjacent à xk  xi  (xk) ou xk (xi) Dans un graphe non orienté :  a  A : a = {xi , xk} Dans un graphe orienté :  u  U : u = (xi , xk) ou u = (xi , xk) IUT de Reims-Châlons-Charleville

17 Matrice d’adjacence dans un graphe orienté
x1 x2 … xn 1 A = Aij = 1 si (xi,xj)  U = 0 sinon [T3] Deux sommets xi et xj sont adjacents sssi Aij = 1 ou Aji = 1. [T4] La matrice d’adjacence d’un graphe non orienté G = (X,A) est symétrique. IUT de Reims-Châlons-Charleville

18 Degré d’un sommet dans un graphe orienté
[D18] Un arc u  U est un arc incident à x vers l’extérieur si l’extrémité initiale de u coïncide avec le sommet x  X. On note Ux+ l’ensemble des arcs incidents à x vers l’extérieur. Un arc u  U est un arc incident à x vers l’intérieur si l’extrémité terminale de u coïncide avec le sommet x  X. On note Ux- l’ensemble des arcs incidents à x vers l’intérieur. [D19] Le demi-degré extérieur de x, noté d + (x), est le nombre d’arcs incidents à x vers l’extérieur. d + (x) = |Ux+|. Le demi-degré intérieur de x, noté d-(x), est le nombre d’arcs incidents à x vers l’intérieur. d - (x) = |Ux-|. Le degré de x, noté d(x), est le nombre des arcs ayant une extrémité coïncidant avec x. d(x) = d - (x) + d + (x). IUT de Reims-Châlons-Charleville

19 Illustration graphique
d Demi-degré extérieur de e : d + (e) = 2 Demi-degré intérieur de e : d - (e) = 3 Degré de e : d (e) = 2 + 3 e c b f IUT de Reims-Châlons-Charleville

20 Degré d’un sommet et matrice d’adjacence
x1 … xk xn A = 1 d +(xk) d - (xk) IUT de Reims-Châlons-Charleville

21 Adjacence d’arcs (Graphe orienté)
[D20] Deux arcs ui et uk de U sont semi-adjacents s’ils ont un sommet en commun. Deux arcs ui et uk de U sont adjacents si l’extrémité finale de ui coïncide avec l’extrémité initiale de uk . [E10] G = (X,U) un graphe orienté avec X = {x,y,z} et U = {u,v,w} Les arcs u et v sont adjacents. Les arcs u et w sont semi-adjacents. Les arcs v et w sont aussi adjacents. x y z u v w IUT de Reims-Châlons-Charleville

22 Chaînes et Chemins (Graphe orienté)
[D21] Une chaîne c est une séquence (u1 , u2 , … , um) d’arcs telle que : uk est semi-adjacente à uk+1 pour k, 0 < k < m. Une chaîne simple est une chaîne dont les arêtes sont toutes distinctes. Un cycle est une chaîne simple dont l’extrémité initiale du premier arc u1 coïncide avec l’extrémité finale du dernier arc um. [D22] Un chemin c est une séquence (u1 , u2 , … , um) d’arcs telle que : uk est adjacente à uk+1 pour k, 0 < k < m. Un chemin simple est un chemin dont les arêtes sont toutes distinctes. Un circuit est un chemin simple dont l’extrémité initiale du premier arc u1 coïncide avec l’extrémité finale du dernier arc um. IUT de Reims-Châlons-Charleville

23 Retour à Koeninsberg [D23] Une chaîne eulerienne est une chaîne simple contenant toutes les arêtes d’un graphe non orienté G = (X,A). a b d c [T5](Euler) Il n’existe pas de chaîne eulerienne dans le graphe de Koeninsberg . IUT de Reims-Châlons-Charleville

24 Lien entre chemins et matrice d’adjacence
Carré de la matrice d’adjacence A2 = A  A A2ij = Ai1  A1j + … + Aik  Akj + … + Ain  Anj 0 si Aik = 1 et Akj = 1 si xi a pour successeur xk xk a pour successeur xj A2ij = nombre de chemins de longueur 2 de xi vers xj [T6] Si A est la matrice d’adjacence d’un graphe orienté G = (X,U). Apij = nombre de chemins de longueur p de xi vers xj. IUT de Reims-Châlons-Charleville

25 T = A + A2 + A3 + … + An-1 Fermeture transitive
[D24] Soit G = ( X , U ) un graphe orienté d’ordre n. La fermeture transitive T du graphe est une matrice définie comme suit : T = A + A2 + A3 + … + An-1 [T7] Tij correspond au nombre de chemins (de longueur inférieure ou égal à n-1) depuis xi vers xj dans le graphe G. [T8] Si Tij = 0 alors il n’existe aucun chemin de xi vers xj dans le graphe G. IUT de Reims-Châlons-Charleville

26 Complexité du calcul de la fermeture transitive
[T9] La complexité du calcul de la fermeture transitive est d’ordre 4 : le temps de calcul est proportionnel à n4 où n est l’ordre du graphe (nombre de sommets du graphe). T = A + A2 + A3 + … + An-1 [Preuve de T9] Le calcul de la fermeture transitive T nécessite : (n-2) multiplications de matrices (n-2)n3 additions et (n-2)n3 multiplications (n-2) additions de matrices (n-2)n2 additions Finalement, 2 (n-2)n3 + (n-2)n2 ≈ kn4 opérations. n n2 n3 n4 10 100 1000 10 000 106 108 109 1012 IUT de Reims-Châlons-Charleville

27 Optimisation du calcul de la fermeture transitive
[D25] Une matrice booléenne est une matrice dont les coefficients sont des variables booléennes (V pour Vrai, F pour Faux). [D25b] Une matrice de fermeture transitive représentée par une matrice booléenne permet uniquement de savoir s’il existe un chemin entre deux sommets du graphe. Mais on ignore combien? A B A ▼ B A ▲ B V F IUT de Reims-Châlons-Charleville

28 Optimisation du calcul de la fermeture transitive
[A1] Algorithme de Warshall Pour i de 1 à n Pour j de 1 à n Pour k de 1 à n Tij = Tij ▼ (Tik ▲ Tkj) [T10] La complexité de l’algorithme de Warshall est d’ordre 3. [Preuve de T10] Le calcul de la fermeture transitive T nécessite : n3 ‘OU logique’, n3 ‘ET logique’ Finalement, 2n3 opérations. IUT de Reims-Châlons-Charleville

29 Parcours (en profondeur) d’un graphe
Objectif : déterminer l’ensemble des sommets atteignables depuis un sommet source s. [A2] Algorithme (récursif) de parcours d’un graphe Visiter les successeurs du sommet s Visiter un sommet t Début Si t n’a pas encore été visité Alors Marquer t Visiter les successeurs de t FinSi Fin IUT de Reims-Châlons-Charleville

30 Exemple de parcours en profondeur
Déterminer l’ensemble Xa des sommets du graphe atteignables depuis le sommet a. a d Visiter d Visiter c c Visiter b e b Visiter a Visiter e f Xa = { d , c, b, a, e } IUT de Reims-Châlons-Charleville

31 Connexité (Graphe orienté)
[D26] La longueur d’une chaîne (ou d’un chemin) c, notée l(c), correspond aux nombres d’arcs de la chaîne (ou du chemin). [D27] Un graphe est faiblement connexe si, entre deux sommets xi et xj quelconques, il existe une chaîne c = {u1 , … , um} de sorte que xi est une des extrémités de u1 et xj une des extrémités de um. [D28] Un graphe est fortement connexe si, entre deux sommets xi et xj quelconques, il existe un chemin c = {u1 , … , um} qui commence en xi et se termine en xj. IUT de Reims-Châlons-Charleville

32 Composantes connexes d’un graphe
[D29] Une composante faiblement connexe d’un graphe est un sous-ensemble Y de X tel que : entre deux sommets xi et xj quelconques de Y, il existe une chaîne c = {u1 , … , um} de sorte que xi est une des extrémités de u1 et xj une des extrémités de um. [D30] Une composante fortement connexe d’un graphe est un sous-ensemble Y de X tel que : entre deux sommets xi et xj quelconques de Y, il existe un chemin c = {u1 , … , um} qui commence en xi et se termine en xj. [D31] Une composante fortement connexe maximale (cfcm) d’un graphe est le plus grand sous-ensemble Y de X qui soit fortement connexe. IUT de Reims-Châlons-Charleville

33 Recherche de cfcm dans un graphe orienté
[A3] Algorithme de recherche d’une cfcm depuis un sommet s Marquer le sommet s du signe + - Tant que l’on peut modifier les signes des sommets Faire Marquer du signe + tout successeur d’un sommet marqué d’un + Marquer du signe - tout prédécesseur d’un sommet marqué d’un - FinFaire L’ensemble des sommets marqués du signe + - constituent la composante fortement connexe maximale issue du sommet s. IUT de Reims-Châlons-Charleville

34 Exemple de recherche de cfcm
cfcm depuis le sommet a : { a , b , c } cfcm depuis le sommet d : { d , e , f } - + - b + - + - + + a c d e + - + - - - f + + - IUT de Reims-Châlons-Charleville

35 Graphe orienté valué [D32] Un graphe orienté valué G est défini par :
Un ensemble de sommets X. Un ensemble d’arcs U  X2. Une valuation V : U  R qui à chaque arc du graphe associe une valeur réelle (poids). On utilise alors la notation : G = ( X , U , V ) IUT de Reims-Châlons-Charleville

36 Exemple de graphe orienté valué
7 a d 4 2 3 f 1 4 e 3 5 1 c b IUT de Reims-Châlons-Charleville

37 Recherche de chemins de poids minimal (resp. maximal)
Méthodes en deux étapes : Détermination des poids minimaux (resp. maximaux) de chaque sommet. Obtention du chemin minimal (resp. maximal) à l’aide des poids des sommets. IUT de Reims-Châlons-Charleville

38 Chemin de poids minimal
[A4] Algorithme de Ford Initialisation λ1 = 0 ;  j ≠1 λj = +∞ λj = λi + wij (xi , xj)  U : λj > λi + wij FIN OUI NON IUT de Reims-Châlons-Charleville

39 Chemin de poids maximal
[A5] Algorithme de Ford Initialisation λ1 = 0 ;  j ≠1 λj = - ∞ λj = λi + wij (xi , xj)  U : λj < λi + wij FIN OUI NON IUT de Reims-Châlons-Charleville

40 Chemin de poids minimal
[A6] Algorithme de Bellman-Kalaba Initialisation k = 0 λ1(k) = 0 ;  j ≠ 1 λj(k) = +∞ k = k + 1 λ1(k) = 0 ;  j ≠ 1 λj(k) = min {λi(k-1) + wij } xj  X : λj (k) ≠ λj (k-1) FIN OUI NON IUT de Reims-Châlons-Charleville

41 Chemin de poids maximal
[A7] Algorithme de Bellman-Kalaba Initialisation k = 0 λ1(k) = 0 ;  j ≠ 1 λj(k) = - ∞ k = k + 1 λ1(k) = 0 ;  j ≠ 1 λj(k) = max {λi(k-1) + wij } xj  X : λj (k) ≠ λj (k-1) FIN OUI NON IUT de Reims-Châlons-Charleville

42 Chemin de poids minimal
[A8] Algorithme de Dijkstra Initialisation D = { x1 } ; λ1 = 0 ;  j ≠ 1 λj = +∞ λk = min λj  xj  D D = D  { xk } ; λj = min {λj , λk + wkj }  xj  D xn  D FIN NON OUI IUT de Reims-Châlons-Charleville

43 Chemin de poids minimal
[A9] Obtention du chemin à partir des poids minimaux Initialisation xk = xn ; C = ( xn ) Chercher xj  X : λk = λj + wjk xk = xj C = ( xk , C ) xk = x1 FIN NON OUI IUT de Reims-Châlons-Charleville

44 Recherche de flots maximaux
Objectif : Faire transiter la plus grande quantité (information, marchandise, personnes) d’une source vers une destination au sein d’un réseau. [D33] Un réseau avec capacités R = (X,U,C) d’ordre n est un graphe orienté antisymétrique* valué dans lequel : -1(x1) = Ø x1 est le sommet entrée (source) (xn) = Ø xn est le sommet sortie (destination) *  (xi,xj)  U  (xj,xi)  U (arc à sens unique) Notation :  (xi,xj)  U : C(xi,xj) = Cij capacité de l’arc (xi,xj) IUT de Reims-Châlons-Charleville

45 Exemple de réseau avec capacités
b [3] [7] [5] Entrée a [4] d e Sortie [2] [5] [2] c IUT de Reims-Châlons-Charleville

46 Définition du flot réalisable
[D34] Un flot F sur un réseau avec capacités R = (X,U,C) est une valuation de l’ensemble des arcs U. Le flot correspond à la quantité qui transite sur le réseau. Notation :  (xi,xj)  U : F(xi,xj) = Fij flot sur l’arc (xi,xj) [D35] Un flot F sur R = (X,U,C) est réalisable s’il satisfait les contraintes de : Capacité des arcs Le flot sur un arc ne dépasse pas la capacité de cet arc. Conservation du flux (loi de Kirchoff) La somme des flots entrant dans un sommet est égale à la somme des flots sortant de ce sommet. IUT de Reims-Châlons-Charleville

47 Définition du flot maximal
[D36] La valeur d’un flot F sur R = (X,U,C) correspond à la quantité totale qui transite sur le réseau. La valeur du flot correspond à la somme des flots sortant de l’entrée qui est égale à la somme des flots convergeant vers la sortie (conservation du flux). [D37] Un flot F sur R = (X,U,C) est maximal si F est un flot réalisable qui maximise la valeur du flot. IUT de Reims-Châlons-Charleville

48 Construction du graphe d’écart
[D38] Un arc (xi,xj) du réseau R = (X,U,C) est saturé par le flot F si : Fij = Cij (capacité maximale atteinte) [D39] Un arc (xi,xj) du réseau R = (X,U,C) est antisaturé par F si : Fij = 0 (flot inexistant) [D40] A partir du réseau R = (X,U,C) et d’un flot F, on peut construire le graphe d’écart G = (X,F(U),E) qui traduit les augmentations ou diminutions possibles du flot F dans le réseau.  (xi,xj)  U : Si Fij < Cij (non saturé) alors (xi,xj)  F(U) , Eij = Fij- Cij (augmentation) Si Fij > 0 (non antisaturé) alors (xj,xi)  F(U) , Eji = Fij (diminution) IUT de Reims-Châlons-Charleville

49 Exemple de graphe d’écart
b b 3 [3] 2 5 [7] 3 5 a 2 [4] d a 2 2 d 1 4 [5] 2 [2] 2 4 c c Réseau R = (X,U,C) Graphe d’écart G = (X,F(U),E) IUT de Reims-Châlons-Charleville

50 Construction d’un flot maximal
[A10] Algorithme de Ford-Fulkerson Initialisation du flot F : Fij = 0 (arcs antisaturés) Fin = FAUX Tant que NON Fin Construction du graphe d’écart G = (X,F(U),E) Recherche d’un chemin C dans G depuis l’entrée vers la sortie Si C existe Alors Calcul de l’augmentation Affectation de l’augmentation Sinon Fin = VRAI IUT de Reims-Châlons-Charleville