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Proposition dune méthode exacte pour loptimisation des coûts dune chaîne logistique élémentaire S.E. Merzouk, O. Grunder & M. Elbagdouri Laboratoire Systèmes.

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1 Proposition dune méthode exacte pour loptimisation des coûts dune chaîne logistique élémentaire S.E. Merzouk, O. Grunder & M. Elbagdouri Laboratoire Systèmes et Transports (SeT) Université de Technologie de Belfort-Montbéliard Belfort France Mèl.

2 Journée Bermudes 2 Plan de la présentation. Introduction Système étudié Modèle mathématique et propriétés Procédure doptimisation exacte Résultats expérimentaux Conclusion et perspectives

3 Journée Bermudes 3 1.Introduction Réduction des coûts et délais Optimisation dune chaîne logistique Gain pour lensemble de la chaîne Chaîne logistique

4 Journée Bermudes 4 Economic Lot and Delivery Scheduling Problem (ELDSP) [Hahm J et al, 1992] Un seul type de produit fabriqué en lots sur une seule machine chez un fournisseur et livrés au client par un seul transporteur. Objectif : Minimiser le coût moyen par unité de temps de la production, du stockage et de transport. Lintervalle de production doit être un multiple de lintervalle de livraison Modèle continu qui suppose que la production et la livraison des produits se font périodiquement. Minimiser les coûts

5 Journée Bermudes 5 Single Item Lot-Sizing Problem (SILSP) [Wolsey1994] Problème de planification dans lequel la demande varie en fonction du temps sur un horizon T. Objectif : déterminer les périodes de production et les quantités à produire pour minimiser le coût global. La complexité dépend du système étudié. Beaucoup de variantes : mono produit / multi produits ; avec ou sans capacité ; …

6 Journée Bermudes 6 Capacited Single Item Lot-Sizing Problem (CSILSP) [Bitran et al, 1982] Contrainte : le nombre de produits réalisables pendant une période est limité par une capacité donnée. Notation : (coût de réglage, de stockage, de production et capacité) Valeurs possibles pour : G, C, ND, NI et Z (Général, Constant, Non-Decreasing, Non-Increasing et Zero). Complexité du problème : NP-difficile en général

7 Journée Bermudes 7 Discrete Lot-Sizing Problem (DLSP) [Manne 1958 ] Lhorizon de planification T est discrétisé en périodes Contrainte : on ne peut produire quau plus un produit par période. Objectif : déterminer la séquence et la taille des lots de différents types de produits Complexité du problème : NP-difficile.

8 Journée Bermudes 8 2.Système étudié Capacité limitée du transporteur. Aucun retard n est permis. Temps fixe pour faire un aller retour entre le client et le fournisseur Temps fixe pour charger ou décharger un produit. Contraintes : Système (un maillon logistique) : Client : demande des produits à des dates au plus tard. Fournisseur : ordonnance des lots pour satisfaire cette demande. Transporteur : effectue les livraisons du fournisseur au client.

9 Journée Bermudes 9 Minimiser le coût global : Coût de stockage chez le client Coût de stockage chez le fournisseur Coût de transport Objectif Variables de sortie du système : Nombre de voyages à effectuer. Nombre de produits à transporter dans chaque voyage. Les dates darrivée et de départ du transporteur.

10 Journée Bermudes 10 3.Modèle mathématique Coût de stockage fournisseur : w i, x i, yr i, yd i les dates de fin de production, de chargement (chez le fournisseur), darrivée et désirée (par le client) pour le produit numéro i. le coût de stockage par unité de temps chez le fournisseur et le client. le coût de transport dun lot de produits n le nombre de produits exigés par le client. Coût de transport : Coût de stockage client :

11 Journée Bermudes 11 Formulation du problème doptimisation général tp : temps de production dun produit tc : temps de chargement dun produit td : temps de déchargement dun produit tt : temps pour faire un aller (ou retour) entre le fournisseur et le client (tt>tc) c : capacité du transporteur

12 Journée Bermudes 12 Une séquence de chargement Une séquence de chargement Une suite qui vérifie : Aucun terme nest nul. La valeur maximale que peut prendre un terme de la suite est c. La somme de tous les termes est égale à n. Le nombre de termes de la suite est Une séquence de chargement partielle : Une séquence de chargement partielle : Une séquence de chargement pour n < n Définitions Lavance dune séquence partielle (coût de stockage client)

13 Journée Bermudes 13 Considérations Deux problèmes doptimisation imbriqués : Optimisation sur les séquences de chargement Pour une séquence donnée, optimisation des dates de départ du transporteur. Dans le cas dun seul maillon => la politique du juste à temps permet dobtenir pour une séquence donnée, les dates de départ optimales (faux pour plusieurs maillons) Hypothèse : le coût du fournisseur est négligeable par rapport aux autres coûts.

14 Journée Bermudes 14 Expression des dates de départ et darrivée des produits Pour déterminer le coût dune séquence partielle, il faut calculer pour chaque produit : sa date de fin de production, sa date de chargement, sa date de déchargement. Utilisation de lalgèbre max-plus pour déterminer les dates au plus tard darrivée des produits [Elmahi,2002]

15 Journée Bermudes 15 Exemple de calcul de dates FOURNISSEUR Dates de départ Dates darrivée Dates dues CLIENT Séquence : 2-3 t 5 produits à livrer Avance = (13-10)+(16-11)+… =13

16 Journée Bermudes 16 Expression des dates darrivée des produits du dernier lot Date darrivée du 1er produit du dernier lot pour une séquence Date darrivée des autres produits du dernier lot : Notations: yd i : date due du produit i yr i : date darrivée du produit i td : temps de déchargement dun produit du transporteur

17 Journée Bermudes 17 Expression des dates darrivée des produits dun autre lot Date darrivée du 1er produit du lot k pour une séquence Date darrivée des autres produits du dernier lot : Notations: tc : temps de chargement dun produit dans le transporteur tt : Temps dun voyage entre le client et le fournisseur Indice du 1er produit du lot k :

18 Journée Bermudes 18 Définitions On définit lensemble des solutions U n,c On définit lensemble des séquences complètes construites à partir de On note la séquence appartenant à dont le coût est le plus faible.

19 Journée Bermudes 19 Exemple

20 Journée Bermudes 20 Proposition Soient deux séquences partielles et pour le même nombre de produits. Si : Alors domine : Proposition

21 Journée Bermudes 21 Procédure doptimisation exacte Programmation dynamique Méthode de résolution exacte. Trouver la solution optimale en se basant sur des sous – solutions du problème. Réduire lespace de recherche Gain en temps de calcul. Étapes de la procédure : Établir une propriété récursive qui donne la solution optimale à une instance du problème. Construire une table qui contiendra les solutions optimales aux sous – problèmes intermédiaires. Construction ascendante de la solution optimale => problèmes simples vers problèmes complexes.

22 Journée Bermudes 22 Arborescence des solutions Présentation sous forme darborescence : chaque nœuds correspond à un lot de produits transporté. Le premier niveau correspond au derniers lots. On associe les coûts des séquences partielles à chaque nœud.

23 Journée Bermudes 23 Dénombrement des solutions On note U n,c lensemble des solutions pour n produits et une capacité c. Proposition : Nombre de solutions pour n produits et capacité n : |U n,n | = 2 n-1 Proposition : |U n,n | = |U n,n-1 | + 1 Proposition :|U p+c,c | = |U p,c | + |U p+1,c | + |U p+2,c | + … + |U p+c-1,c | C=2 : |U p+2,2 | = |U p,2 | + |U p+1,2 | (suite de fibonacci) C=3 : |U p+3,3 | = |U p,3 | + |U p+1,3 | + |U p+2,3 | (suite de fibonacci généralisée)

24 Journée Bermudes 24 Construction du tableau des sous – solutions. n Solutions dominantes , 2 … k-c+1 … k-1 k k+1 … nSolution optimale Proposition Avance Date darrivée du premier produit Nombre de voyages c 0...

25 Journée Bermudes 25 Coupe classique La proposition est efficace dans le cas où le coût de stockage chez le client est équivalent ou prépondérant à celui du transporteur. Construire une bonne solution de départ. À chaque niveau du tableau, prendre la solution dont le coût est le plus faible Si le coût dune solution partielle est supérieur au coût de la solution trouvée, elle sera éliminée du tableau. Réduction de lespace de recherche

26 Journée Bermudes 26 Solution de départ n Solutions dominantes c … k-c+1 … k-1 k k+1 nSolution optimale...

27 Journée Bermudes 27 5.Résultats expérimentaux nMinimumMoyenneMaximum exécutions pour chaque n Pentium 4 à 2,66 Ghz 512 Mo de Ram Unité de temps = ms

28 Journée Bermudes 28 6.Conclusion Ordonnancer les livraisons de produits entre deux sites dune chaîne logistique. Optimiser le coût global de transport et de stockage Des résultats mathématiques intéressants ont contribué largement à la procédure doptimisation exacte. Une procédure performante même pour des problèmes de taille importante Objectifs : Résultats :

29 Journée Bermudes 29 7.Perspectives Améliorer la procédure doptimisation en envisageant un traitement particulier aux cas extrêmes qui la ralentissent. Généralisation du modèle à : plusieurs transporteurs plusieurs types de produits Une chaîne logistique entière.


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