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Le plan des cours danalyse Etude des phénomènes variables CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles CM3 Prendre du recul calculer.

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1 Le plan des cours danalyse Etude des phénomènes variables CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles CM3 Prendre du recul calculer une primitive et intégrer une fonction CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle MathSV : chapitre 6

2 Equations différentielles Introduction à la modélisation Définitions et généralités Méthodes de résolution

3 Croissance de la population chinoise Etape 1 Démographie en Chine 1,28 milliards dhabitants en 2001 Une politique de contrôle des naissances

4 La démarche de modélisation 1. partir dune problématique qui concerne le monde du vivant

5 Croissance de la population chinoise Etape 2 Les conséquences dune politique démographique : le nombre dhabitant en 2005 ? En 2010 ?

6 La démarche de modélisation 2. identifier le phénomène à étudier, préciser le problème qui se pose

7 Croissance de la population chinoise Etape 3 Modélisation de la variation au court du temps de la taille de la population chinoise : N(t) Un problème de démographie (dynamique de population)

8 La démarche de modélisation 3. traduire le problème en langage mathématique/informatique/statistique

9 Données : Naissances, morts, migrations (négligées) : On prévoit que les taux de natalité et mortalité dans la période seront stables : Le taux de natalité est de 13 en 2001, le taux de mortalité est de 3. Modèle : une équation différentielle Etape 4 Quels sont les processus qui provoquent cette variation ? Croissance de la population chinoise

10 La démarche de modélisation 4. faire linventaire des modèles connus et des données utiles

11 Etape 5 Modèle exponentiel en temps continu r = taux daccroissement absolu (constant = indépendant de N) Croissance de la population chinoise

12 La démarche de modélisation 5. sélectionner un modèle et recueillir les données puis proposer une réponse

13 Résoudre le problème K = N(t=0) = 1,28 milliards dhabitant en 2001 r = (13-3)/1000 = 0,01 N(t=4) = 1,33 milliards dhabitants en Chine en Solution :

14 La démarche de modélisation 6. validation, protocoles expérimentaux, généralisations...

15 Exemple en pharmaco-cinétique Lors de ladministration dun médicament par injection intraveineuse, sa concentration dans le sang est instantannément maximale, puis elle décroît… comment ? f(t)=?

16 Exemple en pharmaco-cinétique A partir dun instant t, la diminution de cette concentration est proportionnelle à la concentration à linstant t : Solution :

17 Définitions, généralités

18 Définition On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x et les valeurs dune fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x. Equation différentielle dordre n :

19 Définition On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x et les valeurs dune fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x. Equation différentielle dordre 1 :

20 Exemple et notation Dérivée première : Dérivée n ième :

21 Lexique général Résoudre (intégrer) MathSV : chapitre 6, section 7.1

22 Lexique général Solution générale Condition initiale Solution particulière

23 Lexique général Courbe intégrale

24 Équations Différentielles dordre 1 1. À variables séparables 2. Homogènes 3. Linéaires sans second membre avec second membre à coefficients constants

25 E. D. 1 à variables séparables On peut se ramener à une intégrale sur y = une intégrale sur x

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27 Evolution de la population chinoise la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population

28 Evolution du poids dun organisme MathSV : chapitre 6, section 7.2.1

29 E. D. 1 homogène On peut se ramener à une équation à variables séparables par un changement de variable u = y/x

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31 E. D. 1 linéaires De la forme : Linéaire en y Second membre 1 er ordre

32 E. D. 1 linéaires ED linéaire dordre 1 sans second membre SSM ED linéaire dordre 1 avec second membre ASM ED linéaire dordre 1 à coefficient constant

33 Méthodes de résolution des ED linéaires du 1 er ordre

34 E. D. dordre 1 linéaire SSM Une ED linéaire Sans Second Membre est une ED à variables séparables à solution de forme exponentielle

35 Selon les cas : –Rechercher une solution particulière y p –Méthode de variation de la constante E. D. dordre 1 linéaire ASM

36 Avec recherche dune solution particulière 1. Résoudre lED sans second membre :

37 Avec recherche dune solution particulière 2. Trouver une solution particulière : De la forme Par identification, on obtient

38 Avec recherche dune solution particulière 3. La solution générale est : la solution de lED SSM + la solution particulière

39 Avec recherche dune solution particulière La solution de lED SSM + Une solution particulière est la solution générale F est la primitive de f

40 1. Résoudre lED sans second membre : Méthode de variation de la constante

41 2. Faire varier la constante : De la forme Par identification, on obtient Méthode de variation de la constante

42 On cherche une solution générale de la forme F est la primitive de f

43 ED linéaire dordre 1 à coefficient constant avec f ( x ) = Cste = a - Si g ( x ) est un polynôme de degré n alors on cherche une solution particulière y p = a n x n + a n-1 x n-1 +… + a 1 x + a 0 (un polynôme de degré n) - Si g ( x ) = e ax P ( x ) alors on pose y p = e ax z

44 ED linéaire dordre 1 à coefficient constant avec f ( x ) = Cste = a - sinon : la méthode de variation de la constante


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