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Analyse de la variance à deux facteurs (données équilibrées)

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Présentation au sujet: "Analyse de la variance à deux facteurs (données équilibrées)"— Transcription de la présentation:

1 Analyse de la variance à deux facteurs (données équilibrées)
Michel Tenenhaus

2 Valeurs observées en mg de P2O5 pour 100 gr de terre sèche
Exemple Dagnelie Comparaison de trois types de sondes pédologiques dans deux types de sol Valeurs observées en mg de P2O5 pour 100 gr de terre sèche

3

4 Analyse de la variance à deux facteurs (Données équilibrées)
Modèle : Modèle additif : Modèle avec interaction :

5 Modèle additif vs modèle avec interaction
La différence entre les sols ne dépend pas de la sonde. Modèle avec interaction : La différence entre les sols dépend de la sonde. Ici le modèle sans interaction semble préférable.

6 Fonction estimable Seules sont estimables les combinaisons linéaires
des paramètres , i, j, ij pouvant s’exprimer comme des combinaisons linéaires des ij : La combinaison linéaire est estimable si et seulement si elle peut s’écrire sous la forme

7 Fonction estimable pour le modèle avec interaction
6 paramètres

8 Étude du modèle avec interaction :
Test sur le facteur A : H0 : 1. = 2. Test : H0 : 1 - 2 + (11 + 12 + 13)/3 - (21 + 22 + 23)/3 = 0 Plus l’interaction est forte, moins ce test a de sens. Mais ce test a-t-il un sens ?

9 Contraste pour tester SOL dans SPSS

10 Étude du modèle avec interaction :
Test sur le facteur B : H0 : .1 = .2 = .3 Test : H0 : 1 - 2 + (11 + 21)/2 - (12 + 22)/2 = 0, .1 - 3 + (11 + 21)/2 - (13 + 23)/2 = 0

11 Contraste pour tester SONDE dans SPSS

12 Étude du modèle avec interaction :
Test de l’interaction A*B : H0 : 11 - 21 = 12 - 22 = 13 - 23 Test : H0 : 11 - 21 = 12 - 22 = 13 - 23

13 Contraste pour tester l’interaction SOL*SONDE dans SPSS

14 Modèle sur-paramétré Problème d’indétermination : Décrire 6 paramètres (les ij) à l’aide de 12 paramètres !!!!

15 Modèle de rang plein de SPSS (utilisé pour l’estimation du modèle)
Y =  + 1A1 + 1B1 + 2B2 + 11A1*B1 + 12A1*B2 +  où : A1 = (Sol = 1), A2 = (Sol = 2) B1 = (Sonde = 1), B2 = (Sonde = 2), B3 = (Sonde = 3)

16 Matrice X Facteurs

17 Estimation du modèle Difficile à interpréter pour les modèles avec interactions (Exemple : interpréter )

18 Test sur A avec le modèle de rang plein de SPSS
Test sur A : H0 : 1. = 2. vs H1 : 1.  2. Test : H0 : 31 +  12 = 0

19 Test sur A avec le modèle de rang plein
Y =  + 1A1 + 1B1 + 2B2 + 11A1*B1 + 12A1*B2 +  Test sur A : H0 : 1. = 2. Test : H0 : 31 +  12 = 0

20 Solution SPSS Syntaxe SPSS UNIANOVA p2o5 WITH A1 B1 B2 A1B1 A1B2
/METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /LMATRIX="Effet Sol" A1 3 A1B1 1 A1B2 1 /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = A1 B1 B2 A1B1 A1B2 .

21

22 Justification du test sur A
Régression complète (H1) Y =  + 1A1 + 1B1 + 2B2 + 11A1*B1 + 12A1*B2 + 

23 Régression sous H0: H0 : 31 +  12 = 0

24 Statistique utilisée Somme des carrés des erreurs Règle de décision On rejette H0 au risque  de se tromper si : ou bien

25 2e modèle de rang plein de SPSS (utilisé pour les tests)
Y =  + 1A1 - 1A2 + 1B1 + 2B2 + (-1 -2)B3 + 11A1*B1 + 12A1*B2 + (-11 - 12)A1*B3 - 11A2*B1 - 12A2*B2 + (11 + 12)A2*B3 +  =  + 1(A1-A2) + 1(B1-B3) + 2(B2-B3) + 11(A1-A2)*(B1-B3) + 12(A1-A2)*(B2-B3) + 

26 Matrice X pour le second modèle
Facteurs Matrice X

27 Test sur A avec le 2e modèle de rang plein de SPSS
Test sur A : H0 : 1. = 2. vs H1 : 1.  2. Test : H0 : 1 = 0

28 Solution SPSS Test sur A Régression complète (H1) Y =  + 1(A1-A2) + 1(B1-B3) + 2(B2-B3) + 11(A1-A2)*(B1-B3) + 12(A1-A2)*(B2-B3) + 

29 H0 : 1 = 0 Régression sous H0:

30 TEST SUR A On retrouve les mêmes résultats que précédemment.

31 Test sur B avec le 2e modèle de rang plein de SPSS
Test sur B : H0 : .1 = .2 = .3 Test : H0 : 1 = 2 = 0.

32 Test sur B Solution SPSS Régression complète Y =  + 1(A1-A2) + 1(B1-B3) + 2(B2-B3) + 11(A1-A2)*(B1-B3) + 12(A1-A2)*(B2-B3) + 

33 Régression sous H0: H0 : 1 = 2 = 0

34 TEST sur B Niveau de signification = Prob[F(2,18)  3.92)]

35 Test sur A*B avec le 2e modèle de rang plein de SPSS
Test sur A*B : H0 : 11- 21 = 12- 22 = 13- 23 Test : H0 : 11 = 12 = 0.

36 Solution SPSS Test sur A*B Régression complète Y =  + 1(A1-A2) + 1(B1-B3) + 2(B2-B3) + 11(A1-A2)*(B1-B3) + 12(A1-A2)*(B2-B3) + 

37 Régression sous H0: H0 : 11 = 12 = 0

38 TEST SUR A*B Niveau de signification = Prob[F(2,18)  0.24)]

39 SORTIES SPSS

40 Contrastes associés

41 Syntaxe SPSS UNIANOVA p2o5 BY sol sonde
/LMATRIX = "mu = 0" intercept 1 sol .5 .5 sonde 1/3 1/3 1/3 sol*sonde 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = sol sonde sol*sonde .

42 Résultats

43 Étude du modèle sans interaction Moyennes marginales et moyennes ajustées
Moyennes marginales pour sonde : Moyennes ajustées pour sonde :

44 Modèle estimé

45 Tests

46 Comparaison des moyennes marginales (Sonde)
Résultats SPSS

47 Résultats SPSS

48 Comparaison des moyennes ajustées (Sonde)
L’égalité des moyennes marginales et ajustées est due au plan d’expérience (données équilibrées) et n’est pas vraie en général.

49 Commande SPSS pour obtenir les comparaisons des moyennes ajustées


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