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Analyse de la variance à deux facteurs (données équilibrées) Michel Tenenhaus.

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1 Analyse de la variance à deux facteurs (données équilibrées) Michel Tenenhaus

2 2 Exemple Dagnelie Comparaison de trois types de sondes pédologiques dans deux types de sol Valeurs observées en mg de P 2 O 5 pour 100 gr de terre sèche

3 3

4 4 Analyse de la variance à deux facteurs (Données équilibrées) Données : Modèle : Modèle additif : Modèle avec interaction :

5 5 Modèle additif vs modèle avec interaction Modèle additif : La différence entre les sols ne dépend pas de la sonde. Modèle avec interaction : La différence entre les sols dépend de la sonde. Ici le modèle sans interaction semble préférable.

6 6 Fonction estimable Seules sont estimables les combinaisons linéaires des paramètres, i, j, ij pouvant sexprimer comme des combinaisons linéaires des ij : La combinaison linéaire est estimable si et seulement si elle peut sécrire sous la forme

7 7 Fonction estimable pour le modèle avec interaction 6 paramètres

8 8 Étude du modèle avec interaction : Test sur le facteur A : H 0 : 1. = 2. Test : H 0 : ( )/3 - ( )/3 = 0 Mais ce test a-t-il un sens ? Plus linteraction est forte, moins ce test a de sens.

9 9 Contraste pour tester SOL dans SPSS

10 10 Étude du modèle avec interaction : Test sur le facteur B : H 0 :.1 =.2 =.3 Test : H 0 : ( )/2 - ( )/2 = 0, ( )/2 - ( )/2 = 0

11 11 Contraste pour tester SONDE dans SPSS

12 12 Étude du modèle avec interaction : Test de linteraction A*B : H 0 : = = Test : H 0 : = =

13 13 Contraste pour tester linteraction SOL*SONDE dans SPSS

14 14 Modèle sur-paramétré Problème dindétermination : Décrire 6 paramètres (les ij ) à laide de 12 paramètres !!!!

15 15 Modèle de rang plein de SPSS (utilisé pour lestimation du modèle) Y = + 1 A B B A 1 *B A 1 *B 2 + où :A 1 = (Sol = 1), A 2 = (Sol = 2) B 1 = (Sonde = 1), B 2 = (Sonde = 2), B 3 = (Sonde = 3)

16 16 Matrice X Facteurs

17 17 Estimation du modèle Difficile à interpréter pour les modèles avec interactions (Exemple : interpréter )

18 18 Test sur A avec le modèle de rang plein de SPSS Test sur A : H 0 : 1. = 2. vs H 1 : Test : H 0 : = 0

19 19 Test sur A avec le modèle de rang plein Y = + 1 A B B A 1 *B A 1 *B 2 + Test sur A : H 0 : 1. = 2. Test : H 0 : = 0

20 20 Solution SPSS UNIANOVA p2o5 WITH A1 B1 B2 A1B1 A1B2 /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /LMATRIX="Effet Sol" A1 3 A1B1 1 A1B2 1 /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = A1 B1 B2 A1B1 A1B2. Syntaxe SPSS

21 21

22 22 Justification du test sur A Régression complète (H 1 ) Y = + 1 A B B A 1 *B A 1 *B 2 +

23 23 Régression sous H 0 : H0 : = 0

24 24 Statistique utilisée Règle de décision On rejette H 0 au risque de se tromper si : ou bien Somme des carrés des erreurs

25 25 2 e modèle de rang plein de SPSS (utilisé pour les tests) Y = + 1 A A B B 2 + ( )B A 1 *B A 1 *B 2 + ( )A 1 *B A 2 *B A 2 *B 2 + ( )A 2 *B 3 + = + 1 (A 1 -A 2 ) + 1 (B 1 -B 3 ) + 2 (B 2 -B 3 ) + 11 (A 1 -A 2 )*(B 1 -B 3 ) + 12 (A 1 -A 2 )*(B 2 -B 3 ) +

26 26 Matrice X pour le second modèle Matrice X Facteurs

27 27 Test sur A avec le 2 e modèle de rang plein de SPSS Test sur A : H 0 : 1. = 2. vs H 1 : Test : H 0 : 1 = 0

28 28 Solution SPSS Régression complète (H 1 ) Test sur A Y = + 1 (A1-A2) + 1 (B1-B3) + 2 (B2-B3) + 11 (A1-A2)*(B1-B3) + 12 (A1-A2)*(B2-B3) +

29 29 Régression sous H 0 : H0 : 1 = 0

30 30 TEST SUR A On retrouve les mêmes résultats que précédemment.

31 31 Test sur B avec le 2 e modèle de rang plein de SPSS Test sur B : H 0 :.1 =.2 =.3 Test : H 0 : 1 = 2 = 0.

32 32 Solution SPSS Régression complète Test sur B Y = + 1 (A1-A2) + 1 (B1-B3) + 2 (B2-B3) + 11 (A1-A2)*(B1-B3) + 12 (A1-A2)*(B2-B3) +

33 33 Régression sous H 0 : H0 : 1 = 2 = 0

34 34 TEST sur B Niveau de signification = Prob[F(2,18) 3.92)]

35 35 Test sur A*B avec le 2 e modèle de rang plein de SPSS Test sur A*B : H 0 : = = Test : H 0 : 11 = 12 = 0.

36 36 Solution SPSS Régression complète Test sur A*B Y = + 1 (A1-A2) + 1 (B1-B3) + 2 (B2-B3) + 11 (A1-A2)*(B1-B3) + 12 (A1-A2)*(B2-B3) +

37 37 Régression sous H 0 : H0 : 11 = 12 = 0

38 38 TEST SUR A*B Niveau de signification = Prob[F(2,18) 0.24)]

39 39 SORTIES SPSS

40 40 Contrastes associés

41 41 UNIANOVA p2o5 BY sol sonde /LMATRIX = "mu = 0" intercept 1 sol.5.5 sonde 1/3 1/3 1/3 sol*sonde 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = sol sonde sol*sonde. Syntaxe SPSS

42 42 Résultats

43 43 Étude du modèle sans interaction Moyennes marginales et moyennes ajustées Moyennes marginales pour sonde : Moyennes ajustées pour sonde :

44 44 Modèle estimé

45 45 Tests

46 46 Résultats SPSS Comparaison des moyennes marginales (Sonde)

47 47 Résultats SPSS

48 48 Comparaison des moyennes ajustées (Sonde) Légalité des moyennes marginales et ajustées est due au plan dexpérience (données équilibrées) et nest pas vraie en général.

49 49 Commande SPSS pour obtenir les comparaisons des moyennes ajustées


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