L’école et la didactique des mathématiques

L’école et la didactique des mathématiques
Guy Brousseau Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

L'école et la didactique des mathématiques
Bref historique Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Ce terme avait été utilisé par l’humaniste Comenius, au 17ième siècle, dans le sens « d’art universel de tout enseigner à tous ». Elle rassemblait des conseils qui sont encore pratiqués aujourd’hui. Une seule méthode pour tous les enseignements (science, langues, littérature, morale etc. ) Opposée à la noble ambition de l’éducation de l’honnête homme, la didactique, - l’art des professeurs –, a été tournée en dérision et était devenue la sottise « de vouloir enseigner quelque chose à quelqu’un qui ne veut pas l’apprendre » Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Elle est alors tombée en désuétude et le terme didactique était resté seulement comme adjectif, synonyme de « pédant ». Les termes de pédagogie spéciale et de méthodologie lui avaient été substitué. Dans les années , de nombreuses exigences nouvelles apparaissent envers l’éducation et se répercutent vers l’école et la scolarité obligatoire. Elles s’appuient sur des connaissances, sur des idées et sur des technologies nouvelles, issues de diverses spécialités : psychologie, épistémologie, pédagogie… et surtout mathématiques. Visiblement, il fallait essayer de développer des recherches scientifiques pour mettre à l’épreuve toutes ces initiatives. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

L’instruction mathématique de toute la population est un projet social ancien … Stévin (1585) « invente » les décimaux et propose l’usage de mesures décimales pour la population Au 18ième siècle, les encyclopédies visent à diffuser partout les connaissances et les techniques (Diderot, D’Alembert) Le 19ième réalise le projet: en 4 hivers, l’école primaire enseigne la langue (lecture et écriture) et le calcul élémentaire Au début du 20ième siècle (1908) l’union mondiale des mathématiciens charge F. Klein de créer l’ICMI, Commission internationale sur l’instruction mathématique Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

L’ICMI enquête sur l’enseignement des mathématiques nécessaires au développement des nations à l’ère industrielle. Elle propose de le mettre à jour par des réformes 1968. Refondée après la 2ième guerre mondiale, l’ICMI passe de l’étude à l’action, Elle crée l’ICME, le congrès international sur l’éducation mathématique, qui réunit tout ceux qui interviennent dans l’éducation aux mathématiques. Les participants affichent leur volonté d’adapter l’enseignement aux conceptions modernes des mathématiques et de l’éducation, d’unifier les langages et les pratiques, de la maternelle à l’université. La substitution du terme éducation à celui d’instruction est importante. Ils inscrivent ce projet dans la perspective d’un mouvement humaniste et mondialiste pour l’enfance Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Les Instituts de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques (IREM) En 1970, alors qu’en France, la formation des professeurs tend à échapper à l’administration et qu’elle n’est pas intégrée dans les cursus universitaires…, … le Gouvernement commence à créer les IREM, Instituts de Recherches pour l’Enseignement des Mathématiques. Il y en aura finalement 26, un par région. Tous les professeurs, « de la maternelle à l’université », viennent y apprendre les mathématiques actuelles, et y chercher ensemble de nouvelles façons de résoudre les problèmes qu’ils rencontrent. Ils reçoivent la collaboration de chercheurs de diverses disciplines. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Les didactiques des disciplines
Au Québec, en 1970 les formateurs de professeurs, intégrés au sein des nouvelles universités désignent leur spécialité « didactique » car ils produisent toutes sortes de moyens modernes d’enseignement, et qu’ils enseignent l’art d’enseigner Les départements universitaires auxquels ils se rattachent sont ceux des disciplines classiques, ainsi naissent les didactiques des disciplines… En France les IREM feront essentiellement de la didactique… sans le dire. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

La didactique des mathématiques
En 1975, les mathématiciens français ouvrent trois filières de recherches consacrées à la « didactique des Mathématiques » avec en perspective la possibilité d’une spécialité académique En 1976, dans un but similaire, L’ICME créée la sous- commission ‘Psychologie de l’Éducation Mathématique’. Ces deux approches étaient assez différentes mais la coopération a été constante et fructueuse En quoi sont-elles différentes ? Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Psychologie Objets de l’étude Le sujet psychologique Black box: Le sujet situation stimuli Compor-tements Les comportements éclairent les caractéristiques du sujet Didactique Les situations Black box: Conditions Compor-tements Élèves Les comportements éclairent les caractéristiques de la situation Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

de la didactique, art de l’enseignant
à la Didactique, étude scientifique de cet art Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Depuis le 18ième siècle les mathématiques évoluent rapidement. Toutes les branches de la vénérable science des nombres et de l’espace sont profondément transformées. Les structures de l’édifice l’algèbre, la géométrie, l’analyse, la logique se réorganisent et se réforment jusqu’à la crise des fondements Mathématiques fondamentales et appliquées se développent si vite qu’il devient difficile d’enseigner les connaissances mathématiques suffisantes pour les acteurs de tous les secteurs d’activités où cela serait nécessaire. Les pressions sur les formations universitaires puis sur la formation secondaire sont de plus en plus fortes. Après 1950 toute la société demande une réforme de l’enseignement des mathématiques 1968 : en France, aboutissement des changements 1970 : Arrivée de l’informatique Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

La réforme des mathématiques
La réforme des mathématiques progressait en remontant les années d’enseignement : de la recherche à l’université, puis au secondaire... Jusqu’où aller ? C’est au niveau du primaire que devaient se rencontrer les mouvements pédagogiques (…C. Freinet), épistémologiques (Piaget) et mathématiques (Bourbaki), les divers travaux de psychologie de l’enfant et les conceptions didactiques classiques C’est là peut-être que les phénomènes seraient les plus évidents, que les expériences seraient les plus faciles, et que des recherches scientifiques pourraient être les plus utiles Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

L’art d’enseigner de Comenius
Les interprétations modernes de cet art consistent en une liste de prescriptions « rationnelles » telles que les suivantes, admises comme évidentes et nécessaires : 1. Principe de construction Tout ce qui est utilisé pour édifier un texte ou un algorithme nouveau à un moment donné doit avoir été auparavant - enseigné - et appris Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Il s’ensuivait quelques principes de décomposition des connaissances en éléments plus simples: « Du général au particulier » ou l’inverse « du simple au complexe », des hypothèses aux conclusions, etc. 2. Principe d’économie Ne doit être enseigné : - que ce qui doit être su finalement - ou qui doit être su pour apprendre un autre savoir, (c’est-à-dire les savoirs de référence).  conséquence tout ce qui est enseigné doit être appris Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

… une liste de prescriptions rationnelles
3. Les éléments primitifs doivent être choisis évidents et/ou familiers 4. Méthode de base Tout ce qui est nécessaire (à l’école de base) peut être appris par l’exemple, l’imitation, la correction et l’exercice. 5. La compréhension accélère l’apprentissage mais ne lui est pas nécessaire. 6. Elle peut être facilitée par l’explicitation, l’exposition, et l’explication. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

La Didactique des Mathématiques
Les prescriptions de la didactique de Comenius étaient remises en cause par l’éducation depuis J.J. Rousseau et par la psychologie cognitive, mais elle s’imposait et s’impose encore, comme allant de soi dans les rapports du public avec l’enseignement. Notre intention, la mienne et celle d’un certain nombre d’autres chercheurs, n’était pas de les faire appliquer , ni de les combattre… mais de les étudier et de les discuter avec des arguments scientifiques solides Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Nous étions surtout convaincus que ce que croyait Comenius n’était qu’une approximation. L’apprentissage et donc l’enseignement devait s’adapter d’abord de son objet, la connaissance elle-même. Si les humains sont obligés de découvrir chaque théorème par des voies inédites et spécifiques, comment croire qu’on peut les enseigner - et pour les enfants, les apprendre - par quelques moyens universels ? Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Etude des conditions Nous avons donc commencé l’étude de l’enseignement par celle des conditions dans lesquelles les connaissances mathématiques se manifestent, se constituent et s’acquièrent. il ne s’agissait d’abord que d’études mathématiques des dispositifs utilisés en psychologie, Pour décrire ces travaux, le terme d’ épistémologie expérimentale aurait été plus exact que celui de didactique. Mais nous voulions montrer notre intérêt pour l’enseignement. D’ailleurs nous avions un projet à ce sujet Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Les enfants commencent à apprendre à parler avant de pouvoir réciter des fables ou d’apprendre la grammaire. Plutôt que d’apprendre les mathématiques comme des textes de littérature étrangère, nous espérions pouvoir faire en sorte que les élèves apprennent des mathématiques en les pratiquant, à la façon des mathématiciens. Il s’agissait donc d’étudier les conditions qui rendent nécessaires l’usage et la création des mathématiques. C’est-à-dire étudier, expérimentalement et théoriquement les « situations mathématiques » Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Un exemple s’impose Les nombres naturels Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Définition mathématique
Le mathématicien Peano donne pour le nombre naturel, la définition axiomatique suivante: Est un nombre naturel : tout objet qui a les propriétés suivantes : Il est un élément d’une collection… … qui est munie d’une relation d’ordre (transitive, non réflexive, antisymétrique)… … ordre total (tous les éléments sont comparables) … chaque élément possède un successeur unique, (ordre injectif) Elle possède un premier élément unique (qui sera appelé 1) et où, si 2 éléments sont égaux, alors ils ont le même prédécesseur (ordre surjectif sur N – {1}) Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Conditions à satisfaire…
Comment dériver de cette définition les conditions, dans lesquelles un enfant de cinq ans peut utiliser et apprendre des nombres ? Si l’on y parvient pourrons-nous en inférer une méthode pour construire toutes les notions mathématiques fondamentales? Il faudrait donc sans doute définir ces conditions comme des objets mathématiques (pour pouvoir montrer l’équivalence des définitions. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Dès le début, nous avons décidé de comparer chaque concepts scolaires (l’égalité par exemple) à une de leurs définitions mathématiques actuelles. Nous avons refusé que des pratiques incorrectes du point de vue mathématique soient obligatoirement acceptées au titre de la pédagogie pour débutants. Cette intransigeance n’était pas le résultat d’une préciosité ridicule. L’étude scientifique devait : - détecter les « transpositions » traditionnelles abusives ou non, - étudier leurs effets positifs ou négatifs - et montrer si la transposition didactique qu’elles effectuaient ainsi était vraiment utile. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Les situations mathématiques
Nous voulons que l’apprentissage de l’élève soit une simulation de la démarche mathématique et non une récitation du texte de mathématique qui en résulte. Alors l’idée consiste à considérer les conditions comme déterminées par une « situation », c’est-à-dire: par un projet d’action qui ne peut être réussi que si la notion mathématique visée est utilisée, et qui est tel qu’on n’a pas besoin de connaître à l’avance cette notion ni pour réussir le projet, ni pour l’entreprendre. On peut donc proposer une telle situation à l’élève sans être obligé de lui enseigner la réponse. Cette situation est celle du mathématicien qui crée des instruments pour résoudre une question ou un problème. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Quelle situation exige et permet l’invention d’une notion mathématique? Une « situation » est - un agencement de conditions dans lesquelles un actant doit se trouver - avec un projet qu’il doit vouloir réaliser - la réussite de ce projet doit exiger l’usage d’une notion mathématique (par exemple un nombre: demander de compter une collection instaure une situation) Mais nous voulons parfois avoir des situations qui n’exigent pas que la notion mathématique nécessaire soit déjà sue ou même connue par l’élève. (situations « fondamentales ») Par exemple on veut que l’élève doive et puisse utiliser un nombre, même s’il ne le connaît pas, et même s’il ne sait pas ce qu’est un nombre. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Ce projet est absurde dans la didactique classique. Il ne l’est pas en éthologie: quelle situation (quel dispositif) permettrait de savoir si les corbeaux « connaissent » des nombres ? Cet exemple met en lumière l’importance de définir une notion non pas par son nom, sa description ou sa définition, mais par sa fonction dans un système. Et de distinguer ainsi entre connaissance et savoir: Les corbeaux ne savent pas les nombres, mais ils en connaissent quelques uns Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

L’observation des situations
Remarque: toute activité de classe qui fait réfléchir les élèves peut être modélisée comme « situation ». Il s’agit alors de déterminer par la modélisation et par l’observation à quoi elle les fait réfléchir réellement. Le concept est utilisé aussi bien pour systématiser l’observation que pour guider l’ingénierie didactique Alors observons … Voici trois façons différentes de considérer la connaissance des nombres naturels, deux observées, une troisième que nous avons construite. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Situations de dénombrement d’une collection
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1. En famille… Maman : - Vous savez, grand père…, le petit sait compter! Grand père : - c'est vrai? voyons ça mon petit... - "Montre à grand père que tu sais bien compter" L'enfant, quatre ans : - Un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit,… dix, quinze, heu... Grand père, admiratif : - Aaah! très bien! Il ne te reste plus qu'à continuer! Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

2. A l’école… Mais dans la famille il y a la tante Mimi qui est une institutrice à la retraite. Tante Mimi : - Mais non, grand père, pour savoir si cet enfant sait compter il faut lui montrer des doigts et lui demander combien il y en a, et puis lui demander à son tour de montrer tant de doigts! il ne suffit pas de réciter la suite des nombres! Et s'il n'y parvient pas bien, il ne faut pas que maman soit déçue. A quatre ans la plupart des enfants ne peuvent guère vraiment comprendre les nombres au delà de 5, les psychologues vous le diront. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Maman : - mais notre petite voisine Odile, qui a cinq ans, compte bien jusqu'à soixante et dix! Tante Mimi : - Oui, elle peut aussi réciter "Le chat la belette et le petit lapin" qui comporte bien plus de 70 mots… mais elle croit que les pénates sont des espèces de pantoufles! Ce n'est pas bien grave… mais quand on veut compter il faut savoir autre chose que la suite des nombres… Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Une jeune collègue m'a raconté que les parents exercent actuellement une forte pression pour "faire compter" précocement les enfants. Elle constate que sous l'influence de ce matraquage, certains de ses élèves se mettent à compter, dès qu'ils disposent de plusieurs objets sans même vouloir réfléchir à la question qu'on leur pose. Ses enfants ont de 4 à 5 ans. Elle ne peut plus proposer d’exercices ordinaires de raisonnement… dès qu’il y a plusieurs objets à classer… ils les comptent ! Les autres enfants en sont à 5, normalement, Alors elle ne peut plus organiser aucune activité mathématique commune ! Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

3. à l’école pour l’observation
P : "Nous avons ici des peintures dans ces petits pots. A) Tu dois aller chercher des pinceaux dans le vase là-bas. B) Tu reviendras ici, mettre un seul pinceau dans chaque pot. C) et il faut qu'il ne reste ici ni pinceau sans pot, ni pot sans pinceau. D) Tu dois rapporter tous les pinceaux en une fois E) Si tu te trompes, tu reprends tous les pinceaux, tu les ramènes là-bas et tu essaies à nouveau. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Il faut aller chercher les pinceaux en une fois en mettre un dans chaque pot, il ne doit rester ni pot vide, ni pinceau Je n’ai dessiné que 6 pots par commodité. Le nombre choisi dépend des connaissances des élèves et du projet du professeur Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

L’enfant va, prend une poignée de pinceaux et revient…
? Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Alors, tu as réussi ? Non, parce qu’il m’en reste trois Ça ne va pas, reprends les tous et essaie encore Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

L’élève pourrait ignorer le nom du nombre de pinceaux, par exemple en repérant une disposition particulière, ou en repérant les pots avec ses doigts Mais quoi qu’il fasse, si cela réussit, c’est parce que le moyen aura été spécifique du nombre 6 La situation est valable pour un nombre quelconque et l’ensemble des réponses satisfait la définition de Péano. Nous avons ainsi une situation fondamentale de la connaissance d’un nombre. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Certains enfants conseillent : « compte… compte les pots! » L’enfant compte les pots Un, deux, trois, quatre, cinq, six ! Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Mais certains enfants prennent quand même une poignée de pinceaux et reviennent… Il n’ont pas compris l’essentiel ! Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Les autres… « mais non! compte aussi les pinceaux…! » Certains enfants comptent tous les pinceaux, et … ils en prennent quand même un paquet au jugé et reviennent près des pots Un, deux, trois, …, …, dix-sept Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Prof. Tu sauras compter quand tu pourras faire ça, du premier coup même quand il y a beaucoup de pots ? Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Et même un peu plus: il faut être sûr
A un élève qui réussit bien, le professeur tend un piège: Pendant qu’il est occupé à prendre les pinceaux, il subtilise un pot… Lorsque l’élève revient, il doit être assez sûr de son savoir et de son droit pour dire sans crainte « Quelqu’un m’a fait une blague et m’a pris un pot ! » Cette confiance exige que la validité de sa connaissance personnelle ait été reconnue par son environnement – comme référence –. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Connaissances et savoirs
Il convient donc de distinguer des connaissances, comme moyens plus ou moins vrais et efficaces de répondre à une situation mathématique, et les savoirs, connaissances partagées et reconnues comme références par un environnement. (Il ne s’agit pas de catégories psychologiques mais de fonctions didactiques: un même texte peut être connaissance ou savoir selon les circonstances) Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Mais… ?? Mais, me direz-vous, l’élève a bien utilisé les nombres, puisqu’il a compté… Il a utilisé ce qu’il savait déjà, Mais voyons ce qui se passe pour des nombres au-delà de sa compétence, des nombres qu’il ne connaît pas encore. Tout moyen efficace sera équivalent au nombre nécessaire. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Pour rendre visible la nécessité d’une écriture du nombre il est commode de remplacer la situation d’auto- communication par une situation de communication véritable. L’enfant qui voit les pots de peinture ne peut obtenir les pinceaux qu’en les demandant à un autre enfant. Il doit donc lui envoyer un (et un seul) message que l’autre doit pouvoir lire et traduire en une quantité exacte de pinceaux. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

6 Situation de communication Et si le destinataire ne comprend pas « 6 »? Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

IIIIII Situation de communication …La méthode de Robinson Crusoë Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

La situation des pots de peinture rend nécessaire l’invention de systèmes d’écritures et leur usage social (entre élèves). Elle permet aux élèves de chercher des façons de désigner des nombres avant qu’ils ne connaissent leur écriture canonique, en se servant des nombres qu’ils connaissent déjà. Ainsi, par exemple, ils peuvent utiliser « l’addition » pour identifier des nombres de 8 à 15 dès qu’ils ont un répertoire de 1 à 7. Par ex. pour 12 : « 7 et 5 » Ils peuvent communiquer des nombres de l’ordre de 200 et plus avec un répertoire ordinaire de 1 à 15, en mettant les collections effectives en tableaux. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Ainsi la situation proposée ci-dessus introduit le « nombre naturel » comme le concept (principal) qui permet d’établir et de communiquer à distance, que deux ensembles finis sont équipotents. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Situations et processus mathématiques à l’étude

Des théorèmes aux situations
Les « situations mathématiques » sont déterminées par les concepts mathématiques (Elles sont elles–mêmes des concepts mathématiques) Un problème de mathématiques est une situation où l’élève doit rétablir un texte (un théorème, une définition) de mathématiques que l’on a scindé en une question et une réponse. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Une situation mathématique permet, de plus, de simuler, de faire reproduire par les élèves et de montrer les connaissances qui font établir ce théorème, les raisons, le but, l’usage, l’intérêt, les difficultés etc. Suivant les conditions, un professeur peut donc choisir entre : - énoncer lui-même un théorème, - le présenter sous forme de problème, - le mettre en scène par une situation Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

L’apprentissage visé par toutes les situations est : une adaptation par assimilation et/ou accommodation de cette connaissance principale. Le résultat est une forme de connaissance: schème d’action, expression linguistique, déclaration suivant le type de situations utilisées : action, communication, validation ou preuve Mais les connaissances anciennes qui sont réactivées dans ce processus sont elles aussi l’objet d’un nouvel apprentissage qui se poursuit jusqu’à l’usage familier et stable. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Genèses de concepts Les concepts mathématiques fondamentaux peuvent être enseignés grâce à des suites de situations qui permettent de les apprendre en découvrant leurs propriétés et leurs ouvrages. Les situations s’enchaînent à la fois par leur objet mathématique et par leur capacité à susciter chez les élèves des questions judicieuses et fécondes. Nous avons construit de la même façon des situations pour toutes les connaissances mathématiques que nous estimons devoir être connues par toute la population (pour permettre un fonctionnement démocratique de la société). Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Ingénierie didactique
Les collections, leur désignation, leur énumération Le dénombrement, la numération, les nombres naturels et leurs opérations Les mesures, les rationnels et les décimaux La statistique inférentielle, la mesure des évènements, les probabilités La connaissance de l’espace et la géométrie L’arithmétique et l’algèbre élémentaires Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Ces genèses ont été expérimentées, certaines pendant 25 ans, dans notre Centre d’Observation et de recherches sur l’Enseignement des Mathématiques, le COREM (créé en 1973 et dont le contrat a pris fin en 1998). Elles ne sont cependant pas applicables telles quelles, actuellement, dans des établissements scolaires car elles n’ont pas été conçues pour cet usage. Elles demanderaient encore un environnement scientifique et administratif spécifiques. Elles ont servi d’abord à découvrir et à comprendre les phénomènes liés à l’enseignement et à l’apprentissage des mathématiques. Mais nous les croyons indispensables aux professeurs pour mieux interpréter les concepts mathématiques qu’ils ont la charge d’enseigner et pour s’en inspirer quand ils pensent pouvoir le faire. Dans des circonstances favorables ils en tireront de réels plaisirs Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Résultats des études d’ingénierie
Propriétés didactiques des dispositifs 1. L’usage de situations mathématiques permet au professeur de favoriser une activité mathématique individuelle et collective de ses élèves 2. Les connaissances sont acquises plus facilement et sont plus conformes aux mathématiques. 3. à terme, ces méthodes paraissent plus efficaces pour un plus grand nombre d’élèves. 4. Il est très difficile d’imaginer, de construire, de mettre au point et de conduire de bonnes situations… Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

5. Seules l’organisation du COREM et son environnement très spécifiques ont permis de procéder à ces expériences sans trop de risques pour les élèves, pour les professeurs et pour les chercheurs Conclusion : ce sont les conclusions des recherches en didactique qui doivent être répandues et utilisées. Nos dispositifs ne sont pas essentiellement des prototypes. Mais les élèves ont bien appris les connaissances difficiles que nous leur avons proposées Les difficultés sont beaucoup moins dues aux insuffisances des élèves ou des professeurs qu’à celles de notre savoir et de la culture didactique de nos sociétés. Ex. En 220 ans les Français n’ont pas réussi à appliquer un résultat prouvé, connu de tous, simple, gratuit, pour faire gagner deux mois d’apprentissages pénibles aux enfants de 6 ans. (quatre vingt dix sept au lieu de nonante sept ou neuvante sept) Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Conclusions sur les situations mathématiques
Nos travaux ont ainsi montré que les situations et les aménagements dérivés de nos modèles permettent aux élèves d’apprendre et d’inventer des mathématiques par une activité autonome. Nos situations d’action, de formulation ou de validation permettent bien de faire produire aux élèves des connaissances mathématiques implicites nouvelles et correctes, de les faire exprimer, et de les faire prouver de façon convaincante. Dans ces conditions les élèves aiment ces situations qui stimulent des sortes d’aventures. Et les professeurs ont du plaisir à les voir s’obstiner à les vivre et à en réclamer de nouvelles Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Résultats attendus Dans certaines situations mathématiques, les connaissances peuvent se construire par adaptation à des conditions favorables. Cependant l’habitude diminue leurs possibilités de contrôle et d’adaptation à de nouvelles conditions. Ainsi des obstacles épistémologiques se forment et s’opposent à des adaptations nouvelles. L’apprentissage se fait pas seulement par assimilations et accommodations mais aussi par rejets Par exemple pour comprendre la multiplication des naturels, les élèves observent que le produit est plus grand que chacun des termes. Cette connaissance (vraie alors) devient fausse pour la multiplication des décimaux et empêche de la comprendre. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

L’entraînement crée de même des obstacles didactiques (artificiels). Par exemple entraîner les élèves à utiliser le signe égal dans des situations où il n’est pas utile et où il reçoit un sens erroné (il n’est pas symétrique 7 = 3+4 n’a pas de « sens »), produit plus tard des difficultés (Les élèves donnent des sens différents aux deux termes d’une équation). D’autre part l’enseignement direct de la forme « finale» des savoirs n’est en général pas favorable non plus à leur compréhension et à leur usage. La décomposition classique des savoirs en éléments « simples » est très coûteuse en temps et très peu efficace n’a rien de rationnel. Elle conduit le professeur à transformer des expériences nécessaires à l’apprentissage des élèves en épreuves, et leurs erreurs légitimes en échecs. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Conclusion sur la didactique « rationnelle » classique Elle s’appuie sur l’hypothèse, fausse, que l’on peut construire directement un savoir achevé, comme un texte, en ne considérant jamais que des énoncés et des idées « vraies ». Ainsi les « principes » de Comenius conduisent à éliminer le rôle des connaissances. Ils empêchent la dévolution des situations et des problèmes Ils ne sont valables que dans des conditions très limitées et ne sont en rien des principes universels. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Résultats inattendus Mais la consigne et les conclusions des situations, les moments d’interaction avec le professeur, ont présenté des difficultés. La dévolution est l’acte par lequel le professeur obtient que l’élève accepte la responsabilité de faire quelque chose qu’on ne lui a pas enseigné au préalable. De plus les connaissances exactes ainsi établies et prouvées ne peuvent pas être les savoirs de référence que l’on voulait enseigner. Une phase d’institutionnalisation qui ne peut pas être autonome, par définition, est indispensable. Ainsi l’hypothèse que le professeur pourrait susciter chez les élèves l’acquisition de savoirs mathématiques sans autre intervention de sa part que la présentation de situations appropriées et leur conduite neutre, s’est révélée fausse. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Conclusions sur le constructivisme radical Les situations mathématiques font développer les connaissances mathématiques mais ne peuvent pas les transformer en savoirs. Une institutionnalisation est indispensable. C’est la reconnaissance par un sujet et par son environnement qu’une connaissance peut servir de référence: elle s’impose, elle est admise, tenue pour vraie par chacun etc. Elle présente un intérêt… Ainsi le constructivisme radical est une illusion le savoir (de référence) ne peut être construit ni reconstruit isolément) Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Les situations didactiques en Mathématiques

Ainsi pour apprendre les mathématiques, les élèves ont besoin d’interactions spécifiques avec le professeur. Lesquelles? Le professeur intervient sur une situation mathématique dans laquelle est engagé l’élève. Quelles sont les règles de son jeu? Quelle est la responsabilité de chacun vis-à-vis de l’autre. Toutes les relations semblent déterminées par des contrats plus ou moins implicites qui précisent les engagements et le partage des responsabilités. Ces responsabilités peuvent varier, de l’émission pure et simple du texte du savoir (par exemple un cours lu à la radio ou a la télévision) où le professeur n’a pas d’autre engagement que celui d’émettre des déclarations vraies… jusqu’à l’engagement du professeur à obtenir un résultat déterminé à l’avance, quoique fasse l’élève. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

L’étude systématique des situations didactiques a commencé à la fin des années 70. Elle a commencé par l’étude et l’observation des réponses possibles des professeurs aux erreurs et aux échecs de leurs élèves dans diverses circonstances. Dans un premier temps certaines de ces réactions ont paru surprenantes, comiques comme l’effet «Jourdain », ou même absurdes comme l’effet « Topaze »… Aucune n’est fondée individuellement. Pourtant elles sont employées… Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Procédés d’évitement de l’échec
En voici une liste réduite l’abus de l’analogie, Effets Topaze (le professeur donne la réponse à l’élève et le supplie de la répéter) et Jourdain (le professeur prend comme une marque de savoir une réponse banale). L’émiettement des savoirs, réduits à un trivial poursuit. Le fractionnement de la classe en groupes « homogènes » jusqu’à l’individualisation. La centration sur les savoirs et les connaissances de bas niveau taxonomique Le recours à l’enseignement par répétition (drill) Le glissement méta- didactique : pour enseigner une connaissance donnée, le professeur propose une explication ou utilise un artifice, puis il enseigne cet artifice à la place de la connaissance originelle, en cas de nouvel échec il commente le commentaire etc. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Visiblement voués à l’échec, ils nous ont paru ridicules, comme à tout ceux qui ont pu les observer. Ce sont eux sans doute qui ont fait une mauvaise réputation à l’art didactique et aux professeurs… Jusqu’à ce que nous comprenions qu’elles étaient nécessaires, qu’elles constituent un ensemble d’évitements du constat d’échec qui mettrait fin à un épisode didactique. Cet éventail d’artifices, dont aucun n’est décisif ni même parfois raisonnable, permet à la relation didactique de survivre et les apprentissages se glissent entre ces opportunités factices. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Effets des abus de l’évaluation de masse, dus à l’ignorance de la didactique Ces questions sont trop complexes pour que ne puissions les traiter convenablement ici. Mais je veux évoquer un très important phénomène de macro didactique que nos recherches ont permis d’identifier dès le début des années 80. Les effets des évaluations automatiques de masse (par tests standardisés) sur les résultats scolaires quand ces évaluations deviennent des instruments de pression trop violents Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Les tests ne révèlent au mieux que les absences de savoirs. (Par définition les connaissances ne peuvent pas être évaluées. Et les lisent comme des échecs terminaux : les élèves sont sous évalués Si les professeurs utilisent ce genre de tests alors qu’ils peuvent encore revenir sur les enseignements « mesurés », ils tirent des conséquences comme celles que nous avons évoqués plus haut : Ils reprennent l’enseignement de la connaissance défaillante comme si les élèves n’avaient rien appris (flow chart), ils fractionnent la classe, décomposent les savoirs, l’expliquent à nouveau, ils surchargent la connaissance visée de procédés méta, ils multiplient les exercices d’entraînement, mais surtout en se concentrant sur l’apprentissage des savoirs ils étouffent le fonctionnement nécessaire des connaissances qui accompagnent le savoir, ce qui diminue l’efficacité de leur enseignement. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Chacune de ces mesures est très coûteuse en temps et en efforts pour le professeur et pour les élèves. Le temps d’enseignement s’allonge démesurément… Et elle dégrade la qualité de l’enseignement par exemple l’enseignement individuel prive les élèves de l’entraînement mutuel, et de la participation à une culture commune. Les échecs se multiplient, on ne constate pas d’amélioration des résultats globaux. les professeurs demandent des allègements… Mais la société exige des résultats et resserre ses exigences ce qui produit mécaniquement de nouvelles augmentations des échecs et un affaiblissement du système. Le processus est récursif Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Quelques observations des années 70 …
Les méthodes classiques sont centrées sur l’enseignement des savoirs. Le développement des connaissances et de leur usage doit se glisser dans ce processus. Les épreuves de bas niveaux taxonomiques portent sur des savoirs (savoir faire, faits isolés, etc.) Les épreuves de haut niveau font appel à des savoirs plus complexes qui exigent des connaissances non institutionnalisées. Les prévisions des professeurs quant aux résultats de leurs élèves sont corrélées avec ces résultats pour les épreuves de bas niveaux taxonomiques, mais ne le sont pas pour les épreuves de haut niveau. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Si les résultats des élèves sont jugés insuffisants… quelles réactions? L’observation des effets de la pédagogie par objectifs montre qu’en cas de difficultés des élèves, les professeurs mettent en œuvre différentes stratégies: a) Ils concentrent leurs efforts sur les objectifs de bas niveaux où ils peuvent mieux identifier les élèves en difficulté, et les tâches à leur proposer de façon intensive. Ils abandonnent les objectifs de haut niveau b) Ils ont tendance à utiliser des exercices similaires à ceux proposés comme objectifs opérationnalisés. Ceux-ci deviennent ainsi des moyens d’enseignement et finalement une représentation du savoir lui-même. Rq. Il n’est donc pas possible de conserver comme étalon un corpus d’épreuves de petite taille. Il faut produire des épreuves nouvelles en se basant sur des similitudes qui deviennent à leur tour des objets et des moyens d’enseignement. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

c) Ils décomposent le savoir en chaînes de savoirs plus simples qu’ils enseignent séparément avant de les combiner. d) Ils tendent à remplacer les raisonnements logiques et les preuves par des moyens inférieurs: analogies, moyens mnémotechniques etc. e) ils fractionnent la classe pour prendre à part les élèves qui n’ont pas bien répondu et ils leur font refaire les mêmes exercices f) Ils reprennent leur leçon à l’identique avec les mêmes moyens g) Il expliquent ou commentent leur leçon pour prouver que l’élève aurait dû la comprendre. L’objet de cette méta leçon se substitue à celui de la leçon. Le résultat est un phénomène de glissement métadidactique récursif que l’on a pu observer dans les manuels. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

h) ils recherchent et acceptent des réponses insignifiantes (effets Topaze et Jourdain) i) Les questions des épreuves présentent nécessairement un risque d’échec (sinon elles seraient éliminées des épreuves pour n’apporter « aucune information ») et donc un taux d’échec De toute façon, le temps étant limité, des échecs ou des résistances persistantes, demeurent Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

La relation entre la durée d’enseignement et le taux d’échecs
Le fonctionnement «normal » au cours de l’apprentissage est déterminé diverses variables: - Une « importance » relative accordée à chaque savoir. - Une relation entre le taux de réussite et le temps nécessaire pour l’obtenir. - Une relation entre le taux de réussite à une question et le taux de réussite à une autre Ces variables pourraient donc déterminer un taux de réussite optimal et un temps accordé à chaque apprentissage. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Pourquoi le taux d’échecs n’obéit pas aux injonctions du public
Pratiquement c’est la tradition et l’expérience qui portent empiriquement l’enseignant à maintenir ses choix dans un voisinage acceptable. Un échec trop massif à une question trop mineure ne sera pas corrigé. Un échec nul sur une question importante laissera supposer que le temps passé à l’obtenir a été excessif !! Cet taux optimal d’échec a été dénoncé comme un abus (la constante macabre), Toute modification des enseignements modifie les équilibres du système et les repères des enseignants Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Gengis Khan à l’école Gengis Khan avait des chevaux, ceux qui gagnaient des courses se reproduisaient, les autres pas Les mongols ont les meilleurs chevaux du monde Il avait aussi un devin qui prévoyait le temps la veille des batailles. S’il prévoyait juste, il recevait des présents, sinon il était exécuté. Ni Gengis Khan ni les Mongols n’ont encore produit un seul météorologue Depuis 30 ans, de petits Gengis Khan, politiciens ou managers font croire qu’il leur suffit d’utiliser la carotte et le bâton pour gérer l’éducation sans la science nécessaire. Depuis 30 ans ils échouent et échouent encore. Ce n’est pas leur faute ! Pourrait-on enfin remettre en cause notre culture didactique de Mongols. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

La stratégie d’ensemble est celle de la didactique classique, construction linéaire avec étapes obligées (flow chart) : Elle transforme systématiquement les erreurs ou les absences de réponses en échecs La plupart des professeurs fait état des résultats devant toute la classe Très peu corrigent et font corriger sans commentaire et continuent leur enseignement en essayant d’y placer des occasions de revisiter les questions à l’étude sans cesser de progresser Note : L’étude des stratégies des professeurs dont certaines paraissaient dérisoires nous a conduits à découvrir les contradictions et l’impossibilité d’un contrat didactique. Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Les effets de ces stratégies
Toutes font augmenter le temps de la classe consacré à l’enseignement d’un savoir donné Toutes concourent à isoler les élèves et font perdre les avantages d’une participation commune à une culture vivante Elles émiettent les savoirs. Elles transforment une activité et une culture en un « trivial poursuit universel » Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Remarques. Les professeurs demandent des allègements; s’ils les obtiennent, tout le temps libéré est immédiatement utilisé mais on n’observe pas une amélioration sensible des résultats. Les exigences des classes supérieures sont reportées vers les classes inférieures. Elles renforcent toujours la demande d’algorithmes et de savoirs formels: enseignez d’abord on leur fera comprendre après ! Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

Conclusions Voici un échantillon de ce que la didactique scientifique des mathématiques peut apporter à l’enseignement. Je n’ai rapporté qu’une partie des résultats auxquels j’ai directement contribué avec l’aide de mes collaborateurs. Et il existe beaucoup d’autres équipes. Pourtant nos résultats sont faibles en regard de l’ampleur des difficultés qui menacent et parfois accablent les élèves et les professeurs croissantes Certains seront déçus, nous n’en sommes qu’à la découverte de la circulation sanguine… cela ne permet pas de guérir beaucoup de maladies… Conférence Nova scola 2009 L'école et la didactique des mathématiques

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