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Introduction aux Statistiques Variables aléatoires

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Présentation au sujet: "Introduction aux Statistiques Variables aléatoires"— Transcription de la présentation:

1 Introduction aux Statistiques Variables aléatoires
L1 STE

2 Plan Variables aléatoires discrètes Loi de probabilité
Week 1 Lecture 1 Plan Variables aléatoires discrètes Loi de probabilité Fonction de répartition Espérance Variance Variables aléatoires continues Fonction de densité

3 Variable aléatoire discrète Un petit jeu de dés P(X = 1) = 1/6
Week 1 Lecture 1 Variables aléatoires discrètes Variable aléatoire discrète Un petit jeu de dés P(X = 1) = 1/6 P(X = -10) = 5/6 pas très favorable à vue de nez…

4 Variables aléatoires discrètes
Week 1 Lecture 1 Variables aléatoires discrètes Loi de probabilité La loi de probabilité (ou distribution ou fonction de densité) décrit les répartitions des fréquences d’apparition des résultats d’une expérience aléatoire. Fonction de répartition La fonction de répartition correspond à la distribution cumulée que nous avions dans le cours sur les représentation graphique des données.

5 Variables aléatoires discrètes
Week 1 Lecture 1 Espérance L’espérance, notée E(x) correspond à une moyenne pondérée: Variance, V(X) Il s’agit de rappels. Si cela n’est pas clair, les TD vont préciser les choses.

6 Variables aléatoires continues
Week 1 Lecture 1 Fonction de répartition C’est la même chose que pour les variables aléatoires discrètes, excepté que x appartient à R cette fois. Propriétés intéressantes…

7 Variables aléatoires continues
Week 1 Lecture 1 Fonction de densité C’est la même chose que pour les variables aléatoires discrètes, excepté que x appartient à R. Il s’agit de f(x) dans la formule précédente. Propriétés intéressantes…

8 Variables aléatoires continues
Espérance En suivant exactement la même construction que pour les variables aléatoires discrètes, on définit l’espérance: Variance, V(X): Idem pour la variance 8

9 En résumé Une fonction de répartition d’une variable aléatoire x est une fonction F(x) qui, pour tout x, indique la probabilité pour que x soit inférieur ou égal à x1. Variable continue (sigmoïde pour La loi normale) Variable discrète (escalier)

10 Introduction aux Statistiques Lois classiques
L1 STE

11 Plan Lois discrètes Loi binomiale Loi de Poisson Loi continue
Week 1 Lecture 1 Plan Lois discrètes Loi binomiale Loi de Poisson Loi continue Loi normale

12 Seulement deux évènements peuvent apparaître.
La loi binomiale: B(n,p) La loi binomiale: C’est une distribution discontinue qui donne les probabilités de voir apparaître un événement de probabilité p respectivement 0,1,2,3,…n fois au cours de n épreuves. Seulement deux évènements peuvent apparaître. B(n,p) : n est le nombre d’épreuves, p est la probabilité d’un des deux évènements (p.e. succès), q est la probabilité complémentaire (p.e. échec).

13 La loi binomiale: B(n,p)
La probabilité de voir apparaître x fois le même événement de probabilité p au cours de n épreuves indépendantes peut s’écrire:

14 La loi binomiale: B(n,p)
Exemple: Une famille de n enfants, quelle est la probabilité d’avoir x garçons? B(2,0.5)? B(7,0.5)?

15 La loi binomiale: B(n,p)
Avec n=2: B(2,0.5) x P(x) 0 0.25 1 0.5 2 0.25

16 La loi binomiale: B(n,p)
Symétrique!!

17 La loi binomiale: B(n,p)
Des rats sont conditionnés. Un passage a 25% d’être emprunté. 5 essais... B(5,0.25)???

18 La loi binomiale: B(n,p)
Dissymétrique!!!!

19 Espérance mathématique
La loi binomiale: B(n,p) Espérance mathématique Pour la loi binomiale: Exemple: Quelle est l’espérance mathématique du nombre de garçons dans une famille de 7 enfants?

20 Pour une distribution binomiale:
La loi binomiale: B(n,p) Pour une distribution binomiale: Exemple: Quelle est la variance du nombre de garçons dans une famille de 7 enfants?

21 Une des éventualités a une probabilité très faible.
La loi de Poisson: P(m) La loi de Poisson: distribution théorique discontinue qui dérive de la loi binomiale. Une des éventualités a une probabilité très faible. Surtout utilisé lorsqu’on compte des individus ou des évènements distribués au hasard dans le temps ou dans l’espace. Loi binomiale tend vers Poisson si p diminue et n augmente. En pratique un événement est rare si p<0.05. L’approximation est satisfaisante si n>50.

22 Avantage: un seul paramètre (m)
La loi de Poisson: P(m) Poisson démontre que : Tend vers: Avantage: un seul paramètre (m)

23 La loi de Poisson: P(m) Un exemple… Recherche de monnaies au détecteur de métaux. 48 monnaies sont trouvées sur 89 jours.

24 s2= m = 0.539 La loi de Poisson: P(m)
Nombre moyen de monnaies trouvées par jour : 48/89 = Probabilité pour qu’une trouvaille se produise le jour J : p= 1/89 = Nombre d’épreuves = 89 s2= m = 0.539

25 La loi de Poisson: P(m)

26 Espérance mathématique: m = np
La loi de Poisson: P(m) Espérance mathématique: m = np La variance : s2 = npq; en fait s2 -> m

27 La variable x peut être continue, sans borne inf ou sup.
La loi normale: N(m,s) Précurseurs : de Moivre (1733), forme actuelle : Laplace (1712), Gauss (1809) La variable x peut être continue, sans borne inf ou sup.

28 Symétrique par rapport à m
La loi normale: N(m,s) Espérance : E(x) = m Variance : Var(x) = s2 Symétrique par rapport à m

29 Loi normale centrée réduite: moyenne = 0, écart type = 1.
La loi normale: N(m,s) Loi normale centrée réduite: moyenne = 0, écart type = 1. 1ere transformation : X = x - m 2eme transformation : Z=X/s

30 La loi normale: N(m,s)

31 On retire la moyenne (on centre sur 0)
La loi normale: N(m,s) On retire la moyenne (on centre sur 0)

32 On divise par l’écart type (Nouvel écart type = 1)
La loi normale: N(m,s) On divise par l’écart type (Nouvel écart type = 1)

33 La loi normale: N(m,s) L’aire totale comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à 1.

34 La loi normale: N(m,s)

35 La loi normale: N(m,s) Fonction de densité et fonction de répartition

36 La loi normale: N(m,s)

37 La loi normale: N(m,s)

38 La loi normale: N(m,s)

39 La loi normale: N(m,s)

40 Exemple: N(5,0.5), P(4 < x < 6.5)?
Week 1 Lecture 1 La loi normale: N(m,s) Exemple: N(5,0.5), P(4 < x < 6.5)? P (-2 < Z < 3)? Réponse : calcul de P(0 < Z < 3) et de P(-2 < Z < 0) et addition des deux termes. P(0 < Z < 3) = F(3) - F(0) = = 0.499 P(-2 < Z < 0) = F(2) - F(0) = = 0.477 P(-2 < Z < 3) = = 0.976

41 Caractéristiques de la courbe normale
La loi normale: N(m,s) Caractéristiques de la courbe normale f(Z) devient de + en + faible quand Z croit en valeur absolue. f(Z) toujours > 0. Courbe symétrique : f(Z) = f(-Z) Asymptote sur l’axe des x: exp(-z2/2) ->0 quand Z -> infini La dérivée s’annule pour Z=0. Maximum à Z=0

42 Symétrique par rapport à m
La loi normale: N(m,s) Espérance : E(x) = m Variance : Var(x) = s2 Symétrique par rapport à m

43 Qui mesure exactement 1,758942563 m?
La loi normale: N(m,s) Pour une variable continue, la probabilité de tomber exactement sur une valeur est nulle. Qui mesure exactement 1, m? On considère la toujours la probabilité pour que x soit contenue dans un intervalle (P(x1  x  x2))


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