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1 L1 STE. 2 Variables aléatoires discrètes Loi de probabilité Fonction de répartition Espérance Variance Variables aléatoires continues Fonction de répartition.

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1 1 L1 STE

2 2 Variables aléatoires discrètes Loi de probabilité Fonction de répartition Espérance Variance Variables aléatoires continues Fonction de répartition Fonction de densité Espérance Variance Plan

3 3 Variable aléatoire discrète Un petit jeu de dés P(X = 1) = 1/6 P(X = -10) = 5/6 pas très favorable à vue de nez… Variables aléatoires discrètes

4 4 Loi de probabilité La loi de probabilité (ou distribution ou fonction de densité) décrit les répartitions des fréquences dapparition des résultats dune expérience aléatoire. Fonction de répartition La fonction de répartition correspond à la distribution cumulée que nous avions dans le cours sur les représentation graphique des données. Variables aléatoires discrètes

5 5 Espérance Lespérance, notée E(x) correspond à une moyenne pondérée: Variance, V(X) Il sagit de rappels. Si cela nest pas clair, les TD vont préciser les choses.

6 6 Variables aléatoires continues Fonction de répartition Cest la même chose que pour les variables aléatoires discrètes, excepté que x appartient à R cette fois. Propriétés intéressantes…

7 7 Variables aléatoires continues Fonction de densité Cest la même chose que pour les variables aléatoires discrètes, excepté que x appartient à R. Il sagit de f(x) dans la formule précédente. Propriétés intéressantes…

8 88 Variables aléatoires continues Espérance En suivant exactement la même construction que pour les variables aléatoires discrètes, on définit lespérance: Variance, V(X): Idem pour la variance

9 9 Une fonction de répartition dune variable aléatoire x est une fonction F(x) qui, pour tout x, indique la probabilité pour que x soit inférieur ou égal à x 1. Variable continue (sigmoïde pour La loi normale) Variable discrète (escalier) En résumé

10 10 L1 STE

11 11 Lois discrètes Loi binomiale Loi de Poisson Loi continue Loi normale Plan

12 12 La loi binomiale: Cest une distribution discontinue qui donne les probabilités de voir apparaître un événement de probabilité p respectivement 0,1,2,3,…n fois au cours de n épreuves. Seulement deux évènements peuvent apparaître. B(n,p) : n est le nombre dépreuves, p est la probabilité dun des deux évènements (p.e. succès), q est la probabilité complémentaire (p.e. échec). La loi binomiale: B(n,p)

13 13 La probabilité de voir apparaître x fois le même événement de probabilité p au cours de n épreuves indépendantes peut sécrire: La loi binomiale: B(n,p)

14 14 Exemple: Une famille de n enfants, quelle est la probabilité davoir x garçons? B(2,0.5)? B(7,0.5)? La loi binomiale: B(n,p)

15 15 xP(x) Avec n=2: B(2,0.5) La loi binomiale: B(n,p)

16 16 Symétrique!! La loi binomiale: B(n,p)

17 17 Des rats sont conditionnés. Un passage a 25% dêtre emprunté. 5 essais... B(5,0.25)??? La loi binomiale: B(n,p)

18 18 Dissymétrique!!!! La loi binomiale: B(n,p)

19 19 Espérance mathématique Pour la loi binomiale: Exemple: Quelle est lespérance mathématique du nombre de garçons dans une famille de 7 enfants? La loi binomiale: B(n,p)

20 20 Pour une distribution binomiale: Exemple: Quelle est la variance du nombre de garçons dans une famille de 7 enfants? La loi binomiale: B(n,p)

21 21 La loi de Poisson: distribution théorique discontinue qui dérive de la loi binomiale. Une des éventualités a une probabilité très faible. Surtout utilisé lorsquon compte des individus ou des évènements distribués au hasard dans le temps ou dans lespace. Loi binomiale tend vers Poisson si p diminue et n augmente. En pratique un événement est rare si p 50. La loi de Poisson: P( )

22 22 Poisson démontre que : Tend vers: Avantage: un seul paramètre ( ) La loi de Poisson: P( )

23 23 Un exemple… Recherche de monnaies au détecteur de métaux. 48 monnaies sont trouvées sur 89 jours. La loi de Poisson: P( )

24 24 Nombre moyen de monnaies trouvées par jour : 48/89 = Probabilité pour quune trouvaille se produise le jour J : p= 1/89 = Nombre dépreuves = 89 2 = = La loi de Poisson: P( )

25 25 La loi de Poisson: P( )

26 26 Espérance mathématique: = np La variance : 2 = npq; en fait 2 -> La loi de Poisson: P( )

27 27 Précurseurs : de Moivre (1733), forme actuelle : Laplace (1712), Gauss (1809) La loi normale: N( ) La variable x peut être continue, sans borne inf ou sup.

28 28 La loi normale: N( ) Symétrique par rapport à Espérance : E(x) = Variance : Var(x) = 2

29 29 Loi normale centrée réduite: moyenne = 0, écart type = 1. 1 ere transformation : X = x - 2 eme transformation : Z=X/ La loi normale: N( )

30 30 La loi normale: N( )

31 31 La loi normale: N( ) On retire la moyenne (on centre sur 0)

32 32 La loi normale: N( ) On divise par lécart type (Nouvel écart type = 1)

33 33 Laire totale comprise entre la courbe et laxe des abscisses est égale à 1. La loi normale: N( )

34 34 La loi normale: N( )

35 35 La loi normale: N( ) Fonction de densité et fonction de répartition

36 36 La loi normale: N( )

37 37 La loi normale: N( )

38 38 La loi normale: N( )

39 39 La loi normale: N( )

40 40 Exemple: N(5,0.5), P(4 < x < 6.5)? P (-2 < Z < 3)? Réponse : calcul de P(0 < Z < 3) et de P(-2 < Z < 0) et addition des deux termes. P(0 < Z < 3) = (3) - (0) = = P(-2 < Z < 0) = (2) - (0) = = P(-2 < Z < 3) = = La loi normale: N( )

41 41 La loi normale: N( ) Caractéristiques de la courbe normale f(Z) devient de + en + faible quand Z croit en valeur absolue. f(Z) toujours > 0. Courbe symétrique : f(Z) = f(-Z) Asymptote sur laxe des x: exp(-z 2 /2) ->0 quand Z -> infini La dérivée sannule pour Z=0. Maximum à Z=

42 42 La loi normale: N( ) Symétrique par rapport à Espérance : E(x) = Variance : Var(x) = 2

43 43 Pour une variable continue, la probabilité de tomber exactement sur une valeur est nulle. Qui mesure exactement 1, m? On considère la toujours la probabilité pour que x soit contenue dans un intervalle (P(x 1 x x 2 )) La loi normale: N( )


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