Probabilité de Présence

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1 Probabilité de Présence
 n'a pas de signification physique. C'est une fonction purement mathématique. Max Born, en 1926, (Nobel 1954) suggère une interprétation statistique de la fonction d'onde. La fonction d'onde permet de calculer la probabilité de trouver un électron, a un instant donne, dans une région d'espace donné. Il donne une interprétation probabiliste de la mécanique ondulatoire: 2 permet de calculer la probabilité de trouver l‘électron au voisinage d'un point M(x,y,z) dans un volume élémentaire dxdydz. 2 donne la densité de probabilité de présence de l‘électron en un point M.

2 Soit le point M(x,y,z) a un instant t.
La probabilite de trouver l‘électron a l’intérieur d’un élément de volume dx,dy,dz centré sur M est : dP = 2. dV. 2 = dP/dV est homogène a une probabilité par unité de volume, c’est la densité volumique de probabilité de présence de l‘électron autour du point M a un instant t : D(M) ou la densité électronique autour du point M.

3 La probabilité de trouver l'electron dans un volume V est:
∫dP = ∫V D(M) . dV = ∫V 2. dV L‘électron n'est plus localisé de façon exacte autour du noyau. On peut seulement connaitre une probabilité de présence de l‘électron dans un volume V. L‘électron ne se trouve jamais sur les surfaces nodales. Ce sont des surfaces ou la fonction d'onde  et la densité volumique de probabilité de présence 2 sont nulles.

4 Exercices supplémentaires à traiter à la fin de la série 3
Exercice1bis: L’expression mathématique de la fonction d’onde 100 associée à l’orbitale atomique 1s de l’hydrogénoÏde de l’atome Be est donnée par: 1) Exprimer densité de probabilité de présence de l’électron Dr. 2) Pour quelle valeur de r la densité de probabilité de présence de l’électron est maximale?

5  100= 1s = N1s 𝑒 −4𝑟/𝑎0 dp=2. dV dV = 4r²dr dp=2. 4r²dr
Solution 1-  100= 1s = N1s 𝑒 −4𝑟/𝑎0 dp=2. dV Volume d'une sphère: dV = 4r²dr dp=2. 4r²dr 𝒅𝒑 𝒅𝒓 = 2. 4r² c’est la densité de probabilité 𝒅𝒑 𝒅𝒓 =Dr = 4r² N21s 𝒆 −𝟖𝒓/𝒂𝟎

6 D’r = 8r N21s 𝑒 −8𝑟/𝑎0 + 4r² N21s (−8/𝑎0 ) 𝑒 −8𝑟/𝑎0
2) valeur de r pour laquelle la densité de probabilité de présence de l’électron est maximale: Le maximum d’une fonction est obtenue pour les valeurs qui annulent la dérivée, Dr = 4r² N21s 𝑒 −8𝑟/𝑎0 D’r = 8r N21s 𝑒 −8𝑟/𝑎0 + 4r² N21s (−8/𝑎0 ) 𝑒 −8𝑟/𝑎0 D’r = 8 rN21s (1−4𝑟/𝑎0 ) 𝑒 −8𝑟/𝑎0 D’r = 0 r=0, r= (𝒂𝟎 /4) et r 

7 Exercice 2bis : Calculer, dans l’approximation monoélectronique (particules indépendantes), les énergies de l’atome Li (Z=3) et de l’ion Li+ et en déduire le potentiel d’ionisation de Li. Dans cette approximation on a :

8 L’approximation monoélectronique ou orbitalaire
On est alors conduit à rechercher des solutions approchées (une pour chaque électron) en négligeant les interactions entre les électrons, puis à combiner ces solutions. Négliger les interactions électroniques revient à considérer que les probabilités de présence des électrons sont indépendantes. La fonction d'onde ψ, décrivant le comportement des deux électrons est alors approximée par le produit des deux solutions fictives, la fonction d'onde pour l'électron (1) seul et celle pour l'électron (2) seul, soit :

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10 Dans le cas de l’atome du Li (Z=3)
𝜳 𝟏𝟐𝟑 = 𝚿 𝟏 𝒓 𝟏 , 𝜽 𝟏 , 𝝋 𝟏 × 𝚿 𝟐 𝒓 𝟐 , 𝜽 𝟐 , 𝝋 𝟐 × 𝚿 𝟑 𝒓 𝟑 , 𝜽 𝟑 , 𝝋 𝟑 = 𝚿 𝟏 𝟏 × 𝚿 𝟐 𝟐 × 𝚿 𝟑 𝟑 H=H1 +H2 + H3 (H1 +H2 + H3)123=E123 𝑬= 𝜳 𝟏 ∗ (𝟏) × 𝜳 𝟐 ∗ (𝟐)× 𝜳 𝟑 ∗ (𝟑) 𝑯 𝟏 + 𝑯 𝟐 + 𝑯 𝟑 𝜳 𝟏 (𝟏)× 𝜳 𝟐 (𝟐)× 𝜳 𝟑 (𝟑)𝒅 𝒗 𝟏 ×𝒅 𝒗 𝟐 ×𝒅 𝒗 𝟑

11 PI(Li) = E(Li+)- E(Li)=30,6eV
Sachant que n étant le niveau électronique sur lequel se trouve l’électron i. On trouve : E = E1 + E2 + E3 E(Li) = -13,6×(32/12 ) + -13,6 ×(32/12 )+ -13,6 ×(32/22 ) E(Li) = ,4eV De la même façon l’énergie de Li+ est égale : E (Li+) = 2× (-13,6) ×(32/12 )=18× (-13,6) = - 244,8 eV Donc PI(Li) = E(Li+)- E(Li)=30,6eV