Cisaillement Cours de mécanique TGMB1

Domaine d’étude du cisaillement Pièce sollicitée en cisaillement 1 - Domaine d’étude du cisaillement 1.1 - Hypothèses Les calculs de résistance ci dessous ne peuvent s’appliquer que si les sections dans lesquelles on effectue le calcul sont sollicitées en cisaillement Pièce sollicitée en cisaillement Une pièce e st sollicitée en cisaillement lorsqu’elle est soumise à un ensemble de couples de forces. Ces couples étant constitués de deux forces perpendiculaires à la ligne moyenne, de supports différents mais très proches l’un de l’autre. Cette sollicitation s’effectue uniquement dans les sections comprises entre ces couples de force. T : Effort tranchant Ligne moyenne F 1 2 3 Dans la section S1 S1 S2 S3 T = F1 Dans S2 : T = F2 Dans S3 : T = F3

On calcule la contrainte dans toutes les sections. 2 - Parallèle Traction Cisaillement F3 2.1 - Sollicitation Traction F S 3 1 2 Cisaillement F1 Uniquement Dans toutes les sections dans les sections sollicitées F3 F1 Effort normal Effort tranchant N = F = C te Dans S1 : T = F1 Dans S3 : T = F3 Remarque : Pour vérifier la résistance de la pièce on calcule la contrainte maximale. Donc En traction : On calcule la contrainte dans la section minimale pour avoir la contrainte maximale On calcule la contrainte dans toutes les sections. En cisaillement Sauf si T = Cte et S = Cte’. Dans ce cas un seul calcul est suffisant

Etude de la déformation d’un très petit volume : volume élémentaire 2 - Parallèle Traction Cisaillement 2.2 - Etude de la déformation d’un très petit volume : volume élémentaire On extrait fictivement de la section précédente un très petit volume : volume élémentaire. Ce volume est soumis à un effort élémentaire ¾ ® dF sur sa surface ds comprise dans la section étudiée. ds Traction l Cisaillement l l df df df g e = l – Allongement : Glissement angulaire : g en rad

Etude des contraintes dans une section 2 - Parallèle Traction Cisaillement 2.3 - Etude des contraintes dans une section 2.3.1 - Type de contrainte Traction s Cisaillement Type de contrainte Type de contrainte Normale Tangentielle t t Valeur : Valeur : s = df ds t = df ds

2 - Parallèle Traction Cisaillement 2.3 - Etude des contraintes dans une section 2.3.2 - Répartition de la contrainte dans une section On coupe fictivement cette pièce, et on regarde quelle contrainte s’exerce sur de très petites surfac es ds appartenant à la section de la coupure (surfaces élémentaires) . On regarde comment sont réparties les contraintes normales et tangentielles dans ces différentes surfaces élémentaires ds

t t t s = N S = F S t = T S = F S Uniforme Supposée uniforme 2 - Parallèle Traction Cisaillement 2.3 - Etude des contraintes dans une section 2.3.2 - Répartition de la contrainte dans une section Traction s Cisaillement t t t La contrainte est normale et est La contrainte est tangentielle et est Uniforme Supposée uniforme On en déduit que : On en déduit que : s = N S = F S t = T S = F S

= R = R s = t s s < t < = R = t t = R 2 Démonstration 2 - Parallèle Traction Cisaillement 2.4 - Condition de résist ance Traction Cisaillement = R pe = R e s = t e s s max < adm t max < adm = R pg = t pe Avec R e : Limite élastique à la traction Avec t e : Limite élastique au cisaillement Et s : coefficient de sécurité Et s : coefficient de sécurité Relation entre R e et t En premièr e approximation on prendra pour les matériaux ductiles (métaux) : t e = R 2 Démonstration

e = D l g s = E . e t = G . g MPa rad Angle de Glissement 2 - Parallèle Traction Cisaillement 2.5 - Lois de Hooke l = l + D l s Traction Cisaillement Type de déformation Type de déformation Allongement relatif Angle de e = D l Glissement g E : module d’Young ou d’élasticité Longitudinal G : module de Coulomb ou d’élasticité Transversal s = E . e t = G . g MPa rad

Re s te t' = = 2 2 Comparaison de Re et te F df df ' df ' df ds = ds'. q df N ' ds = ds'. cos q ds' = ds cos q ds' ds q df T ' df df T ' = df.sin q t ' = df T ' ds' t ' = df.sin q ds cos df ds .sin q .cos t ' = df ds 2.sin q .cos 2 t ' = t ' = s 2 sin 2 q t ' maxi pour 2. q = 90° q donc pour = 45° te = 2 Re t' = 2 s Dans ce cas Par conséquent :