Les ensembles de nombres Q’ Q Z N

L’être humain crée les outils dont il a besoin. Mesurer, faire du commerce, partager, exécuter un travail de haute précision, tous ces objectifs nécessitent l’utilisation de différentes sortes de nombres. Les nombres ont évolué. Au début, ils étaient assez simples, mais avec les besoins de plus en plus complexes de l’homme, ils se sont développés et spécialisés. Ainsi, l’homme a créé différents ensembles (différentes familles) de nombres; chaque ensemble a ses propres caractéristiques et traduit des situations différentes. N : les nombres entiers naturels Z : les nombres entiers relatifs Q : les nombres rationnels Q’ : les nombres irrationnels R : les nombres réels

Avant de décrire les nombres et leurs ensembles, il faut savoir que ces différents nombres sont écrits avec des chiffres. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Il existe 10 chiffres : et conséquemment, nous permettent d’écrire des nombres. Ces chiffres représentent l’alphabet des nombres Par exemple : 145 est un nombre composé de 3 chiffres (le 1, le 4 et le 5). 6 est aussi un nombre composé d’un seul chiffre (le 6).

∞ N : N les nombres entiers naturels Historiquement, les nombres entiers naturels ont été les premiers à être utilisés. Les hommes de l’époque comptaient ce qu’ils possédaient. 3 enfants, 25 chèvres, 56 arbres, etc. Ces nombres servent à compter des objets entiers. 2 pommes 5 chaises 9 planètes 500 personnes 1 246 980 étoiles Ils sont tous des nombres entiers et positifs. Ils débutent à 0 et ne se terminent jamais; après un nombre, il y en a toujours un de plus. N : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Ils s’étendent jusqu’à l’infini sans jamais l’atteindre. Remarque: Les hommes ont inventé un symbole pour décrire l’infini; ce symbole est le suivant : ∞

Sur une droite numérique, cet ensemble ne peut être représenté que par des points. 1 2 3 4 5 6 … ∞ + N Ce dessin symbolise l’ensemble des entiers naturels. Tous les nombres entiers naturels se retrouvent à l’intérieur de ce cercle. Les nombres entiers négatifs, les fractions et les nombres décimaux ne font pas partie de cet ensemble.

Prenons un exemple : Un magasin de jouets vend des yo-yo au prix de 10,00 $ chacun. On s’intéresse au revenu des ventes ($) en fonction du nombre de yoyos. La règle et le graphique suivant représente cette situation : f(x) = 10x 1 2 3 4 10 20 30 40 yo-yo vendus Vente de yo-yo Revenus ($) Dans cet exemple, des nombres entiers sont représentés. Nous ne pouvons pas utiliser une courbe continue. La courbe doit être tracée comme illustrée dans l’exemple. Une courbe continue ne serait pas significative. Elle signifierait que l’on peut vendre un demi-yoyo pour 5,00 $. Peu de personnes achèteraient un demi yo-yo même pour 5,00 $.

Z : Z les nombres entiers relatifs Un jour, les hommes ont eu besoin de représenter de nouvelles situations. Exemples : - la température: +20 0C et - 20 0C ne signifient pas le même degré de chaleur. - les dettes: quand tu reçois un salaire de 100 $, tu possèdes + 100 $, mais si tu achètes un mp3 de 150 $, il te manque 50 $; tu es donc à - 50$. L’ensemble des entiers relatifs ne comporte que des nombres entiers (pas de fractions ni de décimaux) : il regroupe les nombres entiers naturels et les nombres entiers négatifs. La famille s’agrandit ! Z N Z : …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Remarque : Un Allemand dénommé Zahl a été le premier a parlé de l’ensemble des entiers relatifs : d’où le « Z ».

∞ ∞ Ils permettent de construire une droite numérique à gauche du 0. 1 1 2 3 4 5 6 … ∞ + ∞ - - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 … Ils ne se terminent jamais s’en allant comme pour les nombres naturels vers l’infini positif, mais aussi, vers l’infini négatif. Comme pour l’ensemble des nombres naturels, on ne peut représenter l’ensemble des entiers relatifs sur une droite numérique que par des points.

Q : Q les nombres rationnels Comment faire pour représenter : la moitié d’une pomme, 3 centièmes de seconde, le quart d’une tarte, 5,75 $ … Nous avons besoin d’un nouvel ensemble qui regroupe toutes les fractions et les nombres décimaux périodiques. Q : …, -6, …, -5,24, …, -1/2, …, 0, …, 3/4, …, 2, …, 7,238, … La lettre Q signifie un quotient. Il existe une définition formelle pour décrire cet ensemble : Un nombre rationnel est un nombre de la forme dans laquelle a et b sont des entiers et b ≠ 0. a b

Un nombre rationnel est un nombre de la forme dans laquelle a et b sont des entiers et b ≠ 0. 2 5 2 est un nombre entier a et b sont des nombres entiers : 5 est un nombre entier donc, est une fraction ou un nombre rationnel. 2 5 3 4,5 3 est un nombre entier 4,5 n’est pas un nombre entier mais un nombre rationnel donc, n’est pas une fraction, mais un rapport. 3 4,5 b ≠ 0 : en mathématique, la division par 0 n’est pas définie. Exemple: Posons x = 5 et effectuons le produit croisé : 0 x = 5 Cette expression exprime la valeur que nous devons donner à x, pour que multipliée par 0, l’expression soit égale à 5. ? Par conséquent, un dénominateur ne doit jamais être égal à zéro.

Examinons maintenant les implications de cette définition. Les nombres décimaux périodiques sont une autre forme d’écriture des fractions et font également partie de l’ensemble des rationnels. 1 2 = 0,5 7 4 = 1,75 -8 5 = - 1,6 1 3 = 0,333333... Les nombres périodiques peuvent être indéfiniment divisés et leurs décimales reproduisent périodiquement une même série de chiffres. Ainsi, la division de , s’obtient par : 1 3 1 3 Si on continuait la division, elle ne s’arrêterait jamais - 1 , 3 3 3 et le chiffre 3 se répéterait indéfiniment. - 9 Donc, 3 est la période. 1 - 9 1 - 9 1

Certaines fractions ont une forme décimale comportant une période très longue. 2 7 Exemples : = 0, 285 714 285 714 285 7… 1 17 = 0, 058 823 529 411 764 705 882 352 941 176 47… Pour indiquer une période, un trait est tracé au-dessus qui nous précise que la période se répète indéfiniment. 2 7 = 0, 285 714 285 714 285 7… = 0, 285 714 1 17 = 0, 058 823 529 411 764 705 882 352 941 176 47… = 0, 058 823 529 411 764 7 1 3 = 0,333 333… = 0, 3 1 3 Attention : = 0, 3 et non = 0, 33 La période est 3 et non 33.

Les nombres entiers et décimaux sont considérés comme des nombres rationnels, car, ils ont une période de 0. Exemples : 7 = 7, 0 - 125 = - 125, 0 34,8 = 34,8 0 Bien entendu, nous ne l’écrivons pas, mais nous devons nous en souvenir. Les entiers font partie de l’ensemble des rationnels parce qu’ils sont des fractions entières. 8 4 = 2 - 9 3 = - 3 Exemples : Q La famille s’agrandit encore ! Z N

∞ Sur la droite numérique, il y a de plus en plus de nombres. 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 … ∞ + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - 1 2 Cette figure, démontre qu’il y a beaucoup de nombres, mais qu’il y en a beaucoup plus encore. Exemple : Quels nombres pouvons nous inscrire entre 1 et 2 ? Agrandissons cette distance : 1 2 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 ,0 Plaçons les dixièmes:

1,1 1,0 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Maintenant, agrandissons la distance entre 1,0 et 1,1 et insérons les centièmes : 1,0 1,1 1,09 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 Une démarche identique pourrait être effectuée pour placer les millièmes, les dix-millièmes, etc. Cette démarche pourrait être répétée jusqu’à l’infini, puisqu’il y a toujours des nombres dont la partie décimale est de plus en plus petite. Il existe donc une infinité de nombres entre deux nombres.

Q’ : Q’ ~ ℮ les nombres irrationnels De nouvelles réalités ont forcé l’homme à créer un nouvel ensemble de nombres. Les côtés d’un triangle, la circonférence d’un cercle, le calcul des intérêts bancaires, etc. utilisent des nombres particuliers. Ce sont les irrationnels. Q’ : 2 3 5 ~ ℮ 1 + , … Les nombres irrationnels forment un ensemble particulier. Ce triangle rectangle a 1 unité de côté. 1 Exemple : L’hypoténuse de ce triangle se calcule avec la relation de Pythagore comme suit : a2 + b2 c = donc, c = 12 + 12 c = 2

~ ~ Si on extrait la racine carrée de 2, on obtient le nombre suivant: ≈ 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7… Ce nombre est qualifié de nombre décimal non-périodique, puisque la partie décimale est infinie et qu’aucune période ne peut être définie. Le même problème se pose avec : ~ ~ ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 5… Pourtant ces nombres sont utiles dans beaucoup de situations. Par conséquent, les nombres irrationnels sont des nombres décimaux dont la partie décimale est infinie et non-périodique. Avec ces nombres, la droite numérique est pleine.

∞ Prenons l’exemple de la racine carrée de 2: 2 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7… ≈ Cette valeur devrait se positionner entre 1,41 et 1,42 2,1 ≈ et 1, 449 13… Cette valeur devrait se positionner entre 1,44 et 1,45 Ainsi, avec certains nombres particuliers et par le calcul des racines de différents nombres, on obtient encore une infinité de nouveaux nombres, ce qui remplit la droite numérique. 1 2 3 4 5 6 … ∞ + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - Attention : Ce ne sont pas tous les nombres avec des racines qui sont irrationnels. Exemple : 4 = 2 qui est un nombre entier.

R Tous ces ensembles de nombres forment la grande famille des nombres réels : R Q’ Q Z N est inclus dans l’ensemble des nombres entiers relatifs L’ensemble des nombres entiers naturels qui lui est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels qui, à son tour est inclus dans l’ensemble des nombres réels. Ce paragraphe se traduit en langage mathématique comme suit : donc N Z Q R en langage mathématique, ce symbole signifie « est inclus dans ». L’ensemble des nombres irrationnels est un ensemble distinct des ensembles N, Z et Q, mais est inclus dans l’ensemble des nombres réels.

R Q’ Q Z N Un autre symbole mathématique nous permet de tout écrire. en langage mathématique, ce symbole signifie l’union entre 2 ou plusieurs ensembles donc, R = Q Q’ Les mathématiciens ont inventé un langage mathématique pour décrire des phénomènes qui seraient trop longs à écrire, en français. L’apprentissage de ce langage est laborieux au début, mais essentiel si tu désires continuer ton cheminement en mathématique.

Il existe un dernier ensemble de nombres qui n’est pas étudié au secondaire. Il s’appelle l’ensemble des nombres complexes : Ces nombres ont des propriétés liées à la trigonométrie et sont très utiles en Sciences Physiques pour l’étude des réseaux électriques ainsi que pour les travaux se rapportant aux courants alternatifs. Exemple : - 4 Dans l’ensemble des nombres réels, n’existe pas. - 4 En effet, on ne peut pas extraire la racine carrée d’un nombre négatif. En utilisant les lois sur les radicaux, les mathématiciens ont décomposé cette racine en deux. = - 4 - 1 X 4 = -1 4 X Ils ont symbolisé par i. - 1 Ainsi, = 2 i - 4 Ils peuvent donc effectuer des calculs complexes.

Nombres et langage < > ≤ ≥ Dans cette section, nous étudierons la façon dont nous pouvons décrire tous ces différents nombres. D’autres symboles s’ajoutent à ceux déjà appris qui nous permettront de décrire de grandes quantités de nombres : x représente : tous les nombres qui nous intéressent signifie : appartenir à … signifie : tel que (de telle manière que) < signifie : plus petit que … > signifie : plus grand que … ≤ signifie : plus petit ou égal à … ≥ signifie : plus grand ou égal à … signifie : union (quand on veut réunir des ensembles)

< > ≤ ≥ < Remarques importantes sur les 4 symboles : En utilisant l’ensemble des entiers naturels ( N ), examinons des détails importants sur ces symboles. < la pointe signifie plus petit que l’ouverture signifie plus grand que ainsi, x < 5 se lit x est plus petit que 5; et x > 5 se lit x est plus grand que 5.

< ≤ > ≥ signifie : plus petit que … ce qui exclut le nombre de référence. 0, 1, 2, 3 Exemple : x < 4 signifie ≤ signifie : plus petit ou égal à … ce qui inclut le nombre de référence. 0, 1, 2, 3, 4 Exemple : x ≤ 4 signifie > signifie : plus grand que … ce qui exclut le nombre de référence. 7, 8, 9, 10, 11, … Exemple : x > 6 signifie ≥ signifie : plus grand ou égal à … ce qui inclut le nombre de référence. 6, 7, 8, 9, 10, 11, … Exemple : x ≥ 6 signifie

Elles servent à énumérer les réponses. Prenons deux exemples : - dans la famille des entiers naturels ( N ), représente x ≥ 5. 5, 6, 7, 8, 9, … On place des accolades. La liste débute à 5 car x est plus grand ou égal à 5. Les points veulent dire que la liste continue toujours. Elles servent à énumérer les réponses. - dans la famille des entiers naturels ( N ), représente x > 5. 6, 7, 8, 9, … Ici, la liste débute à 6 car x est plus grand que 5.

≤ x < signifie : les nombres compris entre Exemple : Dans la famille des entiers naturels, représente les nombres compris entre 3 inclus et 8 exclu. 3 ≤ x < 8 signifie : les nombres compris entre 3 inclus et 8 exclu, 3, 4, 5, 6, 7 c’est-à-dire :

Dans la famille des rationnels ( Q ), représente x ≤ 2. …, -6, …, -5,24, …, -1/2, …, 0, …, 3/4, …, 2 Cette liste étant infinie, les points de suspension indiquent que nous retrouvons d’autres nombres entre les nombres inscrits. L’énumération de listes de nombres peut devenir fastidieux, car plus les familles de nombres sont grandes, plus il y a des nombres. Avec la famille des nombres réels ( R ), les mathématiciens ont trouvé des manières d’écrire une suite de nombres.

R : les nombres réels L’ensemble des nombres réels englobe tous les autres ensembles N, Z, Q, Q’ . Il est l’ensemble de nombres le plus utilisé en mathématique. Les mathématiciens ont trouvé de nouvelles façons pour décrire les nombres réels : - la droite numérique : ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - les intervalles : , , , ,

La droite numérique Nous avons appris que l’ensemble des nombres réels remplit la droite numérique; nous pouvons donc illustrer un ensemble particulier à l’aide de celle-ci. Exemple : On voudrait représenter tous les nombres réels compris entre 1 inclus et 6 inclus. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Ce trait plein symbolise tous les nombres réels entre 1 et 6.

∞ ∞ Voici quelques exemples : Représenter tous les nombres entre -2 inclus et 5 inclus ( -2 ≤ x ≤ 5 ). ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence à -2 jusqu’à 5. Représenter tous les nombres entre -2 exclu et 5 inclus ( -2 < x ≤ 5 ). 2 exclu 5 inclus ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Remarque: signifie que le nombre est exclu. signifie que le nombre est inclus. L’ensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 jusqu’à 5. Par exemple, de ≈ – 1,9999999999999999999999… jusqu’à 5.

∞ ∞ Représenter tous les nombres entre -2 exclu et 5 exclu 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 et se termine avant 5. Représenter tous les nombres entre -2 inclus et 5 exclu ( -2 ≤ x < 5 ). ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence à -2 et se termine avant 5.

Exercices : - Représente tous les nombres plus grands ou égaux à 1 ou x ≥ 1. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Le trait se prolonge vers l’infini sur la droite numérique. - Représente tous les nombres plus petits que -2 ou x < -2. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Remarque : Sur la droite numérique, le déplacement se fait toujours de la gauche vers la droite.

∞ Les intervalles , Les intervalles sont représentés par des crochets Ces symboles ne sont utilisés qu’avec les nombres réels ( R ). Ils englobent comme le trait plein sur la droite numérique, tous les nombres situés entre les deux. Exemple: ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Les intervalles s’écrivent comme suit : 1 , 6 On place une virgule pour séparer les nombres. Cet exemple représente tous les nombres réels plus grands ou égaux à 1 et plus petits ou égaux à 6; ou encore, tous les nombres compris entre 1 inclus et 6 inclus.

∞ ∞ Selon la situation à représenter, les crochets peuvent être ouverts ou fermés , Exemples: ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence à -2 jusqu’à 5 et s’écrit en intervalles -2 , 5 . ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence immédiatement après -2 jusqu’à 5 et s’écrit en intervalles -2 , 5 2 exclu 5 inclus

∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence immédiatement après -2 et se termine avant 5 et s’écrit en intervalles -2 , 5 ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence à -2 et se termine avant 5 et s’écrit en intervalles -2 , 5

∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles 1 , + ∞ Remarque : Certains auteurs utilisent des crochets ouverts avec l’infini, d’autres n’en mettent pas. 1 , + ∞ 1 , + ∞ les deux manières sont correctes. Par contre, il ne faut jamais mettre des crochets fermés sur l’infini. 1 , + ∞ Cela voudrait dire que l’on a atteint l’infini ce qui est impossible.

Remarque : Tant pour la droite numérique que pour les intervalles, les nombres se suivent du plus petit vers le plus grand (de la gauche vers la droite). ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 , -1 ∞ - -1 , ∞ - s’écrit en intervalles et non Attention : les symboles suivants ne signifient pas la même chose: , crochets pour les d’intervalles; accolades pour l’énumération d’une ou de plusieurs réponses; ( , ) parenthèses pour la représentation d’un couple de coordonnées dans le plan cartésien.

La représentation d’un ensemble de nombres dans l’ensemble des nombres réels se fait de quatre manières différentes. Exemple : En français: Tous les nombres compris entre -3 inclus et 3 exclu. Sur la droite numérique: ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 En intervalles: -3 , 3 -3 ≤ x < 3 En compréhension : Cette forme d’écriture est utilisée en algèbre. Remarque :

Exercice 1 En utilisant la droite numérique et l’écriture en intervalles, décris les phrases suivantes : Droite numérique En intervalles Tous les réels plus petits que 3 : 1 2 3 4 - 1 , 3 ∞ - Tous les réels supérieurs à 100 inclus : 100 100 , ∞ + Tous les réels compris entre 5 inclus et 30 exclu : 5 30 5 , 30

∞ ∞ ∞ Droite numérique En intervalles Tous les nombres réels compris entre 5 exclu et 15 exclu : 5 5 , 15 0 , ∞ + Tous les nombres réels positifs : ∞ - , 0 Tous les nombres négatifs, sauf 0 : ∞ - + , Tous les nombres réels : ou R

Exercice 2 Écris en intervalles les représentations numériques suivantes : Droite numérique En intervalles -4 -3 -2 -1 , -1 ∞ - -4 -3 -2 -1 1 2 -4 , 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 1 , , -2 ∞ - + ce symbole sert à unir les deux ensembles de nombres.

∞ Droite numérique - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 En intervalles : ] -4 , -2 [ ] 0 , 2 [ [ -6 , -4 ] [ 1 , 5 [ [ -5 , -3 [ [ 2 , 6 ]

∞ ∞ ∞ Droite numérique En intervalles -10 -10 , + 1 2 3 4 4 , , 1 - + -10 , ∞ + 1 2 3 4 4 , , 1 ∞ - + 0 , ∞ + - , 0

Droite numérique En intervalles En compréhension y 1 6 5 4 3 2 -1 -2 -3 -4 -5 R -4 < ≤ 5 -4 , 5 y y x Dans le plan cartésien, on associe la droite numérique horizontale aux valeurs de x et la droite numérique verticale aux valeurs de y. Important Les différentes façons de représenter les nombres et leurs ensembles pour x vaut également pour y.

Cette présentation illustre les différents ensembles de nombres et la manière de les décrire. Tous ces symboles ne sont que les premiers codages du langage mathématique, car il en existe une multitude d’autres. Le langage mathématique est une langue de communication tout comme le français. Avec du temps et de la persévérance, le langage mathématique devient un réflexe et n’aura plus de secret pour toi.