Plans d'expérience Méthode Taguchy Analyse de la variance Anavar

La méthode Objectif : Proposer une méthode plus rigoureuse de sélection des paramètres influents. Certitude/risque Moyen : On compare la variance de la sortie liées au réglage d'un paramètre à la variance naturelle de la sortie.

1) Principe Condition série Pression T° Vitesse Constat : La sortie est variable même pour des valeurs de paramètres supposées constante

1) Principe Constat : La sortie varie de manière plus significative si on modifie le réglage de la température 30° 60° Action sur T° Condition série Pression T° Vitesse

1) Principe Constat : La sortie varie de manière sensiblement équivalente lorsque l'on modifie le réglage de vitesse. 20 t/min 5 t/min Action sur VITESSE Condition série Pression T° Vitesse

1) Principe 20 bars 10 bars Action sur PRESSION Condition série Pression T° Vitesse Constat : La sortie varie de manière plus significative si on modifie le réglage de la pression.

1) Principe Constat : Certains paramètres interviennent plus que d'autres Pression T° Vitesse 30° 20 t/min 20 bars 60° 5 t/min 10 bars Action sur T° Action sur VITESSE Action sur PRESSION Condition série

1) Définitions Variance : Ecart type au carré NF -X PopulationGrandeurEchantillon XMoyennex  Ecart type   variance   XCaractèrex NEffectifn

3) Rappels loi normale NF -X Loi Normale Loi de GAUSS 99,73% Moyenne de la population : Ecart-type de la population : - 3  + 3 

3) Rappels loi normale NF -X Distribution des moyennes des échantillons - Les moyennes des échantillons sont distribuées selon une loi normale de moyenne X et de variance (moyenne échantillon) avec n = effectif de chaque échantillon (= 3)  moy. d'échantillon  ² =  ² (population) n X X X X X  ² Population des individus X ( individu ) - La population est distribuée selon une loi normale de moyenne X et de variance  de la population X

3) Rappels loi normale NF -X On peut estimer la Variance de la population en partant de la Variance connue d'un échantillon. On peut estimer la Variance de la population en partant de la Variance connue d'un échantillon. Estimation de ( Variance d'une population ) soit S² l'estimation ponctuelle de (variance calculée de l'échantillon) ² ² S 2 = n n-1 ²

4) Loi des moyennes d'échantillons appliqués aux plans d'expérience Intervalle de confiance à 95% échantillon 1 échantillon 3 échantillon 2 Loi des Moyennes du paramètre C Loi des Moyennes de la population

4) Loi des moyennes d'échantillons appliqués aux plans d'expérience Intervalle de confiance à 95% Construction du test à partir du Plan L9 Modalité Loi des Moyennes d'échantillons de taille 3 Loi des Moyennes d'échantillons S ² = Variance estimée de la population de l'échantillon ² = Variance calculée de l'échantillon avec : égal à : Effectif modalité DDL paramètre ² S 2 = n n-1 

4) Loi des moyennes d'échantillons appliqués aux plans d'expérience Intervalle de confiance à 95% Construction du test à partir du Plan L9 modalité 1 modalité Loi des Moyennes d'échantillons de taille 3 Loi des Moyennes d'échantillons S ² = Variance estimée de la population de l'échantillon ² = Variance calculée de l'échantillon avec : égal à : Effectif modalité DDL paramètre ² S 2 = n n-1 

4) Loi des moyennes d'échantillons appliqués aux plans d'expérience Intervalle de confiance à 95% Construction du test à partir du Plan L9 modalité 1 modalité 3 modalité Loi des Moyennes d'échantillons de taille 3 Loi des Moyennes d'échantillons S ² = Variance estimée de la population de l'échantillon ² = Variance calculée de l'échantillon avec : égal à : Effectif modalité DDL paramètre ² S 2 = n n-1 

Calcul de la variance d'un paramètre S² = N ( effectif. modalité ) X  ² [  moy. éch. - moy. plan ) ² ] DDL para (Nb modalités - 1 )

4) Calcul de la somme des carrés pour un paramètre X1X2 a2a2 a1a1 N lignes r répétitions na modalités Y

4) Calcul de la somme des carrés pour une interaction Sur le même principe N lignes r répétitions na modalités de X nb modalité de Y

Construction du Test des Variances Considérons le rapport des variances Fc est défini comme le nombre de FISHER calculé avec = Variance estimée du paramètre et = Variance estimée du processsus ( sans les effets des paramètres)

Moyenne du Plan Dispersion processus = résidu Effet de A Variance S1 Variance S2

Le Test consiste à choisir entre deux hypothèses Hypothèse H 0 : Fc = 1 => Variances égales. Hypothèse H 1 : Fc # 1 => Variances différentes. Pratiquement le Test compare : la valeur de Fc (calculé) à la valeur de Ft (tabulé), obtenue par lecture de la table de FISHER - SNEDECOR en fonction du seuil de signification et du nombre de degrés de liberté des échantillons.

Le Paramètre n'est pas influent si : Fc < Ft La différence des Variances n'est pas significative. Le paramètre est influent si : Fc > Ft La différence des Variances est significative. DECISIONS

Table de Fisher Snedecor TEST DE FISHER-SNEDECOR 3 variables en entrée = Ddl du paramètre = Ddl du résidu = Risque de se tromper

DDL des facteurs (Paramètres ou interactions) DDL Intervalle de confiance à 1% et 5% résidu 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0, , , , , , ,5198,4919,0099,0019,1699,1719,2599,25 19,3099,30 310,1334,129,5530,819,2829,469,1228,71 9,0128,24 47,7121,206,9418,006,5916,696,3915,98 6,2615,52 56,6116,265,7913,275,4112,065,1911,39 5,0510,97 65,9913,745,1410,914,769,784,539,15 4,398,75 75,5912,254,749,554,358,454,127,86 3,977,45 85,3211,264,768,654,077,593,847,01 3,696,63 95,1210,564,268,023,866,993,636,42 3,486,06 104,9610,044,107,563,716,553,485,99 3,335,64 114,849,653,987,203,596,223,365,67 3,205,32 124,759,333,886,933,495,953,265,41 3,115,06 134,679,073,806,703,415,743,185,20 3,024,86 144,608,863,746,513,245,563,115,03 2,964,69 154,548,683,686,363,295,423,064,89 2,904,56 164,498,533,636,233,245,293,014,77 2,854,44 174,458,403,596,113,205,182,964,67 2,814,34 184,418,283,556,013,165,092,934,58 2,774,25 194,388,183,525,933,135,012,904,50 2,744,17 204,358,103,495,853,104,942,874,43 2,714,10 Infini 3,846,642,994,602,603,782,373,32 2,213,02 Table de Fisher Snedecor

TEST DE FISHER-SNEDECOR REMARQUE IMPORTANTE Les DDL du dénominateur seront ceux attribués au résidu lors de l'analyse de Variance. En pratique, il faut se réserver au moins 3 DDL pour le résidu. Table de Fisher Snedecor

Calcul de la variance d'un paramètre VARIANCE d'un paramètre = Somme des carrés des écarts ddl du paramètre

Calcul de la variance des residus Lorsque les résultats sont issus de l'expérience, le Résidu n'est pas connu au départ. L'approche TAGUCHI consiste à appréhender la variance du résidu par la relation : Somme carrée du Plan - Somme carrée des Facteurs = Somme carrée du Résidu.

Exercice EssaiInjection Culass e Altitude Temperatur e Resultats ,0 625

Tableau d'analyse de la variance ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1= I2= C C1= C2= A A1= A2= T T1= T2= IC I1C 1 = I1C 2 = I2C 1 = I2C 2 = Moyenne = 199,06 Resid u Plan

Moyenne du plan - ddl ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1= 1 I2= C C1= 1 C2= A A1= 1 A2= T T1= 1 T2= IC I1C 1 = 1 I1C 2 = I2C 1 = I2C 2 = Moyenne = 199,06 Resid u 10 Plan 15 nb essais - 1 nb modalites - 1 Produit des ddl des actions qui composent l'interaction ddl du plan - somme des ddl des facteurs et des interactions

Effet des facteurs Effet de X au niveau i = moyenne des sorties ou X est au niveau i - moyenne générale des sorties Moyenne générale 199,06 ParamètreICAT niveau Moyenne 208,25189,87190,5207, ,125199,875198,2 Effet9,19-9,19-8,568, ,062,06 5 0, ,

Interactions Xi.Yj = moyenne des sorties des essais ou X est au niveau i Y au niveau j - (moyenne générale+Effet de X au niveau i+Effet de Y au niveau j) Moyenne générale199,06 Facteur1I niveau12 Effets9,19-9,19 Facteur2CCCC niveau1212 Effet-8,568,56-8,568,56 moyenne203,75212,75177,25202,5 Interaction4,06-4,06 4,

Analyse de la variance ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1= 1 I2= C C1= 1 C2= A A1= 1 A2= T T1= 1 T2= IC I1C 1 = 1 I1C 2 = I2C 1 = I2C 2 = Moyenne = 199,06 Resid u 10 Plan 15 ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1=9,18 1 I2=-9,18 C C1=-8,56 1 C2=8,56 A A1=-2,06 1 A2=2,06 T T1=0,81 1 T2=-0,81 IC I1C 1 =4,06 1 I1C 2 =-4,06 I2C 1 =-4,06 I2C 2 =4,06 Moyenne = 199,06 Resid u 88,6210 Plan 2954,9315

Somme des carrés Plan Somme des écarts à la moyenne ² de tous les résultats du Plan. Paramètre et interaction Somme des effets moyens carre * Nb de résultats par modalité ou combinaison dans le cas des interactions Résidu S² TOTAL - S² Paramètres & Interactions

Somme des carrés ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1=9,18 1 I2=-9,18 C C1=-8,56 1 C2=8,56 A A1=-2,06 1 A2=2,06 T T1=0,81 1 T2=-0,81 IC I1C 1 =4,06 1 I1C 2 =-4,06 I2C 1 =-4,06 I2C 2 =4,06 Moyenne = 199,06 Resid u 10 Plan 15 ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1=9, ,561 I2=-9,18 C C1=-8, ,061 C2=8,56 A A1=-2,06 68,061 A2=2,06 T T1=0,81 10,561 T2=-0,81 IC I1C 1 =4,06 264,061 I1C 2 =-4,06 I2C 1 =-4,06 I2C 2 =4,06 Moyenne = 199,06 Resid u 88,6210 Plan 2954,9315 8*2*(9, ,18 2 )/2 8*2*(4, , , ,06 2 )/(2*2) (( ,1) 2 + ( ,1) 2 + ( ,1) 2 + ( ,1) ( ,1) 2 + ( ,1) 2 ) ( (1350, ,06+68,06+10,56+264,06)

Variance Residu S² I / DDL I S²r / DDLr Parametre I

Calcul de la variance d'un paramètre ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1=9, ,561 I2=-9,18 C C1=-8, ,061 C2=8,56 A A1=-2,06 68,061 A2=2,06 T T1=0,81 10,561 T2=-0,81 IC I1C 1 =4,06 264,061 I1C 2 =-4,06 I2C 1 =-4,06 I2C 2 =4,06 Moyenne = 199,06 Resid u 88,6210 Plan 2954,9315 ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1=9, ,561 I2=-9,18 C C1=-8, ,061 C2=8,56 A A1=-2,06 68,061 A2=2,06 T T1=0,81 10,561 T2=-0,81 IC I1C 1 =4,06 264,061 I1C 2 =-4,06 I2C 1 =-4,06 I2C 2 =4,06 Moyenne = 199,06 Resid u 88,62108,862 Plan 2954,9315

Nombre de fisher calculé Fc( I ) V I / Vr

Nombre de fisher ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1=9, ,561 I2=-9,18 C C1=-8, ,061 C2=8,56 A A1=-2,06 68,061 A2=2,06 T T1=0,81 10,561 T2=-0,81 IC I1C 1 =4,06 264,061 I1C 2 =-4,06 I2C 1 =-4,06 I2C 2 =4,06 Moyenne = 199,06 Resid u 88,62108,862 Plan 2954,9315 ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1=9, , , I2=-9,18 C C1=-8, , , C2=8,56 A A1=-2,06 68,061 7, A2=2,06 T T1=0,81 10,561 1, T2=-0,81 IC I1C 1 =4,06 264,061 29, I1C 2 =-4,06 I2C 1 =-4,06 I2C 2 =4,06 Moyenne = 199,06 Resid u 88,62108,862 Plan 2954, /8,86 2

Table de fisher v1v2 DDL du paramètre (numérateur) DDL du résidu (dénominateur) (3 variables d'entrée)  Risque de se tromper

Table de fisher DDL des facteurs (Paramètres ou interactions) DDL Intervalle de confiance à 1% et 5% résidu 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0, , , , , , ,5198,4919,0099,0019,1699,1719,2599,2519,30 99,30 310,1334,129,5530,819,2829,469,1228,719,01 28,24 47,7121,206,9418,006,5916,696,3915,986,26 15,52 56,6116,265,7913,275,4112,065,1911,395,05 10,97 65,9913,745,1410,914,769,784,539,154,39 8,75 75,5912,254,749,554,358,454,127,863,97 7,45 85,3211,264,768,654,077,593,847,013,69 6,63 95,1210,564,268,023,866,993,636,423,48 6,06 104,9610,044,107,563,716,553,485,993,33 5,64 114,849,653,987,203,596,223,365,673,20 5,32 124,759,333,886,933,495,953,265,413,11 5,06 134,679,073,806,703,415,743,185,203,02 4,86 144,608,863,746,513,245,563,115,032,96 4,69 154,548,683,686,363,295,423,064,892,90 4,56 164,498,533,636,233,245,293,014,772,85 4,44 174,458,403,596,113,205,182,964,672,81 4,34 184,418,283,556,013,165,092,934,582,77 4,25 194,388,183,525,933,135,012,904,502,74 4,17 204,358,103,495,853,104,942,874,432,71 4,10 Infini 3,846,642,994,602,603,782,373,322,21 3,02

Tableau d'analyse de la variance ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1=9, , , I2=-9,18 C C1=-8, , , C2=8,56 A A1=-2,06 68,061 7, A2=2,06 T T1=0,81 10,561 1, T2=-0,81 IC I1C 1 =4,06 264,061 29, I1C 2 =-4,06 I2C 1 =-4,06 I2C 2 =4,06 Moyenne = 199,06 Resid u 88,62108,862 Plan 2954,9315 ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1=9, ,561 4,96 152, I2=-9,18 C C1=-8, ,061 4,96 132, C2=8,56 A A1=-2,06 68,061 4,96 7, A2=2,06 T T1=0,81 10,561 4,96 1, T2=-0,81 IC I1C 1 =4,06 264,061 4,96 29, I1C 2 =-4,06 I2C 1 =-4,06 I2C 2 =4,06 Moyenne = 199,06 Resid u 88,62108,862 Plan 2954,9315

Pourcentage de contribution SOMME CARREE DU FACTEUR SOMME CARREE DU PLAN X 100

Pourcentage de contribution ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1=9, ,561 4,96 152, I2=-9,18 C C1=-8, ,061 4,96 132, C2=8,56 A A1=-2,06 68,061 4,96 7, A2=2,06 T T1=0,81 10,561 4,96 1, T2=-0,81 IC I1C 1 =4,06 264,061 4,96 29, I1C 2 =-4,06 I2C 1 =-4,06 I2C 2 =4,06 Moyenne = 199,06 Resid u 88,62108,862 Plan 2954,9315

Réponse ParametreEffet moyenSomme carrésddlvarianceFtFc%contrib I I1=9, ,561 4,96 152, , I2=-9,18 C C1=-8, ,061 4,96 132, , C2=8,56 A A1=-2,06 68,061 4,96 7, , A2=2,06 T T1=0,81 10,561 4,96 1, , T2=-0,81 IC I1C 1 =4,06 264,061 4,96 29, , I1C 2 =-4,06 I2C 1 =-4,06 I2C 2 =4,06 Moyenne = 199,06 Resid u 88,62108,862 Plan 2954, /2954,9 3 > < < < <

Le Pooling Certains paramètres peuvent avoir un effet négligeable. Il est alors intéressant de les inclure dans le résidu pour gagner sur le nombre de DDL du résidu. La variance du résidu augmente. (S²  et DDL résidu  ) Pour les Plans saturés au départ, l'analyse de Variance devient possible. Certains paramètres peuvent avoir un effet négligeable. Il est alors intéressant de les inclure dans le résidu pour gagner sur le nombre de DDL du résidu. La variance du résidu augmente. (S²  et DDL résidu  ) Pour les Plans saturés au départ, l'analyse de Variance devient possible.

Le Pooling Après regroupement (POOLING) Avant regroupement (POOLING)

Rapport Signal/bruit Permet de mettre en évidence les paramètres robustes insensibles aux variations extérieures (bruits) A un sens que s'il y a répétition(s) !

Rapport Signal/bruit Utilisation en Electronique Bruit Signal Ce rapport est max. quand B est petit = S B

Rapport Signal/bruit BRUIT Dispersion ( répétabilité de la combinaison) SIGNAL Performance moyenne de la modalité 2 12 Graphique Performance et dispersion 0 12 C'est la modalité 1 qui est robuste 12 Graphique signal/bruit Modalité 1 = S/B max 77 S/B 52

Rapport Signal/bruit Dans sa forme la plus simple le ratio S/B est le rapport entre : Dans sa forme la plus simple le ratio S/B est le rapport entre : Performance d'une Modalité (Signal) Dispersion de cette Modalité (Bruit)

Rapport Signal/bruit 3 formules utilisant la fonction log permettent de mettre en évidence la robustesse d'un paramètre suivant que l'objectif ciblé est un maxi, mini ou nominal. La combinaison optimale est toujours celle qui représente le rapport S/B le plus élevé quelle que soit la formule.

Rapport Signal/bruit ABC ESSAIS 1ESSAIS 2 S/B

Rapport Signal/bruit cycles 1000 cycles S/B GRAPHIQUE SIGNAL/BRUIT

Plans croisés Les PLANS CROISES permettent : de tester une combinaison de paramètres maitrisés robustes, insensibles aux bruits extérieurs, quelques soient leurs combinaisons. Les PLANS CROISES permettent : de tester une combinaison de paramètres maitrisés robustes, insensibles aux bruits extérieurs, quelques soient leurs combinaisons.

Plans croisés L8xL4 Facteurs maitrisés N° colonne123 paramètreICIC

Plans croisés L8xL4 Bruits Extérieurs 2T A

Plans croisés L8xL4 N° colonne12 paramètreIC T A