CHAINES DE COTES B. ANSELMETTI Septembre 2015

PLAN DU COURS Démarche chaîne de cotes Cotation des jonctions Chaine de cotes 1D Influence des défauts angulaires Jonctions avec 2 cylindres Analyse de tolérance Cumul probabiliste des tolérances

C’est entre ces 2 surfaces gauches qu’il faut un jeu.

MISE EN POSITION DU COLLECTEUR A Liaison primaire Liaison secondaire Liaison tertiaire

MISE EN POSITION DU COLLECTEUR A C Rainure B A modifier pour montrer la liaison

EXEMPLE DE MISES EN POSITION turbo collecteur culasse platine carter pot distance mini Boîte de vitesses béquille

Relation linéaire continue par morceaux (présence de min et de max) CHAINE DE COTES 3D Relation linéaire continue par morceaux (présence de min et de max) Résultante pire des cas Résultante probabiliste dist mini = dist nominale – S knom.jeunom j - min (S ki.ti) -5,77mm 4mm ) dist mini = dist nominale – (   jeu défavorable

PLAN DU COURS Démarche chaîne de cotes Cotation des jonctions Chaine de cotes 1D Influence des défauts angulaires Jonctions avec 2 cylindres Analyse de tolérance Cumul probabiliste

RECHERCHE DES EXIGENCES DANS LES JONCTIONS Les exigences dans les jonctions sont données par le tableau de mise en position Nature des surfaces Pièce ou bloc : Repère : Etat : Auteur : Embout e 1 Martin 4 trous parallèles Plan Cylindre Nature des interfaces A e B e C e jeu vis M4 serrage surface type interface surface type contact jeu Plan Cylindre 4 taraudages D c E c F c Primaire Secondaire Tertiaire

Il faut respecter la condition : gap  gap maxi. GAP DANS UNE LIAISON PRIMAIRE Liaison surfacique Le gap est la distance maxi entre deux surfaces lorsqu'elles sont en contact. gap t1a Si le gap est trop grand : - déformation de la pièce lors de l'assemblage - fuite - usure (s'il y a un mouvement relatif) t1b Il faut respecter la condition : gap  gap maxi. ex : t1a + t1b  0,04. Gap = somme des tolérances de forme Gap = t1a + t1b

Gap secondaire : Somme des tolérances d’orientation RESULTANTE DES EXIGENCES DE JONCTION Gap secondaire : Somme des tolérances d’orientation Avec serrage Avec jeu défavorable Avec jeu favorable t1a A t1a A t1a A a a a a gap maxi gap maxi gap maxi a b b E D b E t1b D t1b D t1b A A A D D D L L t1a + t1b £ gap t1a + t1b + JM.L/E£ gap t1a + t1b - Jm.L/E£ gap JM = Jeu maxi au  Jm = Jeu mini au  Les efforts "rapprochent" toujours les surfaces Les efforts peuvent "écarter" les surfaces.

JEU DANS UNE LIAISON PRIMAIRE Liaison ajustement avec jeu Le jeu mini est le double de la distance mini entre les surfaces d’une liaison. Distance mini E E Si le jeu est trop petit : - impossibilité d'assemblage, - lubrification insuffisante, - risque de grippage en cas de pollution. Si le jeu est trop grand : - manque de précision du guidage, - fuite, - bruit, - laminage des surfaces de contact. Æb1±t1b/2 Æa1±t1a/2 Arbre (a) Bâti (b) Généralement, on a qu’une exigence de jeu mini. Le jeu maxi est indirectement imposé par une exigence de précision du guidage Il faut respecter la condition : jeu  jeu mini. ex : jeu  0,02 Jeu mini = b1 - a1 - (t1a+t1b)/2 Jeu maxi = b1 - a1 + (t1a+t1b)/2

JEU DANS UNE LIAISON SECONDAIRE OU TERTIAIRE Liaison ajustement avec jeu E Bâti (b) Arbre (a) Æte t2a M A Le jeu mini est le double de la distance mini entre deux surfaces, tout en maintenant le contact primaire Æa1±t1a/2 Æts  t2b M D E Æb1±t1b/2 Si le jeu est trop petit : - il est impossible de plaquer l’appui plan distance mni A D Il faut respecter la condition : jeu  jeu mini. ex : jeu  0,02 b1-a1 - (t1a/2+t2a+t1b/2+t2b)  jeu mini Différence des diamètres des états virtuels au maximum de matière

SERRAGE DANS UNE LIAISON PRIMAIRE Le serrage dans une liaison est la différence des diamètres des cylindres extérieurs matière E Æa1±t1a/2 Æb1±t1b/2 serrage =  arbre -  alésage (positif) Arbre (a) Bâti (b) Si le serrage est trop fort : - impossibilité d'assemblage, - coût d'assemblage, - détérioration de la pièce, - contraintes internes trop élevées. Si le serrage est trop faible : - la pièce n'est pas tenue Il faut respecter les deux conditions : serrage mini  serrage  serrage maxi Ex : serrage mini = 0,01 ; serrage maxi = 0,04 a1 - b1 + (t1a+t1b)/2 £ serrage maxi a1 - b1 - (t1a+t1b)/2  serrage mini serrage

MONTABILITE DES VIS Dvis a b B E Æa1±t1a/2 distance mini Æ 0 A B Æ t1b Chaque vis est centrée dans son trou taraudé avec un écart de localisation du taraudage dans la zone projetée. Les trous de passage doivent être assez gros pour laisser passer le corps de la vis de taille maxi. Dvis Dmaxi du corps de la vis B E Æa1±t1a/2 distance mini E Æ 0 M A B a b Æ t1b P D E Systèmes de références de la jonction entre les deux pièces Hypothèse : les axes nominaux sont identiques. Le jeu est le double de la distance mini Jeu mini = a1 - t1a/2 - Dvis - t1b (Convient pour un nombre quelconque de trous). Diamètre mini trous 16

MONTABILITE DE BOULONS Les trous doivent être assez gros pour laisser passer le corps de la vis de taille maxi, avec des écarts de localisation des trous. Dvis Dmaxi du corps de la vis B E Distance mini Æa1±t1a/2 E Æ 0 M A B a Æb1±t1b/2 Distance mini E b Æ 0 M D E Systèmes de références de la jonction entre les deux pièces Hypothèse : les axes nominaux sont identiques. Le jeu mini est le double de la distance mini (Convient pour un nombre quelconque de trous). Jeu mini = a1 - t1a/2 - Dvis Jeu mini = b1 - t1b/2 - Dvis Diamètre mini trous 17

a b MONTABILITE DE PIONS SERRES B E Æa1±t1a/2 Æ 0 A B Æb1±t1b/2 Æ t2b Pion Dtd/2 E Æa1±t1a/2 E Distance mini Æ 0 M A B a Exigences de serrage mini et maxi Æb1±t1b/2 E b Æ t2b P D E Hypothèse : les axes nominaux sont identiques Serrage mini = D-b1- (td+t1b)/2 Serrage maxi = D-b1+(td+t1b)/2 (Convient pour un nombre quelconque de pions). Jeu mini = a1-t1a/2 - D - td/2- t2b 18

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PRINCIPE DE LA COTATION FONCTIONNELLE Il s’agit de déterminer les spécifications ISO à imposer sur les pièces pour respecter l’exigence étudiée. L’exigence fonctionnelle est imposée entre des surfaces fonctionnelles terminales selon une direction d'analyse pour une configuration donnée du mécanisme.

METHODE CLIC UNIDIRECTIONNELLE L'exigence est définie avec les normes ISO par une localisation de la surface terminale de l'exigence par rapport à un système de références Références B surface terminale A direction d'analyse 70 0,4 A B valeur théorique tolérance

RAPPEL DE LA COTATION DES JONCTIONS (Cotation des jonctions déjà obtenues par la cotation type) D A E E B B Æb1±t2b/2 E t3e A Æe1±t1e/2 Æp1±t1p/2 Æt3b D M E t1b Æe2±t4e/2 E D A Æt5e A M t2e D t2p A B

IDENTIFICATION DES PIECES INFLUENTES 70 B A 0,4 A B direction d'analyse bleu rouge rouge bleu Méthode : - supprimer "mentalement" toutes les pièces en conservant la position relative de la surface terminale par rapport au système de références (on suppose que les pièces sont magnétiques et qu'il n'y a aucun effort extérieur, donc elles tiennent sans aucun vissage). - représenter en bleu la surface terminale et de référence perpendiculaires à la direction d'analyse. - représenter en rouge et les surfaces de jonction perpendiculaires à la direction d'analyse.

CHAINE DE COTES Exigence à respecter 70 direction d'analyse bleu bleu 0,4 A B direction d'analyse bleu bleu rouge b e p Règles : Un maillon doit appartenir à une seule pièce Il n’y a qu’un seule maillon par pièce (pour une chaîne de cotes 1D) La chaine de cote passe d’une surface terminale à l’autre, sans interruption en suivant la chaîne de cotes.

COTATION EN LOCALISATION 70 COTATION EN LOCALISATION B A 0,4 A B entretoise Sur chaque dessin - Mettre en place des cotes encadrées - localiser la surface d'appui par rapport au système de références principal A B. pointe base D E E A B B Æb1±t2b/2 E t3e A Æe1±t1e/2 Æp1±t1p/2 Æt3b D M E t1b Æe2±t4e/2 E D A Æt5e A M t2e D t2p A e3 p2 b2 B t3p A B t4b A B t6e A B On supprime les références à droite de la référence perpendiculaire à la direction d'analyse Remarque : CLIC : Cotation en Localisation avec Influence des Contacts

CONDITION A RESPECTER Calcul de la résultante e3 p2 b2 70 A B 0,4 base entretoise pointe bleu rouge CONDITION A RESPECTER Calcul de la résultante D A E E B B Æb1±t2b/2 E t3e A Æe1±t1e/2 Æp1±t1p/2 Æt3b D M E p2 A B t3p t1b Æe2±t4e/2 E D A b2 A B t4b e3 A t6e Æt5e A M t2e D t2p A B Il faut : b2 + e3 + p2 = 70 et : t4b + t6e + t3p  0,4

(surfaces terminales) CAS DE LIAISONS AVEC JEU 70 0,4 A B B liaison avec jeu A La chaîne de cotes passe par le plan médian (ou l'axe). 38 bleu (surfaces terminales) 0,4 A B rouge (jonction) B 32 A

CAS DE LIAISONS AVEC JEU X p2 t2p A B L jeu /2 p1 ± t1p/2 E A X maxi B e1 ± t1e/2 E E t2e L A B jeu /2 B X mini e2 A jeu /2 Résultante moyenne : p2 + e2 Jeu maxi (au minimum de matière) : e1 - p1 + t1e/2 + t2e + t1p/2 X maxi = (p2 + e2) + t2p/2 + jeu maxi/2 X mini = (p2 + e2) - t2p/2 - jeu maxi/2

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EXIGENCE ET BRANCHE DE MISE EN POSITION Exigence de distance entre 2 surfaces terminales. Exigence Surfaces terminales Si le modèle CAO est construit au nominal centré, la valeur nominale de la résultante peut être mesurée sur le modèle en 3D. support 2 Branches de mise en position base Le support est la pièce dans laquelle converge les 2 branches de mise en position.

RESULTANTE UNIDIRECTIONNELLE Calcul de la résultante des valeurs nominales et du cumul des tolérances dans la direction d'analyse f. Exigence X = 0,3±0,2 t1a A B C t1b A B C a1 b1 Direction f d'analyse a b t1c A B C Bleu c t1d A B C c1 d Rouge d1 Résultante : X nominal = d1 – a1 - b1 – c1 Variation de X = t1a + t1b + t1c + t1d Résultante mini et maxi Xmini = X nominal - (t1a + t1b + t1c + t1d) /2 ≥ 0,1 Xmaxi = X nominal + (t1a + t1b + t1c + t1d) /2 ≤ 0,5 Conditions à respecter

INFLUENCE DES DEFAUTS ANGULAIRES Exigence maxi Pièces terminales dFa dGb F G a a b b c c support support d d Pièces intermédiaires dFc dFd a a b b c c support Référence choisie sur le support support d d X maxi = X nominal + dFa + dFc + dFd + dGb ≤ Exigence maxi

INFLUENCE D'UNE LIAISON PLANE Détermination de l'influence des défauts de la pièce A sur le déplacement du point F. dFa t1a A F dFa b F t2a A a 30 A A Tolérances Localisation tL Orientation to Hypothèse de la méthode des droites d'analyse : La référence de b reste dans les zones de tolérance Etendue E Distance L F dFa Surface nominale Droite d’analyse t1a t2a Déplacement maxi dFa = 0.5  t1a + t2a.L/E Variation : t1a + 2.t2a.L/E

INFLUENCE D'UNE LIAISON PLANE Si la droite d'analyse coupe le plan, il n'y a pas d'effet angulaire => pas de spécification d'orientation. dFa b t1a A F a 30 A A dFa dFa t2a A F b F L a a 30 E A A

Point d'analyse secondaire dFa dS dFa dF j F dP F b b F' dS a dP a Point d'analyse primaire E L A A t3a A B 10 dF = dP.sin j + dS.cos j t1a A t2a A dP = t1a/2 + t2a.L/E dS = t3a/2 B 30 A

INFLUENCE D'UNE LIAISON CYLINDRIQUE AVEC JEU Calcul de l'écart de position e à l'extrémité de l'arbre, en M. A Æ t2b 50 L b1t1b/2 Æ 0 Bâti a1t1a/2 Arbre Æ t A L A Etat virtuel en localisation au mini matière DVL = (b1+t1b/2+t2b) Etat virtuel en orientation au mini matière DVo = (b1+t1b/2) Etat virtuel au mini matière de l'arbre dm = a1-t1a/2 Jeu virtuel en localisation JVL = DVL – dm Jeu virtuel en orientation JVo = DVo – dm b1+t1b/2+t2b E L b1+t1b/2 F a dFb JVL/2 a = JVo / E 50 dFb = JVL /2 + L. a b a1-t1a/2 Influence de la liaison en F : A dFb= JVL/2 + JVO.L./ E

LIAISON AVEC DEUX PIONS AVEC JEU Jeu maxi JM Carter pion p1±t1p/2 Bâti Déplacement maxi de l'axe F d'un trou dans la direction f par rapport au bâti - Si la droite d'analyse (F,f) coupe le segment PQ, le déplacement est une translation. - Sinon, le carter pivote autour de la liaison F q f f j F Point d'intersection de la droite d'analyse avec la médiatrice du segment PQ. P Q jeu JM P Q Cos q 2.Cos j dF = JM. dF = JM/2.

CAS PARTICULIER Droite d'analyse perpendiculaire à PQ : f F jeu JM P Q dF = JM.L/E

LIAISON AVEC DEUX PIONS AVEC JEU Carter pion p1±t1p/2 Bâti 4x Cotation du carter Æ t A B L Cotation du bâti f 2x Æb1±t1b/2 E D x Æ t2b P D P 2x Æc1±t1c/2 E E Æ 0 M A B E Calcul du jeu maxi Serrage du pion Maxi = (p1–b1) +(t1b+t1e)/2) Mini = (p1–b1) - (t1b+t1e)/2 Jeu maxi : JM = (c1 – p1 ) + (t1c+t1p+t2b)/2

AMELIORATION DE LA REGLE QUICK_GPS Si la droite d'analyse ne coupe pas la jonction primaire, il faut ajouter une spécification d'orientation. Collision Droite d'analyse Pièce b Jonction Principale (A B C) Pièce a Droite d'analyse Y Affleurement X Pièce c

TRANSFERT D'UNE RECTITUDE EN ZONE COMMUNE Ær CZ M Æt1b M C D L Æt1c M A B L E E Æ0 M C Æ0 M A C Æb1±tb/2 Æc1±tc/2 D mini Bâti A D mini D B Carter ØD d Ød La réduction de diamètre correspond à la rectitude sur le mécanisme assemblé : r Eb L Ec Eb Eb+L Ec Ec+L r = D- d = d. Max( ; ) Avec d = t1b+t1c + Jeu maxi c/b

TRANSFERT D'UNE RECTITUDE EN ZONE COMMUNE Ær CZ Æt1b C D L Æt1c A B L E E Æt2b C Æt2c A C Æb1±tb/2 Æc1±tc/2 Bâti A D B Carter Droite d'analyse Droite d'analyse (c) f (d) axe du carter f axe CD Fc axe du bâti F'c axe du carter F'e r Fe axe de l'embase -f -f axe CD r' Ec Ee L L JM : jeu maxi entre les 2 pièces Eb Eb+L Ec Ec+L r= max{ [d(Fc, f ) + d(Fb,-f )]; [d(F'c, f ) + d(F'b,-f )]} Eb Eb+L Ec Ec+L r= max{ [(t1c+JM)/2 + (t1b/2 + t2b.L/Eb)] ; [t1b/2 + (JM+ t1c)/2 + t2c.L/Ec)] }

SYNTHESE 3 types d'exigences Exigence par rapport à la base Exigence de distance entre 2 surfaces terminales. Exigence de rectitude en zone commune Ær CZ t A B support base B X A dFc dFd dFa dFb dF dGc dGd dGa dGb dG d dFc dFd dFa dFb dF dF2 dF1 Xmaxi = X nom + dF +dG r = k1.dF1 + k2.dF2

APPLICATION Déterminer le déplacement du point F par rapport au bâti Collecteur (c) Bâti (b) Pôt (p) dF F dF= dFp+dFc+dFb

APPLICATION Eb Collecteur (c) Ec Bâti (b) Lb Pôt (p) Lc dF F Pôt (p) t1c t2c Pôt (p) Lc dFc =t1c/2 + t2c.Lc/Ec t3p dFp =t3p/2

APPLICATION Eb Les pions sont serrés dans le collecteur Collecteur (c) Bâti (b) Lc Lb dF Pôt (p) F Øt1c 2x Vue de face Vue de dessus t1b Lb2 Eb2 j = atan ( ) Bâti (b) Lb2 Eb2 q Cos q 2.Cos j Bâti (b) dFb2 = JM. Lb JM = jeu maxi pion/trou au minimum de matière dFb =t1b.Lb/Eb

LIAISON AVEC DEUX PIONS AVEC JEU Jeu maxi JM Carter pion p1±t1p/2 Bâti Déplacement maxi de l'axe F d'un trou dans la direction f par rapport au bâti - Si la droite d'analyse (F,f) coupe le segment PQ, le déplacement est une translation. - Sinon, le carter pivote autour de la liaison F q f f j F Point d'intersection de la droite d'analyse avec la médiatrice du segment PQ. P Q jeu JM P Q Cos q 2.Cos j dF = JM. dF = JM/2.

APPLICATION Relation donnant le déplacement du point F par rapport au bâti en fonction des tolérances Collecteur (c) Bâti (b) Pôt (p) dF F dF= dFp+dFc+dFb dFp =t3p/2 dFc =t1c/2 + t2c.Lc/Ec dFb =t1b.Lb/Eb Cos q 2.Cos j dFb2 = JM.

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ANALYSE DES TOLERANCES Lorsque les valeurs nominales sont connues, les inéquations sont de la forme : X nominal + S ki.ti ≤ Exigence maxi X nominal - S ki.ti  Exigence mini Les tolérances ti sont choisies par le concepteur en relation avec la production. Il faut vérifier que le cumul des tolérances respecte l'exigence Sinon, il faut soit : Modifier le nominal réduire les tolérances en acceptant une augmentation du coût négocier l’exigence en acceptant un risque supplémentaire.

REPARTITION UNIFORME DES TOLERANCES Lorsque les valeurs nominales sont connues, les inéquations sont de la forme : S ki.ti ≤ IT Résolution du système avec ki=1 Nombre de tolérances dans la condition (tenir compte des coefficients n=Ski) Etape 1 : Etat initial des inéquations ta + tb + tc £ 0,6 n1 = 3 t1 = 0,2 ta + td £ 0,8 n2 = 2 t2 = 0,4 tc + tf + tg £ 0,3 n3 = 3 t3 = 0,1 Calculer la tolérance maxi = Sti/n Chercher la plus petite tolérance tc = tf = tg = 0,1 Les valeurs de la ligne critique sont imposées. Supprimer la ligne traitée et remplacer les valeurs connues dans le tableau et poursuivre par itérations. Etape 2 avec tc = tf = tg = 0,1 ta + tb £ 0,5 n1 = 2 t1 = 0,25 ta + td £ 0,8 n2 = 2 t2 = 0,4 ta = tb = 0,25 Etape 3 avec ta = tb = 0,25 td £ 0,55 n2 = 1 t2 = 0,55 td = 0,55

REPARTITION ISO CAPABILITE D=6s REPARTITION ISO CAPABILITE Il faut maximiser les Cam. IT D=6s = Dispersion instantanée ou D=tolérance mini réalisable. Cam = D ta = 0,2 Il faut connaître la dispersion D = 6 si de chaque moyen pour chaque surface : Exemple : D b =0,018 D f = D g =0,06 D d =0,18 D a = D c =0,12 Il faut déterminer les tolérances ti telles que les capabilités ti D i Ci = soient les plus grands possibles. Etat initial des inéquations ta + tb + tc £ 0,6 ta + td £ 0,8 tc + tf + tg £ 0,3 Chercher la plus petite capabilité Après changement de variables D a.Ca + D b.Cb + D c.Cc £ 0,6 n1 = D a + D b + D c = 0,258 C1 = 2,32 D a.Ca + D d.Cd £ 0,8 n2 = D a + D d = 0,30 C2 = 2,66 D c.Cc + D f.Cf + D g.Cg £ 0,3 n3 = D c + D f + D g = 0,24 C3 = 1,25 Cc = Cf =Cg = 1,25 (si inférieur à 1, ce n'est pas réalisable) tc = D c.Cc=0,121,25= 0,15 tf = tg = D f.Cf = 0,06  1,25= 0,075 Poursuivre par itération en éliminant les valeurs connues, du système d'inéquations

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ANALYSE DE L'EXIGENCE Caractéristique à mesurer pour l'exigence de montabilité Besoin Jeu Distance mini Montabilité => jeu mini 0,02 Bruit => jeu maxi Pour chaque position angulaire de l'arbre, il faut maximiser la distance mini entre les surfaces. La condition est : min (distance mini)  0,02/2 Problème d'identification : Quelles sont les caractéristiques à mesurer sur l'arbre et sur l'alésage pour connaître la valeur du jeu ? Quelle est la valeur du jeu mini acceptable ? Quelle est la caractéristique significative pour limiter le bruit ?

CARACTERISTIQUES SIMPLIFIEES D maxi D mini d maxi d mini Probabilité d'avoir dmaxi et D mini du même côté ? D maxi d mini d maxi Au cours de la rotation, on est sûr d'avoir dmaxi en face de D mini D mini

ETUDE DU RISQUE AVEC DISTRIBUTION UNIFORME Point correspondant au diamètre maxi mesuré sur l'arbre et au diamètre mini mesuré dans l'alésage Jeu maxi "0,2" 30,1 X Alésage Intervalle de tolérance Hypothèse : aucune pièce hors tolérances ! 30,02 29,98 Jeu mini "0,02" Avec une hypothèse de probabilité uniforme sur le diamètre maxi de l'arbre et du diamètre mini de l'alésage, la proportion de mécanismes avec un jeu ≤ 0,02 est égale au rapport de l'aire du triangle jaune / aire totale du rectangle. Probabilité = 0,02x0,02/2 / 0,1 x 0, 1 = 2% 30 29,9 30 Jeu mini "0" Arbre

ETUDE DU RISQUE AVEC DISTRIBUTIONS QUELCONQUES Dmaxi dmini Dmini 30,1 Alésage Intervalle de tolérance 30,02 Jeu mini "0,02" 30 29,9 29,98 30 La proportion doit être estimée avec un calcul intégral. Arbre dmaxi d mini d maxi

RISQUE DE NON MONTABILITE Courbe définie par un expert en fonction des conditions d'utilisation du produit (température, charge, pollution des huiles…) Risque de grippage Ce risque correspond sensiblement au risque de grippage de la liaison au cours de la vie du véhicule, soit à la proportion de clients mécontents. 100% 0,005 r3 r2 r1 jeu 0,04 0% 0,01 0,03 0,02 Arbre Alésage 30 29,9 30,1 Jeu mini "0" Intervalle de tolérance 30,02 29,98 Jeu mini 0,01 0,02 0,03 p1 Proportion p2 p3 Risque de non montabilité en usine (risque client =0) Le risque client est le produit de la proportion de pièces dans la zone par le risque. R = r1.p1 + r2.p2+r3.p3…

MAITRISE DU RISQUE Il faut ajuster la limite de la zone de tolérance pour faire diminuer la proportion d'assemblages à risque 30,1 30,1 Intervalle de tolérance Alésage Proportion Alésage p1 p2 30,02 30,02 p3 30 30 Jeu mini "0" 29,98 29,9 29,98 30 Arbre Arbre En diminuant le risque de bruit, on augmente le risque de grippage !

COMPROMIS RISQUE / TOLERANCE Risque de bruit 100% 0,2 0% Risque de non montabilité 0,005 0,04 0% 100% Jeu mini = Dmini – d maxi IT D + IT d 0,08 Jeu = Dmaxi – d mini

COMPROMIS RISQUE / TOLERANCE En acceptant un risque, on peut augmenter les tolérances. Hiérarchisation criticité 1 3 Risque de grippage IT D + IT d r1 r2 Risque de bruit 100% 0,2 0% 0,08 0,04 Risque "0" IT D + IT d L'optimisation des tolérances impose de modifier les nominaux. Pour faire une réelle optimisation, il faudrait établir le coût de la défaillance (coût de la réparation, perte d'image, perte de ventes….)

ROLE D'UNE TOLERANCE Tolérance => pièce OK ou KO 29,998 Modèle Pièce réelle Tolérance sur l'arbre 29,9 30 Ø X 29,998 J'ai une pièce dans la main avec dmaxi à la limite de la zone de tolérance. Quel est le risque pour le client qui achètera cette pièce ? Arbre Alésage 30 29,9 30,1 Jeu mini "0" Intervalle de tolérance 30,02 29,98 Jeu mini 0,01 0,02 0,03 p1 Proportion p2 p3

ROLE D'UNE TOLERANCE Tolérance => pièce OK ou KO 29,998 Modèle Pièce réelle Tolérance sur l'arbre 29,9 30 Ø X 29,998 Le risque est égal au rapport des longueurs. Le risque d'avoir un jeu inférieur à 0,02 est 20%. J'ai une pièce dans la main avec dmaxi à la limite de la zone de tolérance. Quel est le risque pour le client qui achètera cette pièce ? Arbre Alésage 30 29,9 30,1 Jeu mini "0" Intervalle de tolérance 30,02 29,98 Jeu mini 0,01 0,02 0,03 p1 Proportion p2 p3

TOLERANCE SECURISÉE 29,9 29,99 29,9 30,1 30,1 Alésage Alésage L'intervalle de tolérance au pire des cas pour avoir un jeu mini de 0,02 est : Dmini = 30,01, d maxi = 29,99 En acceptant un risque de 1/1000 pour le client, l'intervalle de tolérance est augmenté dé 4.10-5mm Pire des cas Probabiliste sécurisé 29,9 29,99 29,9 30,1 30,1 ~0,09 Alésage Alésage 0,00009 30,00996 = 30,01 à 4.10-5 près 30,01 Arbre Arbre Jeu mini "0,02" Jeu mini "0,02" 29,99904

METHODE PROBABILISTE En cotation fonctionnelle, il s'agit de faire un calcul prévisionnel. Quelle est la probabilité de monter une pièce dans un mécanisme avec une influence petite, moyenne ou grande sur l'exigence ? dF dFa dFb dFc dFd On ne sait pas quelle sera le décalage dû au défaut d'une pièce fabriquée à une date donnée dans le futur. 1/i Modèle de distribution Uniforme s = i/2 3 Influence i dFa dFa

CUMUM PROBABILISTE DES TOLERANCES S'il y a au moins 5 maillons avec les intervalles d'influence du même ordre de grandeur, la distribution résultante est normale. Il faut choisir un taux d'incident acceptable p.sx Résultante moyenne sx P=3 donne un risque de 0,13% Xmaxi Choix p=3 ia² ib² ic² id² ie² X nominal + p + + + +  Xmaxi (2 3) L'influence ia est la somme pondérée au pire des cas de toutes les tolérances de la pièce a ia = ta ou ia = (ta1 + ta2.L/E) ou ia = (ta1 + ta2.L/E). cos j + ta2 . sin j

LOI NORMALE F(p) donne la proportion d'individus contenue dans la population à gauche de la limite x + p.sx à gauche : F(p) à droite : 1-F(p) intérieur : 2F(p)-1 extérieur : 2 - 2F(p) P=F(p) p .sx -p .sx p .sx x x p 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 à gauche 0,9772 0,9938 0,9987 0,9998 0,999968 0,999997 1,000000 1,000000 1,000000 à droite 0,0228 0,0062 0,0013 2,3267E-04 3,1686E-05 3,4008E-06 2,8710E-07 1,9036E-08 9,9012E-10 intérieur 0,9545 0,9876 0,9973 0,9995 0,999937 0,999993 0,999999 1,000000 1,000000 extérieur 0,0455 0,0124 0,0027 0,0005 6,3372E-05 6,8016E-06 5,7421E-07 3,8073E-08 1,9802E-09

DISTRIBUTION DE LA RESULTANTE (a) 5 influences identiques (b) 1 influence 10 fois plus grande que les 4 autres (c) 2 influences 5 fois plus grandes que les 3 autres 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 6s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6s La distribution de la résultante est normale s’il y a au moins 5 pièces avec des influences du même ordre de grandeur Conclusion : les relations à utiliser sont : R moyen + psR  Rmaxi ou R moyen - ps R  Rmini. Le coefficient p peut être lu dans la table de la loi normale dès qu'il y a plus de 5 pièces dans la chaîne de cotes.

CHAINE DE COTES AVEC DEUX PIECES IDENTIQUES b c2 e C1 C2 A B Pièces identiques dk D Choix p=3 ia² ib² (2.ic) ² id² + ie² X nominal + p + + +  Xmaxi (2 3) Doublement de l'influence

INFLUENCE DU NOMBRE DE PIECES Pire des cas ta+tb+tc…. = 0,2 Probabiliste ta a b tb H tc c IT = 0,2 td d 3 ta² + tb² + tc² … = 0,2 5% 11% Gain 40% Gain 100% 0,105 0,077 t = IT*1,053/2 t = IT*1,115/3

SIMULATION PROBABILISTE p=3, q=3,46, décalage de t/4 pièce b Pièce a Résultante dR = 0,071 3.sR = 0,029 excursion pièce c da = 0,012 sa = = 0,004 0,022 6 a pièce d 0,099 0,047 IT = 0,2 0,1 pièce e pièce f dR + 3.sR =0.0995 La probabilité est vérifiée

SIMULATION p=3, q=3,46, décalage de 3t/8 Résultante (a) (b) (c) pièce b dR = 0,106 3.sR = 0,014 Pièce a pièce c da = 0,018 sa = = 0,002 0,011 a 6 pièce d 0,047 IT = 0,2 0,1 0,120 pièce e pièce f Probabilité : (¼)6 × 2 = 1/2000 Pour une chaîne de cotes sur 2000, plus de 50% des pièces seront hors tolérances ou => mises au point sur ces chaînes de cotes

ANALYSE DU RISQUE EN PROBABILISTE En choisissant P = 3, on a admis un risque de 0,13% de dépassement de l'exigence maxi. Ce risque correspond en fait à une situation rarissime que les lots fabriqués soient tous décalés dans le même sens. Par contre, lorsque cela arrive, beaucoup de mécanismes assemblés consécutivement risqueront d'être défaillants. Le défaut pourra être détecté assez rapidement. En pratique, de nombreux décalages de la moyenne sont stables et plus ou moins centrés. Il n'y a aucune raison que tous ces décalages migrent simultanément vers la même limite de leur zone de tolérance. Cela signifie que le problème sera sans doute détecté dès le lancement du produit. Le risque est donc que sur 1000 chaînes de cotes traitées en statistique dans un produit, 1,3 chaîne de cotes imposera le recentrage de la production sur une des pièces de la chaîne.

CALCUL DES TOLERANCES EN PROBABILISTE SECURISE Quel est le risque de défaillance du mécanisme avec un pièce à la limite de la tolérance ? x   psx Probabilité de non respect de l'exigence Résultante moyenne sx ta/2 Résultante maxi de b à f IT/2 IT = 0,2 ; n = 6 pièces, la répartition uniforme des tolérances pour respecter ces 6 conditions donne une tolérance de 0,041 contre 0,047 pour le calcul probabiliste simple. En probabiliste simple, le risque de non respect d'une exigence est plus important que 1/1000 en acceptant une pièce dans l'intervalle de tolérance !

DOMAINE D'EMPLOI DE LA METHODE PROBABILISTE La méthode peut s'appliquer dès que l'on a établi la chaîne de cotes au pire des cas et qu'il y a au moins 5 influences du même ordre de grandeur. Elle convient pour tous les types de chaînes de cotes, pour tous les types de production, y compris en travail unitaire. Elle est applicable en bureau d'étude, pour gagner plus de 40% sur les tolérances, sans aucun surcoût en production et contrôle.

COTATION STATISTIQUE SEMI QUADRATIQUE   m s=t/8 t/4 t Pour pouvoir faire cette hypothèse, il faut refuser tous les lots hors de l'intervalle de tolérance de réglage…. Il est indispensable de faire un suivi de production, afin de recentrer la distribution dans l'intervalle de tolérance et un contrôle de réception des lots.

SUIVI DE L'INERTIE DE LA PRODUCTION Une pièce isolée est acceptable si elle est dans l'intervalle de tolérance. Un lot est acceptable si l'inertie du lot est inférieure à l'inertie maxi. t La tolérance et les hypothèses de calcul de la chaîne de cotes permettent de calculer l'inertie maxi admissible Un réglage sera acceptable si l'inertie du lot de décalage d et d'écart type s est inférieure à l'inertie maxi :

CALCUL DE LA TOLERANCE EN SEMI-QUADRATIQUE Le cumul des écarts type donne la relation suivante :   Pour IT = 0,2 et n = 6 pièces, la tolérance est t = 0,094 Risque avec une pièce f à la limite de la zone de tolérance soit décalée de 0,094/2.   P=1,736 => 4% de risque que l'exigence ne soit pas respectée… Calcul semi quadratique sécurisé (p=3) :   La tolérance est 0,046 soit une valeur quasi identique au probabiliste….

RISQUE SANS SUIVI DE PRODUCTION (b) pièce b pièce c pièce d pièce e pièce f Pièce a ga = 0,023 sa = = 0,007 0,041 a 6 0,094 (c) Résultante gR = 0,141 3.sR = 0,057 IT = 0,2 0,199 0,1 Le résultat est inacceptable : C'est pourtant le modèle quadratique souvent employé en entreprise !

Calibre de contrôle fonctionnel CARACTERISTIQUE A MAITRISER Droite d'analyse H1 = a1+b1+c1+d1+e1 F1 F2 e Il faut mesurer a1 sur toutes les pièces pour calculer la moyenne et l'écart type en a1. e1 e2 d1 d2 d c1 c c2 H2 = a2+b2+c2+d2+e2 H1 H2 b1 b b2 Il faut mesurer a2 sur toutes les pièces pour calculer la moyenne et l'écart type en a2. a a1 a2 A Avec un effet angulaire, la caractéristique est à mesurer en dehors de la surface… (a) ed (b) Deux surfaces influentes R F1 ec d Calibre de contrôle fonctionnel F2 eb c M1, M2 b ea Pièce à contrôler Droite d'analyse a Droite d'analyse Marbre A

ANALYSE STATISTIQUE DES CARACTERISTIQUES Problème : la moyenne et l'écart type dépend du point…. pt 1 Ppk=1.04 LS = 29.5 LI = 29.3 pt 4 29.4 m=29.39 pt 3 Ppk=1.60 s=0.029 Ppk=1.14 LS = 29.5 LI = 29.3 LS = 29.5 LI = 29.3 0 défaut 29.4 m=29.42 29.4 m=29.43 s=0.016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 s=0.018 0 défaut 0 défauts pt 5 pt 2 sens d’usinage Ppk=0.39 Ppk=0.30 LS = 29.5 LI = 29.3 LS = 29.5 LI = 29.3 29.4 m=29.35 29.4 m=29.36 s=0.056 z s=0.056 8 défauts x 6 défauts y

SPECIFICATION STATISTIQUE DES CARACTERISTIQUES Tolérance => rebut d'une pièce Inertie maxi => refus d'un lot STI (t/6,92) Réglage ou STQ d 0,038 s  0,038 (t/8) t t/4 0,3 P A 12 40 P 20 b A L'inertie en tous les points de la pièce doit respecter l'inertie maxi. L'inertie de la pièce est la plus grande des inerties mesurées en différents points de la surface.

COMPARAISON Chaines de cotes simples avec 6 pièces et un IT = 0,2 sur l'exigence. Pire des cas 0,033 0,041 Probabiliste sécurisé 0,046 Semi-quadratique sécurisé +40% sans risque fournisseur Probabiliste 0,047 0,094 Semi-quadratique ou inertiel Doublement de la tolérance Mais impose un suivi statistique 0,024 Maxi 16% des pièces au-delà de l'intervalle probabiliste Avec un modèle semi-quadratique ou inertiel, la moyenne doit être dans un intervalle plus petit que l'intervalle au pire des cas. Le seul intérêt, c'est d'admettre quelques pièces hors limites de l'intervalle probabiliste, car on suppose que les autres pièces de la chaîne sont bien centrées.

CONCLUSION SUR LE SEMI-QUADRATIQUE OU INERTIEL Difficile et couteux à mettre en œuvre. Production de séries uniquement Chaînes de cotes purement unidirectionnelle (sans effet angulaire, ni covariance de défauts d'une même pièce). Le gain apparent est "en gros" le doublement de l'intervalle de tolérance par rapport à la méthode probabiliste. En réalité la condition de centrage de la production est assez sévère Coûts de suivi de production et de réception des lots important. Très difficile à faire Proposition d'exploiter ce bonus comme règle de dérogation "automatique"

REGLE DE DECISION Moins de 5 pièces : calcul au pire des cas => tolérance au pire des cas. Plus de 5 pièces : calcul probabiliste et semi-quadratique => tolérance en probabiliste => limite de dérogation exceptionnelle avec l'IT semi-quadratique. La marge non exploitée compense la non prise en compte de la méthode probabiliste sécurisée. Attention, la dérogation doit être exceptionnelle et ne s'applique que pour une pièce couteuse hors tolérance. La production doit être impérativement recentrée. La dérogation exploite le bonus laissé par l'espoir que toutes les productions sont centrées. Laisser une production décentrée est radicalement contraire à l'hypothèse de calcul. Cette dérogation est raisonnable à condition que l'on garantissent qu'il n'y a pas deux pièces qui exploitent le même bonus…

CONCLUSION Le modèle probabiliste peut être utilisé très largement, même sur des productions unitaires ou en petites séries. Le gain en tolérance est au moins de 40%, sans risque majeur et sans surcoût en production. Seul le bureau d'étude est impacté par cette hypothèse de calcul. Le seul "coût" par rapport au pire des cas est une formule de calcul avec une racine dans EXCEL ! Il faut recommander le modèle probabiliste dans les Bureaux d'études. t m s=t/8 Il faut se méfier des méthodes statistiques semi-quadratiques ou inertielles qui imposent un contrôle de réception des lots. En particulier, la caractéristique à mesurer pour calculer la moyenne et l'écart type est souvent difficile à déterminer. t/4 t

CALCUL DE LA RESULTANTE influence de la pièce b Probabilité désirée (p=3 pour 99,86%) ia² ib² ic² id² ie² X moyen + p +  Xmaxi 2 3 ia est le cumul au pire des cas de toutes les tolérances de la piècea. Ex : ia = t1a + t2a.2L/E position orientation

CALCUL DE LA LIMITE DE DEROGATION Probabilité désirée (p=3 pour 99,86%) sb²+sc²+sd²+se²+sf² X nominal +ea +(db+dc+dd+de+df) + p  Xmaxi Ecart limite sur a Décalage de la distribution de b Ecart type de la distribution de b

DEROGATION PAR BONUS Le non respect de l'exigence fonctionnelle apporte un risque qui peut être illustré par une courbe : Risque Exemple sans bonus t1+t2+t3+t4+t5 = 0,6  t= 0,12 Risque maxi admissible coaxialité X mini 0,6 L'exigence est calculée avec un bonus pour améliorer la qualité Exemple avec bonus de 0,1 t1+t2+t3+t4+t5 = 0,5 Risque  t= 0,1 En dérogation, chaque maillon peut dépasser sa tolérance. L'intervalle de tolérance en dérogation est 0,2, sous réserve que deux pièces n'exploitent pas simultanément le bonus. Risque réduit coaxialité Bonus = 0,1 X mini =0,5

MERCI DE VOTRE ATTENTION "La chaîne de cotes qui pose problème, c'est celle que l'on a pas faite" Christophe LAFROGNE, Chef du bureau d'études AMETRA.

Influence de chaque jonction RESULTANTE 3D En (a), on connaît les dimensions nominales des pièces et la position nominale du point F. On cherche le déplacement du point F dû aux défauts des différentes jonctions. Influence de la surface terminale Influence de chaque jonction 0.2 A B X = 50 dFa dFb dFc dFd a b d jonction étudiée jonction étudiée jonction étudiée F F f F Droite d'analyse a a a a a b b b b b base c c c c c d d d d d B (a) (b) (c) (d) (e) A dF Il faut calculer l'influence de chaque jonction sur l'exigence fonctionnelle. Le déplacement résultant du point F noté dF est la somme des influences de chaque jonction dFa dFb dFc dFd

Calibre de contrôle fonctionnel Empilage avec porte-à-faux Deux surfaces influentes ed R F1 ec d Calibre de contrôle fonctionnel F2 eb c M1, M2 b Pièce à contrôler ea Droite d'analyse a Droite d'analyse Marbre A

METHODE STATISTIQUE SECURISEE Dans une chaîne de cotes avec 6 pièces, chaque tolérance doit être déterminée pour respecter l'exigence, en supposant une distribution statistiques des autres pièces. Le système à résoudre est : Probabilité acceptée