17-18 mars 2016 | Ifsttar | Marne-la-Vallée OPTIMISATION DE STRUCTURES NON RÉSISTANTES À LA TRACTION: APPLICATION À L’ÉTUDE DES ARC-BOUTANTS Vannucci P., Laboratoire de Mathématiques de Versailles Desmorat B., Institut J. Le Rond d’Alembert

Motivation de l’étude Beaucoup reste à faire pour comprendre le processus de conception des structures des monuments historiques. Idée: utiliser la recherche mécanique comme outil d’archéologie synthétique pour essayer de reconstruire les processus de conception des constructeurs anciens. L’objectif est double:  aider à la reconstruction du cadre historique des connaissances et des idées;  mieux comprendre le fonctionnement statique de certaines parties structurales. JNM 20162Vannucci, P., Desmorat, B.

Outil de l’étude L’outil mathématique de l’étude est l’optimisation topologique des structures non résistantes à la traction. Ceci est encore matière d’étude et reste un problème ouvert. Cette étude est juste une première tentative... JNM 20163Vannucci, P., Desmorat, B. Source: Université de Liège

Objet de l’étude L’objet de cette étude ce sont les arcs boutants. Le fonctionnement statique, et par conséquent l’idée que les concepteurs ont voulu réaliser, est encore en partie matière de débat. Les types d’arcs boutants sont très différents; ce qui certainement reflet un différent fonctionnement statique. JNM 20164Vannucci, P., Desmorat, B.

Exemples JNM 20165Vannucci, P., Desmorat, B. San Vitale, Ravenna, IX siècle San Martin d’Etampes, 1142 Bourges, 1194 Chartres, 1194 Reims, 1211 Santa Chiara, Assisi, 1260 Amiens, 1220

Type d’arc boutant étudié JNM 2016Vannucci, P., Desmorat, B. mur gouttereau mur de coulée caniveau arc-boutant Notre Dame, Paris, 1177 Saint Merri, Paris, 1550

Problème étudié Trouver la structure optimale dans le domaine  Actions: , poids propre, f, poussée inclinée Contraintes sur l’optimisation:  matériau non résistant à la traction  volume constant (48% du volume total) JNM 20167Vannucci, P., Desmorat, B. 4,5 m 12 m 2 m 36,5°   f

Modélisation mécanique Loi de comportement 2D isotrope non symétrique: JNM 20168Vannucci, P., Desmorat, B.   EcEc   T R     EtEt   T R  

Modélisation mécanique JNM 20169Vannucci, P., Desmorat, B.   EtEt EcEc   T R  

Problème d’optimum JNM Vannucci, P., Desmorat, B. C’est la loi de comportement non symétrique couplée à la minimisation de l’énérgie qui pilote l’optimisation topologique d’une structure non résistante à la traction SIMP: Solid Isotropic Material with Penalization

Schéma de calcul JNM Vannucci, P., Desmorat, B. Convergence Initialisation Calcul EF à  = const. oui non Minimisation locale énérgie compl à  = const. pour un volume fixé pour chaque élément fini nonoui

Modèle éléments finis JNM Vannucci, P., Desmorat, B. E c =50 Gpa E t =10 GPa = x 24 éléments ≈ 0.5 x 0.5 m f  

Forme optimale Loi de comportement non symétrique 23 iterations JNM Vannucci, P., Desmorat, B.

Forme optimale Loi de comportement symétrique 29 itérations JNM Vannucci, P., Desmorat, B.

Déformées JNM Vannucci, P., Desmorat, B.

Contraintes principales JNM Vannucci, P., Desmorat, B.

Conclusions et perspectives L’optimisation topologique avec matériaux non résistants à la traction peut récupérer des formes structurales conçues par d’autres critères Ceci peut aider à retracer la pensée constructive Des améliorations sont possibles (et en cours...):  autre formulation de la loi de comportement à l’aide d’un potentiel élastique opportun  prise en compte d’effets 3D  amélioration de certains aspects numériques JNM Vannucci, P., Desmorat, B.

Contact : Merci de votre attention JNM Vannucci, P., Desmorat, B. Paolo Vannucci Boris Desmorat