CFM Instabilités liées au phénomène d’évaporation : Réponse dynamique d’une goutte à un champ acoustique Roger Prud’homme 1, Mohammed Habiballah 2, Aurélie Nicole 2 et Yves Mauriot 2 1 Laboratoire de Modélisation en Mécanique UMR 7607 UPMC/CNRS. 4 place Jussieu PARIS CEDEX 05 2 ONERA/DEFA BP CHATILLON CEDEX

CFM Introduction Modèle à deux couches Modèle à n couches Conclusion et perspectives Plan de l’exposé

CFM  Introduction Dans les moteurs fusées à ergols liquides, les instabilités de combustion résultent du couplage entre le processus de combustion et l’acoustique de la chambre. Nous présentons ici le phénomène d’évaporation en tant que mécanisme possible d’instabilité de combustion et étudions pour cela la réponse dynamique d’une goutte en évaporation à un champ de perturbation acoustique, en admettant l’équilibre local liquide-vapeur.

CFM Le critère de Rayleigh stipule qu’une petite perturbation de pression va s’amplifier si le processus considéré ajoute de l’énergie en phase (ou avec une petite variation de phase) avec la pression. [Source : Delplanque & Sirignano 1996]. Evaporation de gouttes : facteur de réponse N,: perturbations relatives pression et chaleur ou masse Si N>0, l’effet de l’évaporation est déstabilisant. On considère une goutte dans un champ acoustique située en un nœud de vitesse (ventre de pression et de température). Du critère de Rayleigh au facteur de réponse

CFM Théorie linéarisée: Les équations linéarisées sont écrites pour de petites perturbations On déduit les équations en Goutte en évaporation de rayon r S, alimentée continuellement par un débit stationnaire. La goutte moyenne de Heidmann et Wieber

CFM Profils de température à l’intérieur de la goutte liquide pour différents modèles a) Echange de chaleur par conduction (Law & Sirignano, 1977) b) Conductivité thermique infinie (cf. Chin & Lefebvre, 1985) Des alternatives à a) et b) c)Modèle à deux couches d)Modèle à n couches N.B. : Le modèle de Heidmann obéit à l’hypothèse b) Modèles multicouches pour le chauffage transitoire d’une goutte

CFM Modèle à deux couches: un système discret avec deux températures pour décrire l’évolution Flux de chaleur et équations de l’énergie de la phase liquide

CFM Modèle à deux couches : équations de base Hypothèses : mélange idéal de gaz parfaits, évolution quasi-stationnaire en phase gazeuse. Au repos: Nu=2, Nu L =2, Sh=2. Ici: B T (et B M ) ne sont pas constants. Si Le=1, B T =B M

CFM Modèle à deux couches : équations linéarisées sont des coefficients constants ;  et  ne sont pas indépendants dépend seulement du propergol et des conditions du foyer ( pour la goutte en régime stabilisé)

CFM Modèle à deux couches : fonction de transfert complexe

CFM Modèle à deux couches : facteur de réponse en fonction de la fréquence réduite pour plusieurs couples ( ,  Ces résultats montrent l’importance des gradients thermiques pour la stabilité On retrouve les résultats de Heidmann ( les courbes vertes coïncident avec ) L‘hypothèse de Heidmann conduit à sous-estimer la zone d’amplification

CFM Modèle à n couches : principe et objectifs Ce modèle est un affinement du modèle à deux couches, qui permet de tenir compte de l’effet dynamique du gradient thermique interne d’une manière très simple. On espère ainsi avoir une meilleure représentation du profil thermique interne. Le but est double : dans les applications pratiques, utiliser un modèle à n couches avec un nombre de couches limité (typiquement n<10), afin d’avoir une meilleure précision qu’avec le modèle à deux couches utiliser ce modèle en faisant tendre n vers l’infini pour ajuster la valeur de  du modèle à deux couches qui devrait donner la réponse dynamique convenable Modèle à n couches : hypothèses et formulation Hypothèses : n couches de même volume et de températures homogènes même nombre de Nusselt pour chaque couche Formulation matricielle Utilisation de l’outil Maple

CFM Modèle à n couches : réponse dynamique à une perturbation de pression Remarque : 2 couches ;

CFM Modèle à n couches : formulation matricielle avec et

CFM Modèle à n couches : résultats et conclusion La fréquence de coupure est très sensible au nombre de couches pour les faibles valeurs de la conductivité thermique La convergence est trop lente pour obtenir la limite avec l’outil utilisé et la limite n’est pas facile à déterminer par une méthode analytique (modèle matriciel ) Le modèle peut être utilisé avec un nombre limité de couches (<15)

CFM Calibration du modèle à 2 couches en utilisant le modèle à N couches, en fonction de la conductivité thermique

CFM Le modèle à 2 couches donne des résultats cohérents avec le modèle à 14 couches pour des valeurs de la conductivité thermique usuelles ou artificiellement augmentées –Pour les faibles conductivités on peut utiliser valeur de  voisine de l’unité –Pour les grandes conductivités il faut prendre  voisin de 0 Pour les conductivités moyennes le modèle à 2 couches sous-estime la fréquence de coupure N.B. : Cette analyse se doit d’être étendue à d’autres conditions physiques Calibration du modèle à 2 couches en utilisant le modèle à n couches, en fonction de la conductivité thermique (suite)

CFM Conclusion Le modèle à 2 couches montre l’influence du gradient thermique interne sur la zone d’amplification. Ce modèle a besoin d’une calibration du paramètre  si l’on veut qu’il représente correctement le gradient thermique interne. Le modèle à n couches devrait permettre d’opérer cette calibration, mais le résultat dépend du nombre de couches; cependant, il pourra être utile dans des situations où le modèle à 2 couches n’est pas applicable. Ces investigations nous conduisent à envisager la mise au point d’un modèle continu, tout au moins dans le domaine des petites perturbations, qui pourrait permettre la validation du modèle à n couches et une calibration précise du modèle à 2 couches.

CFM Perspectives –établir un modèle continu de conduction thermique pour valider les résultats du modèle à n couches calibrer avec plus de précision le modèle à 2 couches –étendre cette analyse à d’autres propergols et à des conditions plus réalistes, notamment aux hautes pressions.