Le débat scientifique en classe un exemple concret en cours de maths (niveau BAC) Julien Douady enseignant-chercheur (sc. physiques) et conseiller pédagogique Université J. Fourier, Grenoble (France) julien.douady@ujf-grenoble.fr Atelier de formation – École Polytechnique de Montréal – jeudi 26 février

« dépoussiérons l’enseignement… » 2 / 37 Titre original : « dépoussiérons l’enseignement… »

Les étapes de l’atelier 3 / 37 Les étapes de l’atelier Le débat scientifique deux modes cognitifs fondamentaux la place et les objectifs du débat L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) vivre la situation en tant qu’apprenant découvrir la puissance du dispositif Comment procéder demain ? les points cruciaux pour réussir un débat une méthodologie pour la préparation

Les étapes de l’atelier 4 / 37 Les étapes de l’atelier Le débat scientifique deux modes cognitifs fondamentaux la place et les objectifs du débat L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) vivre la situation en tant qu’apprenant découvrir la puissance du dispositif Comment procéder demain ? les points cruciaux pour réussir un débat une méthodologie pour la préparation

Le mode (socio-)constructiviste 5 / 37 Le débat scientifique deux modes cognitifs fondamentaux : des rôles différents Le mode magistral Le mode (socio-)constructiviste montre-démontre-explique tout de manière cohérente Le professeur cherche à problématiser un savoir qu’il juge essentiel Les étudiants doivent rentrer dans une problématique commune : auteur doivent comprendre le discours et la logique du professeur : auditeur Logique de la problématisation Logique de l’explication

Le mode (socio-)constructiviste 6 / 37 Le débat scientifique deux modes cognitifs fondamentaux : forces et faiblesses Le mode magistral Le mode (socio-)constructiviste Discours à la fois rigoureux, cohérent, exhaustif Rassurant pour l’enseignant Économe en temps Forces et dynamique Doute, incertitude de l’auteur Prise d’initiative, responsabilité engagée par les étudiants Richesse et diversité des points de vue exprimés Faiblesses et limites Coût élevé en temps Prise de risque pour l’enseignant Improbable capacité à faire émerger des savoirs complets, justes et bien ordonnés Passivité de l’auditoire Impuissance face à des concepts ardus (obstacles épistémologiques) Difficulté à donner du sens profond (à quoi ça sert tout ça ?)

Le débat scientifique les objectifs du débat 7 / 37 Le débat scientifique les objectifs du débat Objectifs du débat scientifique = créer du sens en générant du doute, en faisant ressurgir les contradictions en autorisant des rapprochements abusifs en engageant une responsabilité d’opinion Attention : les étudiants ne construisent pas le savoir mais ils : s’associent à une problématique commune construisent du sens développent de l’intérêt pour les savoirs que le professeur va leur enseigner

Le débat scientifique la place du débat 8 / 37 Le débat scientifique la place du débat Les deux modes sont opposés et complémentaires Le mode magistral Le mode (socio-)constructiviste Enseigner des méthodes, des techniques opératoires… Enseigner des concepts fondamentaux, des notions difficiles… Un débat se termine par une phase magistrale où l’enseignant met de l’ordre dans les idées apporte le contenu qui fait défaut fait émerger le sens lié à la problématique L’alternance entre les deux modes doit respecter leurs dynamiques propres

Les étapes de l’atelier 9 / 37 Les étapes de l’atelier Le débat scientifique deux modes cognitifs fondamentaux la place et les objectifs du débat L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) vivre la situation en tant qu’apprenant découvrir la puissance du dispositif Comment procéder demain ? les points cruciaux pour réussir un débat une méthodologie pour la préparation

Exemple des intégrales les règles du jeu 10 / 37 Exemple des intégrales les règles du jeu 1ère phase = débat privé (quelques minutes) vous pouvez discuter (du sujet) avec qui vous voulez... dans le but de vous forger une opinion personnelle un vote vous vous déterminez personnellement en fonction des réponses proposées, en étant capable de justifier votre choix 2ème phase = débat public vous défendez votre point de vue en donnant vos arguments à vos collègues (et non à moi), pour les convaincre. Le débat privé est alors interdit, tout comme la critique...

Exemple des intégrales la consigne 11 / 37 Exemple des intégrales la consigne Vous avez 3 propositions à examiner Pour chacune d’elles, vous devez vous positionner en étant capable de justifier votre choix… OK (j’adopte cette démonstration) NON (je refuse ce raisonnement) Autre (vraiment impossible de choisir OK ou NON)

 OK  NON  Autre Situation n°1 12 / 37 Situation n°1 Pour calculer le volume V d’une sphère de rayon R, on la découpe en tranches élémentaires parallèles au plan (xOy). Le volume dV d’une tranche de petite épaisseur dz située à l’altitude z est donnée par : Le volume total V est donc r(z) z y x O dz r R  OK  NON  Autre

13 / 37 Situation n°2 Pour calculer l'aire latérale du cylindre de rayon R et de hauteur H, on découpe de même en tranches élémentaires parallèles au plan (xOy). L'aire latérale dS d'une tranche de petite épaisseur dz située à l'altitude z est : L'aire totale est donc donnée par : (z) z y x O dz R H  OK  NON  Autre

14 / 37 Situation n°3 Pour calculer le volume V de la sphère de rayon R, on peut aussi découper la demi-sphère supérieure en n tranches de même épaisseur Δz. Le volume ΔVi de la tranche Ci située à l’altitude zi est donné par : Comme on a donc (par passage à la limite) Le volume total V est donc z y x O Δz ri zi R  OK  NON  Autre

 OK  NON  Autre Situation n°4 z 15 / 37 Situation n°4 En suivant une procédure analogue, pour calculer l'aire latérale d'un cône de hauteur H et de base circulaire de rayon R, on peut découper le cône en tranches élémentaires parallèles à (xOy). L'aire latérale dS d’une tranche de petite épaisseur dz située à l’altitude z est celle du cylindre de rayon r(z) correspondant : Par Thalès, on obtient L'aire latérale totale S est donc On retrouve ainsi que : l'aire latérale du cône est la moitié de l'aire latérale du cylindre (même base et même hauteur) z y x O dz H r(z) r(z) R z H-z  OK  NON  Autre

Institutionnalisation autour des procédures infinitésimales 16 / 37 Institutionnalisation autour des procédures infinitésimales La procédure infinitésimale est pertinente pour évaluer une grandeur G d'un objet Ω longueur aire volume masse travail potentiel etc... dont le calcul ne peut pas se faire simplement car G dépend d’un paramètre qui varie dans l’objet. Ω l(z) z

17 / 37 La procédure infinitésimale est inutile si le paramètre ne varie pas (cylindre) ! Ω l

G = ∑ Gi Philosophie de la procédure infinitésimale : Gi = li · h Ωi 18 / 37 Philosophie de la procédure infinitésimale : découper Ω en tranches Ωi “assez fines” pour que, sur chaque tranche, le paramètre gênant ne varie quasiment plus le calcul partiel de Gi sur chaque tranche est facile le résultat global est la somme des parties Ωi h li Gi = li · h G = ∑ Gi

Dans la pratique : le professeur choisit un paramétrage astucieux 19 / 37 Dans la pratique : le professeur choisit un paramétrage astucieux il considère la tranche ∆Ω ou dΩ, d’épaisseur ∆z ou dz, il appelle ∆G ou dG le résultat correspondant les symboles d ou ∆ sont accompagnés des mots magiques « petit » ou « infiniment petit » Et ensuite… dG = f(z)·dz où f(z) est une fonction qu’on « arrive à calculer » on passe de ∑ dG à ∫ f(z)·dz puis à G = F(b) - F(a) même si cela tend à montrer que 1 = 0 (évitons paradoxes et contradictions)

1er paradoxe disparition des ennuis = disparition de matière ! 20 / 37 1er paradoxe disparition des ennuis = disparition de matière ! Si l’épaisseur de la tranche est nulle : le paramètre ne varie plus il n’y a plus de matière “que vaut une somme infinie de riens ???” Si l’épaisseur de la tranche est non nulle : le paramètre varie toujours un peu le calcul exact sur la tranche redevient impossible sauf si la procédure est inutile...

1er paradoxe ce qui n’est jamais dit… 21 / 37 1er paradoxe ce qui n’est jamais dit… L’épaisseur de la tranche est non nulle Gi reste incalculable On prend un modèle Mi qui facilite le calcul Δz f(z)

1er paradoxe comment s’en sortir ? 22 / 37 1er paradoxe comment s’en sortir ? Par honnêteté, on reconnaît que GMi ≠ Gi Il se crée sur chaque tranche une erreur de mesure Réel Découpage Modèle

2nd paradoxe disparition de l’erreur = disparition de la mesure ! 23 / 37 2nd paradoxe disparition de l’erreur = disparition de la mesure ! Pour avoir sur chaque tranche... on les rend de plus en plus fines : Dès lors tout devient infiniment petit ! l'erreur et le résultat local

La méthode n’est utile que si 24 / 37 2nd paradoxe ce qui n’est jamais dit… Comme et on aura donc La méthode n’est utile que si

2nd paradoxe comment s’en sortir ? 25 / 37 2nd paradoxe comment s’en sortir ? Si l’erreur est du 1er ordre : εi = Δz = H/n alors erreur globale incompressible Si l’erreur est du 2nd ordre : εi = Δz² = H²/n² alors erreur globale nulle en passant à la limite En général, sur chaque tranche, il faut : GMi >> εi

sinon, on fait n’importe quoi ! 26 / 37 Synthèse validité de la procédure infinitésimale si on parvient à écrire : Gi = f(z) x Δz + ε(Δz) et si l’erreur est du 2nd ordre : ε(Δz) < Cste x (Δz)² alors la théorie nous assure que : égalité « absolue » ! sinon, on fait n’importe quoi !

Retour sur les situations examinées 27 / 37 Retour sur les situations examinées Situation 1 : aucune vérification, on est chanceux Situation 2 : aucun paramètre variable, inutile Situation 3 : vérification faite, on est certain L'erreur  (∆z)  est majorée par la différence de volume des cylindres de hauteur ∆z et de rayons respectifs r(z+ ∆z) et r(z) donc du second ordre :   (∆z )  ≤ Cste · (∆z)2

Retour sur les situations examinées 28 / 37 Retour sur les situations examinées Situation 4 : aucune vérification, foutaise ! L'erreur  commise est de l'ordre de 2  R (l - z)    < z·[ 2  R · (1/cos() – 1)] donc de l'ordre de z (si  ≠ 0) R

Les étapes de l’atelier 29 / 37 Les étapes de l’atelier Le débat scientifique deux modes cognitifs fondamentaux la place et les objectifs du débat L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) vivre la situation en tant qu’apprenant découvrir la puissance du dispositif Comment procéder demain ? les points cruciaux pour réussir un débat une méthodologie pour la préparation

Les étapes de l’atelier 30 / 37 Les étapes de l’atelier Le débat scientifique deux modes cognitifs fondamentaux la place et les objectifs du débat L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) vivre la situation en tant qu’apprenant découvrir la puissance du dispositif Comment procéder demain ? les points cruciaux pour réussir un débat une méthodologie pour la préparation

Comment procéder demain ? les points cruciaux pour réussir un débat 31 / 37 Comment procéder demain ? les points cruciaux pour réussir un débat Quatre ingrédients essentiels objectif du cours : consistance épistémologique situation proposée : pertinente et polémique débat : dévolution de responsabilité, neutralité institutionnalisation : contextualisée et percutante

32 / 37 Comment procéder demain ? la consistance épistémologique : avec ou sans ? Une situation sans consistance épistémologique θ 3 m 4 m « Quelle est l’aire de ce parallélogramme ? » A = 12 x sin(θ) (en m²) Une situation avec consistance épistémologique 3 m 4 m « Quelle est l’aire de ce parallélogramme ? » A = 12 m²

Comment procéder demain ? la consistance épistémologique - suite 33 / 37 Comment procéder demain ? la consistance épistémologique - suite Ici, la consistance épistémologique consiste à imaginer, à partir de la situation proposée, d’autres situations possibles : Situations cruciales

Comment procéder demain ? la gestion du débat 34 / 37 Comment procéder demain ? la gestion du débat Pendant le débat, le professeur doit absolument : laisser assez de temps pour l’appropriation assurer la dévolution du problème noter et reformuler les opinions sans les déformer rester neutre vis-à-vis des arguments exprimés aplanir les difficultés « secondaires et bruyantes » faire ressortir les opinions divergentes et incompatibles épingler intérieurement les arguments-clés qui serviront dans son institutionnalisation

Comment procéder demain ? l’institutionnalisation : étape clé ! 35 / 37 Comment procéder demain ? l’institutionnalisation : étape clé ! L’institutionnalisation est l’étape la plus difficile ; elle doit : réorganiser les propos exprimés pour en faire un ensemble construit et cohérent s’appuyer sur les idées émises, et renvoyer aux questions débattues apporter les concepts manquants ne pas éviter l’obstacle épistémologique éviter tout jugement sur les opinions : « nos tâtonnements ont permis de franchir une étape » « contextualisée » et « percutante »

Comment procéder demain ? une méthodologie pour la préparation 36 / 37 Comment procéder demain ? une méthodologie pour la préparation Un canevas temporel robuste pour préparer un débat Avant : identifier un obstacle épistémologique et une situation pertinente tester la situation auprès de collègues issus d’autres domaines imaginer toutes les réponses possibles pour ne pas être pris au dépourvu Pendant : Présenter clairement le nouveau contrat 1ère phase = débat privé (10-15 min) : dévolution du problème le vote : permet la prise de responsabilité 2ème phase = débat public (20-60 min) : confrontation des idées 3ème phase = institutionnalisation (10 min) : réorganisation des savoirs Les premières fois, sollicitez un collègue ou un conseiller pour vous observer

Merci pour votre attention avez-vous des réactions / des questions ? 37 / 37 Merci pour votre attention avez-vous des réactions / des questions ? Le diaporama et le « mémento » sont disponibles sur le site du BAP : http://www.polymtl.ca/bap/doc/index.php julien.douady@ujf-grenoble.fr