Régression logarithmique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Nous allons maintenant établir une démarche rigoureuse permettant de définir une relation entre deux variables à partir d’une liste de données et, pour ce faire, nous présenterons les échelles logarithmiques. Ces échelles ont une particularité intéressante qui est mise à profit dans les papiers graphiques appelés semi-log et log-log. La représentation graphique d’une fonction exponentielle sur papier semi-log donne une droite et la représentation graphique d’une fonction puissance sur papier log-log donne une droite. Les représentations graphiques constituent un outil important de détection du lien entre deux variables puisque la forme graphique la plus facile à reconnaître est la droite. La régression logarithmique nous permettra de déterminer les paramètres du modèle mathématique pour un lien exponentiel, un lien logarithmique ou un lien de puissance.

Échelle linéaire On dit qu’une échelle est linéaire lorsque son pas est constant. Sur une droite graduée avec une échelle linéaire, deux nombres positifs M et N sont représentés à des distances d1 et d2 de l’origine, en respectant la proportionnalité. Cela signifie que chaque nombre est situé à une distance de l’origine proportionnelle à sa valeur. Leur somme est un nombre V = M + N représenté par un point à une distance d1 + d2 de l’origine. Illustrons ce propos à l’aide d’une droite comportant un point d’origine O et un point A qui détermine la valeur unitaire ou longueur du pas de l’échelle. De plus, si on considère un nombre N > 0 représenté à une distance d de l’origine et un nombre k > 0, alors le nombre kN sera représenté à une distance kd de l’origine. A S S S

Échelle logarithmique Sur une échelle logarithmique, la position d’un nombre est déterminée de telle sorte que sa distance à l’origine est proportionnelle au logarithme du nombre. L’origine est indiquée par le nombre 1, car (0; 0) = (0; log 1). La disposition relative des nombres se conforme alors aux propriétés des logarithmes. 1. logbMN = logbM + logbN 2. logb M N = logbM – logbN 3. logbNp = p logbN S S S

Échelle logarithmique Chacun des intervalles représentant une unité logarithmique est appelé un cycle. Ainsi, l’intervalle de 0,1 à 1 est un cycle, tout comme l’intervalle de 1 à 10 et l’intervalle de 10 à 100. De plus, puisque le logarithme de 100 est 2, la distance de 1 à 100 est égale à deux fois la distance de 1 à 10. De la même façon, la distance entre 0,1 et 1 est égale à la distance entre 1 et 10 puisque le logarithme de 0,1 est égal à –1. S

Échelle logarithmique et modélisation Un papier quadrillé comportant une échelle linéaire et une échelle logarithmique est appelé papier semi-log et un papier quadrillé dont les deux échelles sont logarithmiques est appelé papier log-log. Sur ces papiers quadrillés, il n’y a pas de nombres indiquant les graduations; l’échelle peut commencer à n’importe quel nombre suivant les besoins du problème. La représentation graphique d’une fonction exponentielle sur un papier dont l’échelle verticale est logarithmique donne une droite. Pour illustrer ce propos, représentons la fonction f(x) = 2x sur un papier semi-log à deux cycles.

Papier semi-log Un papier quadrillé comportant une échelle linéaire et une échelle logarithmique est appelé papier semi-log et un papier quadrillé dont les deux échelles sont logarithmiques est appelé papier log-log. (3; 8) x f(x) –3 –2 –1 1 2 3 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 (2; 4) Sur ces papiers quadrillés, il n’y a pas de nombres indiquant les graduations; l’échelle peut commencer à n’importe quel nombre suivant les besoins du problème. (1; 2) (0; 1) Pour illustrer ce propos, représentons la fonction f(x) = 2x sur un papier semi-log à deux cycles. (–1; 0,5) Le point désigné par (2; 4) correspond en réalité au point (2;log 4). (–2; 0,25) (–3; 0,125) S

Échelle logarithmique et modélisation La base de la fonction exponentielle peut être différente de 10. La représentation graphique donnera quand même une droite. La raison en est fort simple. Considérons une fonction exponentielle de la forme : En prenant plutôt le logarithme naturel, on obtient la relation : ln y = x ln b + ln a y = abx On peut effectuer les calculs dans l’une ou l’autre des bases, on obtient le même modèle. log y = log(abx), en prenant le logarithme des deux membres; log y = log a + log bx,logarithme d’un produit; Les caractéristiques des échelles logarithmiques nous indiquent comment utiliser le papier semi-log pour déceler un lien exponentiel entre des variables et comment trouver la règle de correspondance décrivant ce lien. L’exemple suivant illustre cette procédure. log y = log a + x log b, logarithme d’une puissance; log y = x log b + log a, commutativité de l’addition; On représente graphiquement les données et si le nuage de points forme une droite, le modèle exponentiel est pertinent. L’exemple suivant illustre cette procédure. Y= Ax + B, en posant log y = Y, log b = A et log a = B. Puisque log b et log a sont des constantes, on a donc une relation affine entre x et log y et c’est pourquoi la représentation graphique sur papier semi-log donne une droite. S

nS xi ln yi – (S xi)(S ln yi) Exemple 5.1.2 x y ln y x ln y x2 Déterminer la règle de correspon-dance décrivant le lien entre les variables. Au cours d’une expérience de laboratoire, on a obtenu les grandeurs physiques ci-contre. On doit d’abord établir la relation affine entre les couples (x; log y) ou entre les couples (x; ln y), selon la base de calcul utilisée. En exprimant le modèle sous forme exponentielle, on obtient : 1 2 3 4 5 6 1,40 1,96 2,74 3,84 5,38 7,53 0,3365 0,6729 1,0080 1,3455 1,6827 2,0189 0,3365 1,3459 3,023 5,3819 8,4134 12,1134 1 4 9 16 25 36 y = e0,03365x = 1,4x Vérifier graphiquement l’hypothèse d’un lien exponentiel entre ces variables. A = nS xi ln yi – (S xi)(S ln yi) nS xi2 – (S xi)2 REMARQUE En représentant graphiquement les couples (x; ln x) ou les couples (x; log y) dans un système d’axes bilinéaire, le nuage de points aurait également donné une droite. 21 22,85 7,0644 30,6149 91 A = 6 ´(30,6149) – 21 ´7,0644 6 ´91 – 212 y Pour vérifier l’hypothèse, représen-tons graphiquement les données sur papier semi-log. = 0,3365 B = S lnyi – A S xi n La représentation graphique sur papier semi-log donne un nuage de points qui semblent alignés. B = 7,0644 – 0,3365 ´21 6 = –0,00048 Puisque la valeur de B est négligeable, le lien affine est alors : L’hypothèse d’un lien exponentiel est donc plausible. ln y = 0,3365x x S S S S

Exemple 5.1.3 x I On désire analyser les capacités d’absorption des rayons X d’un matériau. 0,00 2,00 5,00 6,50 9,00 12,00 16,00 22,00 1,00 0,84 0,65 0,57 0,46 0,35 0,25 0,15 Pour ce faire, on bombarde des plaques de différentes épaisseurs de ce matériau et on mesure l’intensité I(x) des radiations de l’autre côté de la plaque. Trouver le type de correspondance entre les variables. I La représentation graphique étant une courbe, on peut conclure qu’il ne s’agit pas d’une correspondance affine La représentation graphique sur papier semi-log donne un nuage de points qui semblent alignés. On peut donc faire l’hypothèse d’un lien exponentiel. Utilisons un quadrillage semi-log. x S S

nS xi ln Ii – (S xi)(S ln Ii) Exemple 5.1.3 x I ln I x ln I x2 Déterminer la règle de correspon-dance. 0,00 2,00 5,00 6,50 9,00 12,00 16,00 22,00 1,00 0,84 0,65 0,57 0,46 0,35 0,25 0,15 0,0000 –0,1744 –0,4308 –0,5621 –0,7765 –1,0498 –1,3863 –1,8971 0,0000 –0,3487 –2,1539 –3,6538 –6,9888 –12,5979 –22.1807 –41,7366 0,00 4,00 25,00 42,25 81,00 144,00 256,00 484.00 Établissons la relation affine entre les couples (x; ln I). En exprimant le modèle sous forme exponentielle, on obtient : A = nS xi ln Ii – (S xi)(S ln Ii) nS xi2 – (S xi)2 I = e–0,086428x = 0,917x 72,50 4,27 –6,2770 –89,6604 1036,25 A = 8 ´(–89,6604) – 72,50 ´–6,2770 8 ´1036,50 – 72,502 I = –0,086428... B = S ln Ii – A S xi n B = –6,2770 – (–0,08642...´72,50) 8 = –0,000138... B est négligeable, le lien affine est alors : x ln I = –0,086428x S S

Détection du lien entre variables Fonction puissance Fonction logarithmique Une fonction puissance est de la forme y = axb. En prenant le logarithme des deux membres de l’équation, on a : Une fonction logarithmique est de la forme : y = a log x + b (ou y = a ln x + b) log y = log(axb) On voit directement qu’il doit y avoir une relation affine entre y et log x que l’on peut écrire symboliquement : log y = log a + log xb, logarithme d’un produit; log y = log a + b log x, logarithme d’une puissance; y = AX + B, où A = a, X = log x et B = b. log y = b log x + log a, par commutativité de l’addition Y = AX + B, en posant Y = log y, b = A, X = log x et B = log a. On détecte une telle relation sur un papier semi-log en représentant la variable indépendante sur l’échelle logarithmique. Si le nuage forme une droite, le modèle est logarithmique. Il y a donc correspondance affine entre log x et log y, correspondance que l’on peut détecter visuellement en représentant les données sur un papier log-log. S

Exemple 5.1.4 On a obtenu les données ci-contre en laboratoire. Établir le type de lien entre les variables. x I 3,00 4,00 5,00 6,50 7,00 8,00 9,00 0,94 0,53 0,34 0,24 0,17 0,13 0,10 Représentons graphiquement les données. Utilisons maintenant un papier semi-log vertical. Utilisons maintenant un papier log-log. Sur papier bilinéaire, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas affine. Sur papier semi-log vertical, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas exponentiel. Sur papier log-log, le nuage forme une droite. On détecte donc une relation de puissance. S S S

nS ln xi ln Ii – (S ln xi)(S ln Ii) Exemple 5.1.4 x I ln x ln I ln x ln I (ln x)2 Établissons la relation affine entre les couples (ln x; ln I). Décrire algébriquement cette relation. 3,00 4,00 5,00 6,50 7,00 8,00 9,00 0,94 0,53 0,34 0,24 0,17 0,13 0,10 1,0986 1,3863 1,6094 1,7918 1,9459 2,0794 2,1972 –0,0619 –0,6349 –1,0788 –1,4271 –1,7720 –2.0402 –2.3026 –0,0680 –0,8801 –1,7363 –2,5570 –3,4481 –4,2425 –5,0593 1,2069 1,9218 2,5903 3,2104 3,7866 4,3241 4,8278 42,00 2,45 12,10187 –9,3174 –17,9913 21,8679 Cela donne : A = nS ln xi ln Ii – (S ln xi)(S ln Ii) nS (ln xi)2 – (S ln xi)2 ln I = ln x–2,0322 + 2,1843 , d’où : I = x–2,0322 e2,1843 7´–17,9913 – 12,1087 ´–9,3174 7 ´21,8679 – (12,1087)2 = et : I = 8,8844x–2,0322 En tenant compte de la précision des données, le lien de puissance est alors : = –2,0322... I = 8,88 x2,0322 B = S ln Ii – A S ln xi n = –9,3174 – ( –2,0322´12,1087) 7 = 2,1843... S S S Le lien affine est alors : ln I = –2,0322 ln x + 2,1843

Exemple 5.1.5 On a obtenu les données ci-contre en laboratoire. Établir le type de lien entre les variables. x y 10 15 25 40 70 1,00 1,70 2,59 3,41 4,38 Représentons graphiquement les données. Utilisons maintenant un papier semi-log horizontal. Utilisons maintenant un papier log-log. Utilisons maintenant un papier semi-log vertical. Sur papier log-log, le nuage forme une courbe. Ce n’est pas un lien de puissance. Sur papier semi-log horizontal, le nuage forme une droite. Le lien est logarithmique. Sur papier semi-log vertical, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas exponentiel. Sur papier bilinéaire, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas affine. S S S S

nS log xi yi – (S log xi)(S yi) Exemple 5.1.5 10 15 25 40 70 1,00 1,70 2,59 3,41 4,38 x y log x y log x (log x)2 Établissons la relation affine entre les couples (log x; y). 1,000 1,176 1,398 1,602 1,845 Décrire algébriquement cette relation. 1,000 1,999 3,621 5,463 8,081 1,000 1,383 1,954 2,567 3,404 160 13,08 7,021 20,165 10,308 A = nS log xi yi – (S log xi)(S yi) nS (log xi)2 – (S log xi)2 5´20,165 – 7,021 ´13,08 5 ´10,308– (7,021)2 = = 4,00359... B = S yi – A S log xi n = 13,08 – ( 4,00359…´7,021) 5 = –3,005855... S S Le modèle est alors : y = 4,004 log x – 3,0059

Équation d’Arrhenius forme logarithmique Considérons à nouveau l’équation d’Arrhenius : k = Ae–Ea/RT où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, Ea, l’énergie d’activation (J/mol), R, la constante molaire des gaz (R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K). En prenant le logarithme des deux membres de cette équation, on obtient : ln k = ln A – Ea R 1 T = – + ln A Ea R 1 T ou ln k On reconnaît la forme d’une relation affine du type y = ax + b, où : la variable dépendante est : y = ln k, a – Ea R x 1 T + b + ln A y = ln k = la pente est : a = –Ea /R, la variable indépendante est : x = 1/T et l’ordonnée à l’origine est : b = ln A. S

Équation d’Arrhenius forme logarithmique Pour déterminer l’énergie d’activation Ea d’une réaction chimique, la méthode la plus utilisée est de mesurer la constante de vitesse à différentes températures. On peut alors déterminer une relation affine entre le logarithme de la vitesse, ln k et l’inverse de la température, 1/T. Le paramètre a de cette relation affine est a = –Ea /R, d’où : Ea = –Ra. Lorsqu’on ne connaît que deux couples de valeurs correspondantes (T1; k1) et (T2; k2), le facteur a est obtenu à partir des correspondances (1/T1; ln k1) et (1/T2; ln k2). Le taux de variation (ou la pente) est alors : = ln k2 k1 1 T2 T1 – a = ln k2 – ln k1 1 T2 T1 –

CH2(g) + 2S2(g) ® CS2(g) + 2H2S(g) Exemple 5.1.6 Température (°C) 570 650 Vitesse de réaction k (L/mol·s) 1,8 10,8 On a mesuré la vitesse de la réaction en phase gazeuse du méthane avec le soufre diatomique dont l’équation est : CH2(g) + 2S2(g) ® CS2(g) + 2H2S(g) On a obtenu les résultats ci-contre. Déterminer l’énergie d’activation de la réaction. Puisque Ea = –Ra, on obtient : Ea = –8,315 ´ –17426,85... = 144 904,29... Dans ce cas, on dispose de deux données, on trouvera donc la pente en calculant le rapport de la variation du logarithme naturel des vitesses sur la variation de l’inverse multiplicatif des températures en kelvins. Cela donne : L’énergie d’activation est de 1,4 ´ 105 J/mol. = ln 10,8 1,8 1 923 843 – a = ln k2 k1 1 T2 T1 – = –17426,85... S S

Croissance exponentielle forme logarithmique Considérons que la population N d’un certain organisme croît de façon exponentielle selon l’équation suivante :  N = N0 bt En prenant le logarithme des deux membres de l’équation, on obtient : log N = t log b + log N0 ou log N = t ln b + ln N0 On reconnaît la forme d’une relation affine du type Y = Ax + B, où : Y = ln N et A = log b. Lorsqu’on ne connaît que deux couples de valeurs (t1; N1) et (t2; N2) de cette relation, le taux de variation (ou la pente) peut être obtenu de la façon suivante : A = log N2 – log N1 t2 – t1 A = ln N2 – ln N1 t2 – t1 ou On peut en déduire le temps de dédoublement (TD) : TD = log 2 log b = A 0,301 TD = log 2 A = ln 2 A ln 10 0,301 A ´2,303 ou

Exemple 5.1.7 S S Temps jours 3 6 Nombre de cellules 3,3 ´109 6,4 ´109 Lors d’une culture cellulaire, on a observé les quantités de cellules données dans le tableau ci-contre. Déterminer le temps de dédoublement de ces cellules. Combien de cellules devraient être ensemencées le sixième jour si on désire obtenir environ 5 ´ 106 cellules cinq jours plus tard? Déterminons d’abord le taux de variation : Si le sixième jour on pose N = N0 2t/TD, on obtient N = N0 2t/3,14. Pour déterminer combien de cellules il faut ensemencer pour en obtenir 5 ´ 106 cinq jours plus tard, il faut résoudre l’équation : A = log(6,4 ´109) – log(6,4 ´109) 6 – 3 = 9,806 – 9,519 3 = 0,0958 Le temps de dédoublement est alors donné par : N0 25/3,14 = 5 ´ 106 TD = log 2 0,0958 N0 = 5 ´ 106 25/3,14 = 3,139... = 1658146 Cela donne : Il faut donc ensemencer environ 1,7 ´106 cellules. Le temps de dédoublement est d’environ 3,14 jours. S S

Conclusion La régression logarithmique est un outil très puissant pour la modélisation de données expérimentales. La droite est la forme graphique la plus facile à reconnaître. Pour déceler un lien non affine entre deux variables, on peut utiliser un papier graphique dont l’une des échelles ou les deux sont graduées à l’aide du logarithme en base 10. De cette façon, on peut détecter des liens exponentiels, des liens de puissance et des liens logarithmiques entre deux variables. Par la régression logarithmique, on peut alors déterminer les paramètres de ces liens.

Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 5.1, p. 121 à 130. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 5.2, p. 131 à 134.