Modélisation du transport réactif en milieu poreux saturé J. Carrayrou Institut de Mécanique des Fluides et des Solides Université Louis Pasteur – CNRS STRASBOURG Carrayro@imfs.u-strasbg.fr

Plan de la présentation Présentation des phénomènes Méthodes de résolutions Approche globale Séparation d’opérateurs Résolution des opérateurs Synthèse J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Présentation des phénomènes Transport de solutés Phénomènes chimiques

Advection - dispersion - réaction Échange liquide-gaz Dispersion Dissolution Précipitation Sorption Relargage Biologie u Advection Réactions en solution J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Transport réactif cinétique 7 Espèces t = 0 t = t1 t = fin t = t2 Évolution cinétique J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Écriture de la cinétique des réactions Les lois cinétiques prennent des formes très diverses Les temps caractéristiques varient de plusieurs ordres de grandeur Forment un système différentiel raide Exemple de la consommation d’oxygène et de substrat organique par des bactéries : J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Transport réactif à l’équilibre 3 Composants 7 Espèces Composants fixés Composants dissous t = t0 t = t0 ’ Équilibre Instantané J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Écriture de l’équilibre thermodynamique Théorie Exemple Nc espèces Ci Nx composant Xj Espèces Composants Réaction Conservation de la matière Loi d’action de masse J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Une forme unique pour l’équilibre Conservation de la matière Loi d’action de masse Coefficient d’activité Partie mobile Partie fixe J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Présentation des phénomènes : conclusion Équation de transport de soluté unique Différence importante entre cinétique et équilibre instantané Formes très diverses pour les loi de vitesse de réaction Nécessité de suivre chaque espèce Équations différentielles raides Écriture de tous les phénomènes sous une forme unique Possibilité de ne suivre que les composants Système d’équations algébriques J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Méthodes de résolutions Couplage chimie transport Approche globale Séparation d’opérateurs

Juste quelques notions… Travail de thèse de Marwan Fahs Approche globale Juste quelques notions… Travail de thèse de Marwan Fahs

Travaux de thèse de Marwan Fahs Approche globale Résoudre l’ensemble des équations transport et chimie. Conduit à des systèmes de très grande taille : Nombre de maille x Nombre d’espèces Nombre de maille x Nombre de composants Travaux de thèse de Marwan Fahs J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Un exemple transport – cinétique : Vitesse U Réaction : Discrétisation spatiale et temporelle : Réorganisation des termes : J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Transport - équilibre Système différentiel et algébrique : Sur chaque composant Dans chaque maille Système non linéaire Nombre d’espèces . nombre de mailles J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Substitution – discrétisation : Ne conserve pas la masse J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Discrétisation - substitution : Conserve la masse J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Approche globale : Conclusion Système de grande taille Compliqués à programmer Mise en place de méthodes spécifiques très difficiles Bénéficient des nouvelles méthodes mathématiques J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Séparation d’opérateurs Comprendre les méthodes

Séparation d’opérateurs COUPLAGE Erreurs de séparation d’opérateurs à minimiser OPÉRATEUR TRANSPORT OPÉRATEUR CHIMIE J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma NI Standard Transport non réactif TRANSPORT CHIMIE Système fermé Pas de temps n n + 1 Transport non réactif Chimie en système fermé J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma NI Strang-splitting CHIMIE Système fermé Pas de temps n n + 1 TRANSPORT Non réactif Demi-pas de temps Transport non réactif sur un demi-pas de temps Chimie en système fermé sur un pas de temps Transport non réactif sur un demi-pas de temps J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma I Standard Transport réactif TRANSPORT Chimie en système fermé Pas de temps n n + 1 Transport réactif Chimie en système fermé Terme puits-source Solution après convergence J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma I Symétrique Transport réactif Chimie en système ouvert Pas de temps n n + 1 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Séparation transport cinétique chimique J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Solutions Exactes Réaction Bilan de Masse Solution Exacte Réaction Irréversible (1 espèce) Solution Exacte Réaction Réversible (2 espèces) J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Opérateur de Transport Opérateur de Chimie Équation de Bilan de Masse Condition Initiale Solution à Flux Constant Équation en Bilan de Masse Équation en Bilan de Masse Total J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma NI Standard Formulation par Récurrence Solution Explicite Réaction Réversible (2 espèces) Solution Explicite Réaction Irréversible (1 espèce) J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma NI Strang-splitting Formulation par Récurrence Solution Explicite Réaction Irréversible (1 espèce) Solution Explicite Réaction Réversible (2 espèces) J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma I Standard Récurrence sur les Itérations Formulation Explicite par Itérations Récurrence sur les Pas de Temps Solution Explicite Réaction Réversible (2 espèces) Solution Explicite Réaction Irréversible (1 espèce) J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma I Symétrique Condition Initiale Chimie Transport Solution Générale J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Erreurs et Nombres Adimensionnels Nos NI Standard A vérifier numériquement : - sur les bilans de masse - sur les profils de concentration J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Erreurs sur le bilan de masse en régime permanent J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Erreurs sur les concentrations en régime permanent J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Application à un cas concret : 60 m Lit de sable (100 m) Bactéries aérobies Oxygène (3 mg/L) Flux d’eau (1 m/j) Oxygène (3 mg/L) Substrat organique (10 mg/L) Consommation de l’oxygène et du substrat jusqu’à épuisement de l’oxygène. Concentration en substrat restant : Sub = 8,5 mg/L J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Transport et cinétique biologique J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Séparation transport équilibre instantané J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma NI Standard Pas de contraintes sur la mise en œuvre TRANSPORT Non réactif CHIMIE Système fermé Pas de temps n n + 1 Transport Équilibre instantané Pas de contraintes sur la mise en œuvre Diffusion numérique importante J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma I Standard Formulation de l’opérateur de transport Réactif Pas de temps n n + 1 CHIMIE Système fermé Schéma I Standard Formulation de l’opérateur de transport implicite en temps nécessaire Diffusion numérique faible J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Conditions du Test Précipitation de calcite et de strontionite Échange d’ions calcium - strontium Longueur 12 cm Référence : 1 200 mailles Test : 120 mailles d’après Lefèvre et al. 1993 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Courbes d’élution du Strontium Peref = 0,16 Pecomp = 1,6 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Importance de la résolutions des opérateurs Exemple de l’Opérateur de transport

Méthodes de résolution Différences finies (centrées) Éléments finis discontinus Éléments finis J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Éléments finis discontinus Maîtrise de la diffusion numérique Absence d’oscillation Autorise les profils de concentration discontinus Très adaptés au fronts raides ou compressifs J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Séparation d’opérateur et EFD Peref = 0,16 Pecomp = 1,6 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Conclusion

Modélisation phénoménologique Phénomènes modélisés Transport : advection – dispersion Cinétique chimique Équilibre instantané Modélisation phénoménologique Description fondamentale Application possible à d’autres domaines J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Approche par séparation d’opérateur Distinguer chimie à l’équilibre et cinétique Réduire les erreurs de séparation en adaptant le schéma Avantages : Programmation très modulaire Utilisation de méthodes spécifiques pour chaque opérateur J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Merci de votre attention J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Opérateur de chimie à l’équilibre : Transport Cinétique Équilibre J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Systèmes Chimiques Espèces Composants Nc espèces Ci Nx composant Xj Théorie Exemple Espèces Composants Nc espèces Ci Nx composant Xj Réaction Conservation de la matière Loi d’action de masse J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Fonction Objectif Conservation de la matière Loi d’action de masse Coefficient d’activité Nx Fonctions Objectifs J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Méthode de Newton-Raphson Jacobien de la fonction objectif Calcul analytique Calcul analytique Développement au 1er ordre Développement au 1er ordre Pas d’avancement Nouvelles concentrations des composants J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Méthode de Newton-Raphson : schéma de principe X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Newton-Raphson : non convergence Divergence vers des valeurs aberrantes Piège en boucle J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Intervalle chimiquement acceptable Respect de la borne inférieure : Respect de la borne supérieure : J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Méthode des fractions continues positives Somme des Réactifs Somme des Produits Équilibre J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Intervalle Chimiquement Acceptable Algorithme Combiné SPECY Fractions Continues Positives  Convergence grossière rapide Approche très rapide de la solution Intervalle Chimiquement Acceptable  Peu de calculs nécessaires  Renforce la stabilité Newton-Raphson  Convergence incertaine loin de la solution  Convergence précise rapide à proximité de la solution Recherche fine rapide de la solution Fractions Continues Positives  Convergence précise lente  Convergence assurée Assure la convergence dans tous les cas J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Acide Gallique J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

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Newton Raphson NR + Sécante SPECY J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Pyrite J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

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NR + CAI SPECY NR+ Sécante Newton-Raphson J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Perspectives Quelques applications… Transport de cadmium Transport de tributyl étain

Transport de Cadmium Expérience en colonne (C. Bürgisser, 1994) Échange d’ions Complexation de surface Injection Cristobalite pH pH = 4,97 pH = 9 Cd 2+ 17,35 M t / t0 t / t0 = 0 t / t0 = 80 t / t0 = 140 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Paramètres d’après J. Lützenkirchen, 1996 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Détermination des paramètres (J. Lützenkirchen, 1996) Modèle DLM : Couche diffuse Détermination des paramètres (J. Lützenkirchen, 1996) Modèle CCM : Capacité constante J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Cd2+ J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Transport réactif du TBT à 7 pH différents J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Situation initiale : Erreur = 0.3 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Un sable naturel… Composition massique : silice : 99,9 % oxydes de fer, d’aluminium Composition de la surface : Silice Oxydes J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Estimation de paramètres Erreur   Paramètre J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Résultats : après optimisation F = 0.19 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Conclusion

Présentation des phénomènes Transport : advection – dispersion Cinétique chimique Équilibre instantané Modélisation phénoménologique Description fondamentale Application possible à d’autres domaines Méthodes de résolutions Couplage chimie – transport Résolution des opérateurs J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Perspectives Limites Compréhension des phénomènes Prévision - dimensionnement Estimation de paramètres Limites Méthodes numériques Structure du milieu Mécanismes réactionnel Échelle J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma ELLAM pour le transport Formulation variationnelle de l’équation de transport On sépare les fonctions tests qui dépendent de z et de t : On choisit une définition lagrangienne des fonctions tests : J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Simplification de l’équation : Condition aux limites J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004

Schéma des caractéristiques, du maillage mobile et des fonctions tests entre deux pas de temps. J. Carrayrou - INRIA 16 décembre 2004