Des problèmes géométriques pour le cycle 3 1°) IO et adresses Internet concernant la géométrie au cycle 3 a) IO b) Adresses Internet 2°) Exemples de problèmes de reproduction, de construction et de description de figures 3°) Exemples de problèmes concernant un thème donné a) Quadrillages b) Pavages 4°) Exemples de problèmes proposés par l’équipe ERMEL 5°) Problèmes de géométrie et TICE 6°) 20 problèmes "pour chercher » (avec solutions) (les quatre derniers concernent les grandeurs géométriques aire et/ou périmètre)

1°) IO et adresses Internet concernant la géométrie au cycle 3 a) IO Dans la proposition de progression pour le cycle 3 (tableau à trois colonnes), on trouve trois paragraphes consacrés à la géométrie : - Un paragraphe intitulé « dans le plan » où sont listées les notions à aborder en géométrie plane - Un paragraphe intitulé « dans l’espace» où sont listées les notions à aborder en géométrie dans l’espace - Un paragraphe intitulé « problèmes de reproduction, de construction » CE2 CE2 CM1 CM1 CM2 Retour au sommaire

Remarque : retour sur quelques définitions Reproduction Réalisation d’une « copie » d’une figure plane ou d’un objet à trois dimensions dont on dispose et sur lequel on peut donc agir (remarque : il est souvent nécessaire de préciser le degré de conformité souhaité). On a donc un « modèle ». Construction Réalisation d’une figure plane ou d’un objet à trois dimensions qui n’est pas présent et dont on dispose seulement d’une description ou d’une représentation. Description Informations orales et/ou écrites sur une figure plane ou un objet à trois dimensions permettant à une personne - de le reconnaître parmi d’autres - ou bien de de le construire (on parle alors de programme de construction : il faut repérer dans la figure des figures de base, repérer les liens entre ces figures puis se mettre à la place de l’autre et chercher à établir une chronologie des actions ce qui suppose de construire au moins mentalement une partie de la figure ; c’est difficile …) Retour au sommaire

Exemple de représentations d’un même objet (« polycube ») Remarque : La description de la figure ou de l’objet à trois dimensions peut utiliser des procédés conventionnels. On parle alors souvent de représentation. Exemple de représentations d’un même objet (« polycube ») Vue de dessus avec indications chiffrées Représentation cavalière On peut bien évidemment amener l’élève à effectuer et à utiliser des représentations différentes d’un même objet. Retour au sommaire

Voir : http://pernoux.pagesperso-orange.fr/geoc3.htm b) Adresses Internet concernant, de façon générale, l’enseignement de la géométrie au cycle 3 Voir : http://pernoux.pagesperso-orange.fr/geoc3.htm Pour d’autres ressources concernant l’école primaire, voir ce mini-portail : http://pernoux.pagesperso-orange.fr/ressources-primaire.htm 2°) Exemples de problèmes de reproduction, construction et description de figures a) Exemples de problèmes (d’après des propositions de Jean-Luc Brégeon : http://pagesperso-orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-10-4.htm) - Constructions de figures soit à main levée soit à l’aide d’instruments à partir de descriptions soit orales soit écrites données aux élèves par l’enseignant (constructions soit sur papier quadrillé soit sur papier uni) : La figure est formée de deux carrés : un grand et un petit. Les sommets du petit carré sont les milieux des côtés du grand carré. Retour au sommaire

Tracer un cercle. Tracer deux diamètres perpendiculaires. La figure est formée d’un cercle et d’un carré. Le cercle passe par les 4 sommets du carré. Tracer un cercle, puis un diamètre de ce cercle. Tracer un carré qui a pour côté ce diamètre. Tracer un cercle. Tracer deux diamètres perpendiculaires. Tracer un carré. Tracer un cercle qui a pour centre un sommet du carré et qui passe par deux autres sommets. Source de ces propositions : http://pagesperso-orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-10-4.htm Retour au sommaire

La figure est formée d’un carré et d’un triangle La figure est formée d’un carré et d’un triangle. Le triangle a un côté commun avec le carré et se trouve à l’extérieur du carré. Trace un carré. Trace un demi-cercle de diamètre un côté du carré, situé à l’extérieur du carré. Cette figure est formée d’un carré, de ses deux diagonales et des segments qui relient les milieux des côtés opposés Cette figure est formée d’un rectangle et d’un cercle. Le cercle passe par les 4 sommets du rectangle. Source de ces propositions : http://pagesperso-orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-10-4.htm Retour au sommaire

- Ecriture par les élèves d’un texte décrivant les étapes de la construction d’une figure (élèves par groupes deux). « Il faut écrire un message expliquant les différentes étapes qui permettent de construire la figure que vous avez, exactement à l’identique. Les dessins sont interdits dans le message. Un autre groupe devra lire votre message et refaire la figure. » Exemples de figures : Message : Message : Message : Message : Source de ces propositions : http://pagesperso-orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-10-4.htm Retour au sommaire

« Chaque groupe doit lire le message reçu et, en suivant les indications, construire une figure géométrique. Si vous ne comprenez pas ce qui est demandé ou si vous n’arrivez pas à faire la construction, l’écrire sur la feuille de message. » Lorsque les constructions ont été réalisées, les faire comparer aux figures initiales puis faire une mise en commun... Remarque : en géométrie, l’orientation de la figure n’a pas d’importance ; il suffit que les deux figures se superposent, même si elles n’ont pas des orientations semblables. b) Jeu du portrait Les élèves doivent poser des questions permettant d’identifier parmi plusieurs figures celle que le maître (ou un autre élève) a choisie. Le maître (ou l’élève) ne répond que par oui ou par non. Retour au sommaire

Figures pour le jeu du portrait : Auteur de ce document : Jacques Muller, formateur à l’IUFM d’Alsace Retour au sommaire

c) Autres propositions en vrac... - Reproduction de la même figure en changeant d’échelle. Un élément de la figure agrandie (par exemple, un segment représentant le côté du carré à obtenir) est fourni, ceci pour amener les élèves à mieux prendre en compte les propriétés de la figure. - Deux programmes écrits sont donnés ainsi qu’une figure, l’élève doit déterminer à quel programme correspond la figure. - Un programme est donné ainsi que plusieurs figures. L’élève doit déterminer à quelle figure correspond le programme. - A partir de la description orale d’une figure, les élèves doivent l’identifier parmi plusieurs figures. - Construction de figures avec des élastiques sur un planche à clous Des propositions d’activités pour le cycle 2 et le cycle 3 sont disponibles ici : http://www.ien-landivisiau.ac-rennes.fr/maths/geometrie/progression%20geoplan/Utilisation%20du%20geoplan%20cycles%202%20et%203.htm Remarque : Vous pouvez télécharger une planche à clous virtuelle à cette adresse : http://nlvm.usu.edu/ Retour au sommaire

- le matériel clixi est un matériel intéressant - Pour les solides, une liste d’activités possibles par niveaux est disponible sur le site de la circonscription de Landivisiau : http://www.ien-landivisiau.ac-rennes.fr/maths/geometrie/SOMMAIRE.htm d) Remarques : on peut construire des solides qu’on pourra exposer dans un « musée des formes » - le matériel clixi est un matériel intéressant - en géométrie plane, il est souhaitable de faire construire « de belles figures » (exposition ou mise en ligne sur un site web envisageables) Exemple de « belle figure » : On pourra, bien sûr, adapter la tâche au niveau des élèves . Exemples : Facile : Difficile : Programme de construction sans modèle : Tracer un triangle isocèle. Les deux côtés qui ont la même longueur mesurent 10 cm. Sur un des côtés, marque tous les centimètres, un point que tu relieras ensuite au sommet opposé. Tu obtiendras un quadrillage. Retour au sommaire

Autres exemples : Retour au sommaire

3°) Exemples de problèmes concernant un thème donné a) Quadrillages - Reproductions de figures sur des quadrillages déformés (Auteur des documents : Jacques Muller, formateur à l’IUFM d’Alsace) Retour au sommaire

A adapter au niveau des élèves Retour au sommaire

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A adapter au niveau des élèves Retour au sommaire

- Transformations de figures (à adapter au niveau) Voir : http://pernoux.perso.orange.fr/quad.pdf b) Pavages (deux exemples de problèmes) - Peut-on paver le plan en utilisant un triangle quelconque (ou « Peut-on réaliser un parquet en utilisant des plaques triangulaires identiques ayant la forme d’un triangle quelconque ? ») Exemple de solution : Retour au sommaire

- Peut-on paver le plan en utilisant un quadrilatère quelconque (ou « Peut-on réaliser un parquet en utilisant des plaques identiques ayant la forme d’un quadrilatère quelconque ? ») Solution : Retour au sommaire

4°) Exemples de problèmes proposés par l’équipe ERMEL Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006 (il y a aussi des fiches photocopiables et un matériel collectif) (page web 1) (page web 2) (page web 3) Remarques : - sur le site du département mathématiques de l'IUFM de la Réunion, on peut consulter une présentation Powerpoint résumant uniquement la partie théorique de cet ouvrage) - les quelques exemples donnés ci-après ne sauraient rendre compte de la qualité d’un ouvrage (de 600 pages) dont je recommande la lecture. Alignement (CM1) : Retour au sommaire

CE2 Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006 Retour au sommaire

Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006 Retour au sommaire

Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006 Retour au sommaire

5°) Problèmes de géométrie et TICE a) Utilisation par l’enseignant Exemple d’utilisation d’un diaporama Powerpoint pour montrer la solution d’un problème Combien de carrés ? Retour au sommaire

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Retour au sommaire

17 18 20 19 Retour au sommaire

21 Retour au sommaire

22 Retour au sommaire

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b) Exemple de problème résolu par les élèves en utilisant un logiciel de géométrie dynamique Voir par exemple : http://dpernoux.chez-alice.fr/Construction/distance__ermel.html (ce problème est un des problèmes proposés par l’équipe ERMEL vus précédemment) Retour au sommaire

6°) Exemples de problèmes "pour chercher" Ces problèmes (du style « rallye maths », « défi maths », ...) ne sont pas classés par ordre de difficulté. Ils sont de difficulté très variables et devront bien évidemment être adaptés au niveau des élèves. Remarques préalables : - Ces énoncés de problèmes proviennent de sources diverses (énoncés que j’ai créés ; énoncés issus de défi-maths, rallyes-maths, etc. que j’ai éventuellement modifiés, ...). Si vous êtes l’auteur d’un de ces énoncés merci de me contacter en utilisant ce lien. - Trois des énoncés proviennent du fichier « Evariste Ecole » de l’APMEP (brochures proposant 60 problèmes de niveau cycle 2 et 120 problèmes de niveau cycle 3) Adresse de la page du site de l’APMEP permettant de commander ce fichier : http://www.apmep.asso.fr/spip.php?article1162 Problème n° 1 Comment trouver la longueur du tuyau ? Solution : Retour au sommaire

Problème n° 2 Il existe cinq tétraminos (figures composées de quatre carrés identiques qui se touchent au moins selon un côté) différents : Mais combien existe-t-il de pentaminos (figures composés de cinq carrés identiques qui se touchent au moins selon un côté) différents ? Solution : Il y a 12 pentaminos : Retour au sommaire

Remarque : avec chacun des pentaminos pris isolément on peut réaliser un pavage du plan. Document Jean-Louis Sigrist Retour au sommaire

Problème n° 3 (puzzle « de la croix » ou « de Sam Loyd ») Choisir, bien sûr, des items adaptés aux connaissances des élèves Solution : Remarque : on peut aussi fabriquer un pentagone « quelconque », une figure ayant la forme de la lettre T, .... Retour au sommaire

Les cubes ne peuvent pas rester tout seuls en l’air. Problème n° 4 Les cubes ne peuvent pas rester tout seuls en l’air. Combien y a-t-il de petits cubes ? Réponse : Il y a 12 petits cubes. Problème n° 5 Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi : Combien y a-t-il de petits cubes ? Exemple de solution Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61 Retour au sommaire

Problème n° 6 Partage cette figure en 4 parties identiques (même forme et même aire) : Solution : Retour au sommaire

Dessine le découpage sur la tarte. Problème n° 7 Arlette découpe cette tarte en quatre parts identiques (même forme et même aire) avec seulement deux coups de couteau. Dessine le découpage sur la tarte. Solution : Retour au sommaire

Problème n° 8 Trouver la région dans laquelle peut se promener le chien (la laisse ne peut pas passer en travers de la maison) Retour au sommaire

Solution : Retour au sommaire

Amandine voit la façade n° 3 et Jean-Paul la façade n° 2. Problème n° 9 Source : Fichier « Evariste » de l’APMEP Solution : Amandine voit la façade n° 3 et Jean-Paul la façade n° 2. La vue n° 5 correspond à la façade opposée à celle vue par Amandine. Retour au sommaire

Problème n° 10 Source : Fichier « Evariste » de l’APMEP Solution : L’intrus est la figure n° 6 Elle a six côtés alors que toutes ls autres figures en ont cinq. Retour au sommaire

Problème n° 11 Solution : Source : Fichier « Evariste » de l’APMEP Retour au sommaire

Nombre total de cubes : 6 x 6 × 6 = 216 Problème n° 12 Source : http://ecoles.ac-rouen.fr/circ_dieppe_ouest/outils/maths/defi_math.htm Solution : Nombre total de cubes : 6 x 6 × 6 = 216 Nombre de cubes ayant un seule face peinte : 6 × 16 = 96 Nombre de cubes ayant deux faces peintes : 12 × 4 = 48 Nombre de cubes ayant trois faces peintes : 8 Nombre de cubes ayant plus de trois faces peintes : 0 Nombre de cubes n’ayant aucune face peinte : 4×4×4 = 64 Retour au sommaire

Problème n° 13 Exemple de solution : Retour au sommaire

Problème n° 14 Solution : Retour au sommaire

Problème n° 15 Solution : Retour au sommaire

Je peux ainsi former trois carrés différents : Problème n° 16 Réponse : Je peux ainsi former trois carrés différents : Retour au sommaire

Problème n° 17 (problème concernant les aires et les périmètres) Voici 6 voyelles : 1°) Si on les colorie, lesquelles useront le plus votre feutre ? laquelle usera le moins votre feutre ? 2°) Et pour les écrire, lesquelles useront le plus votre stylo ? lesquelles useront le moins votre stylo ? Retour au sommaire

1°) En prenant l’aire d’un « carreau » comme unité d’aire on trouve : Solution : 1°) En prenant l’aire d’un « carreau » comme unité d’aire on trouve : Aire de A = 12 Aire de E = 10 Aire de I = 9 Aire de O = 12 Aire de U = 11 Aire de Y = 11 Si on colorie les voyelles, c’est le A et la O qui useront le plus le feutre et c’est le I qui usera le moins le feutre. 2°) En prenant la longueur du côté d’un « carreau » comme unité de longueur trouve : Longueur des traits composant le A = 24 Longueur des traits composant le E = 22 Longueur des traits composant le I = 20 Longueur des traits composant le O = 24 Longueur des traits composant le U = 24 Longueur des traits composant le Y = 20 Si on écrit les voyelles, c’est le A, le U et le O qui useront le plus le stylo et c’est le I et le Y qui useront le moins le stylo. Retour au sommaire

Problème n° 18 (problème concernant les aires) Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire de la partie hachurée de la figure ci-dessous ? Solution : 1°) Aire totale de la figure = 10 2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5 3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5 Retour au sommaire

Problème n° 19 (problèmes concernant les aires) Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en quatre régions de même aire. Quelques réponses possibles : Retour au sommaire

Problèmes n° 20 (problème concernant les aires et la proportionnalité) Source : “Rallye Mathématique Transalpin” 9e RMT, épreuve II, Problème 12 (avec l’accord des auteurs que je remercie) Un peintre a peint ces quatre figures A, B, C et D sur un mur, chacune avec une couche de peinture de la même épaisseur et d’une couleur différente : Il a utilisé des pots de peinture de même grandeur : 18 pots de rouge pour une des figures,  21 pots de bleu pour une autre figure, 27 pots de jaune pour une autre figure, des pots de noir pour la figure qui reste. À la fin de son travail, tous les pots étaient vides. 1. Indiquer la couleur de chaque figure. 2. Combien de pots de peinture noire a-t-il utilisés ? Retour au sommaire

18 pots de rouge pour une des figures, 21 pots de bleu pour une autre Solution : 18 pots de rouge pour une des figures,  21 pots de bleu pour une autre figure, 27 pots de jaune pour une autre figure, des pots de noir pour la figure qui reste. Si on prend l’aire d’un carreau comme unité d’aire : Aire de A = 8 Aire de B = 7 Aire de C = 9 Aire de D = 6 Remarque : Aire de D < Aire de B < Aire de A < Aire de C On teste les différentes possibilités et on garde celle qui convient (le nombre de pots de peintures utilisés pour peindre une surface doit être proportionnel à l’aire de cette surface) : Retour au sommaire

pour une autre figure, des pots de noir pour la figure qui reste. 18 pots de rouge pour une des figures,  21 pots de bleu pour une autre figure, 27 pots de jaune pour une autre figure, des pots de noir pour la figure qui reste. Figures D B A C Aire en unité d'aire 6 7 8 9 Nombre de pots 18 21 27 ? Nombre de pots par carreau 3 pas 3 Aire en unité d'aire 6 7 8 9 Nombre de pots 18 21 ? 27 Nombre de pots par carreau 3 1°) On a donc peint D en rouge, B en bleu et A en jaune. 2°) On a utilisé 3 pots par carreau. Pour peindre A en noir on a donc utilisé 8 × 3 soit 24 pots. Aire en unité d'aire 6 7 8 9 Nombre de pots 18 ? 21 27 Nombre de pots par carreau 3 pas 3 Aire en unité d'aire 6 7 8 9 Nombre de pots ? 18 21 27 Nombre de pots par carreau pas 3 3 D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr Retour au sommaire