Optimisation topologique de formes et raffinement de maillage                 Frédéric GOLAY Laboratoire Analyse Non linéaire Appliquée et Modélisation Equipe Modélisation Numérique et Couplage Université de Toulon et du Var

Optimisation topologique de forme: Approche « Matériaux fictifs » W F ? Objectif Répartir de façon optimale (sans idée préconçue) un volume de matière donné, afin de concevoir une structure destinée à supporter un chargement. Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions ú û ù ê ë é ò W ¶ × = ³ d u F Min M dV h ) x ( élasticité ' pb du Solution r Relaxation par homogénéisation (Allaire, Bendsoe,…) Approche Matériaux fictifs: plaque épaisseur h(x) (Bouchitte, Buttazo, Seppecher …) Pour Un chargement F donné Un volume de matière M donné On cherche l’épaisseur h(x) maximisant la rigidité

Optimisation topologique de forme: Relaxation du problème ú û ù ê ë é ò W ¶ × = ³ d u F Min M dV h ) x ( élasticité ' pb du Solution r Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions Approche Matériaux Fictifs ( ) 2 1 : D w dl . F Inf V - £ e ¥ ò W ¶ Formulation Matériaux à blocage Formulation numérique Elasticité non-linéaire En contraintes planes avec ( ) p u : D e H = dl v . F ò W ¶ dx

Optimisation topologique de forme: Formulation Eléments Finis Avec les notations vectorielles habituelles { } [ ] u B = e ) x ( N r T D K Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions On doit résoudre le problème fortement non-linéaire { } å ò = e elt ) u ( R [ ] - F N p K T Par une méthode de Newton-Raphson dont la matrice tangente élémentaire est p 2 u R = ú û ù ê ë é ¶ +å ò e elt ( ) { } K [ ] T å - 1 ( ) ò × = W e ¶ dl w F d : D u p Code de recherche Eléments Finis

Optimisation topologique de forme: Validation x y Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions Ecart relatif <1% La convergence dépend de la qualité du maillage  raffinement de maillage

Raffinement de maillage: Principe e1 e2 e3 e4 Par permutation on se replace dans les cas élémentaires On transporte les propriétés élémentaires, conditions aux limites, degrés de libertés, …  Approche objet Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions e1 e2 e3 e4

Raffinement de maillage: Algorithme Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions ? Un Elt créé ? Elt conforme ? Elt à raffiner ? Boucle sur les éléments Fin de boucle sur les éléments raffinement Essai de découpage Oui Non + Maîtrise de la qualité du maillage + Optimisation de la numérotation

Raffinement de maillage: Première Application Raffinement Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions P=4,6 P=0,2,4 Raffinement P=16,20,24,28 Qualité ? Critère ? Stratégie ? Raffinement P=6,8,12,16

Raffinement de maillage: Critères intuitifs Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions Critère 1: L’épaisseur moyenne par élément ò e 2 de h 1 d On approche le champ continu par une discrétisation éléments finis Critère 2: Par analogie avec la méthode de Zienkiewicz, la différence entre l’épaisseur numérique discontinue calculée et le champ continu l’approchant au mieux ( d , = W ò ) h c - j " i y x N { } å ÷ ø ö ç è æ elt e dv

Raffinement de maillage: Calcul d’erreur a posteriori Méthode hiérarchique Loi de comportement Méthode des résidus Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions å ò + Î e face ¶ [ ] 2 u dl D ) ( h 1 ce de R = r K erreur þ ý ü î í ì £ Critère 3: R. Verfürth (2000)

Résultats : Cas analytique Maillage initial Critère 1: épaisseur Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions Maillage initial P=0,2,4 P=4,6,8 P=8,10,12 P=12,14,16 Critère 1: épaisseur Erreur Critère 3: Verfürth

Résultats : Cas analytique Temps CPU en secondes Epaisseur Verfürth Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions 10 20 30 40 50 4 8 12 16 Epaisseur Verfürth Temps CPU en secondes Paramètre p 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 4 8 12 16 20 Epaisseur Verfürth Erreur Paramètre p

Optimisation forces concourantes Résultats : Optimisation forces concourantes W +1 ? ux=0 uy=0 x y +1/2 +1 Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions P=0,2,4 399 nœuds 130 éléments P=4,6,8 708 nœuds 257 éléments P=8,10,12 1016 nœuds 389 éléments P=12,14,16 1472 nœuds 589 éléments

Optimisation forces concourantes Résultats : Optimisation forces concourantes Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions Temps cpu Avec le critère de Verfürth 50 s Avec le critère de Zienkiewicz 65 s Sur le maillage optimisé 60 s

Conclusions Mise en œuvre simple Résolution numérique validée en 2D Optimisation Mise en œuvre simple Optimisation topologique de forme et raffinement de maillage Optimisation topologique Approche matériaux fictifs Relaxation du problème Formulation éléments finis Validation Raffinement de maillage Principe Algorithme Première application Critères intuitifs Calcul d’erreur a posteriori Résultats Cas analytique Forces concourantes Conclusions Résolution numérique validée en 2D Un bon outil initial de dimensionnement Raffinement Raffinement validé Efficacité du critère de Verfürth: erreur répartie, rapidité Validation de la procédure Perspectives SIC: application milieux poreux, diphasique (éléments mixtes) Nouveaux critères

Optimisation topologique de forme: Formulation Matériaux à blocage Annexe 1 Inf V dx ) x ( h ò = ³ W e : D 2 1 u ÷ ø ö ç è æ Sup v - ò e W ¶ dl . F dx h : D 2 1 = Inf h ³ ò W h ( x ) dx = V Théorème du MinMax Inf Sup V dx ) x ( h v = ò ³ W ÷ ø ö ç è æ - e ¶ dl . F : D 2 1 - = ò ³ W Sup Inf ÷ ø ö ç è æ e ¶ dl v . F dx h : D 2 1 V ) x ( On concentre h où l’énergie est la plus élevée ÷ ø ö ç è æ - e = ¥ dl v . F : D 2 V Inf ò W ¶ On pose s v w = et ¥ e : D ÷ ø ö ç è æ - dl . F 2 V Inf 1 , ò W ¶ L’inf sur s est atteint pour = dl w . F V 1 s ò W ¶ ( ) ÷ ø ö ç è æ - e ¥ 2 : D Inf ( ) 2 1 : D w dl . F Inf V - = £ e ¥ ò W ¶

Optimisation topologique de forme: Formulation faible Annexe 2 Traitement numérique : on relaxe la norme infinie par une p-norme ou une fonction indicatrice, ( ) î í ì > ¥ = ÷ ø ö ç è æ ò e + × - W ¶ £ on sin 1 t si I avec : D dl w F Inf On approche numériquement la fonction indicatrice ( ) ÷ ø ö ç è æ ò W e + × - ¶ ¥ ® d : D P+2 2 1 dl w F Inf lim P+1 p D’où la formulation variationnelle pour un p donné ( ) ò × = W e ¶ dl w F d : D u p